Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

13-§. FUNKCIONAL QATARLAR

13.2. Funkcional qatarlardıń teń ólshewli jıynaqlıǵı

Meyli E R kóplikte anıqlanǵan

u1 (x),u2 (x), ,un (x),

funkcional izbe-izlik berilgen bolsın. Bul izbe-izliktiń aǵzaları járdeminde dúzilgen u1 (x)+ u2 (x)+ + un (x)+

ańlatpa funkcional qatar delinedi hám un (x) arqalı belgilenedi:

n=1

un (x)= u1 (x)+ u2 (x)+ + un (x)+ .	(1)
n=1

Bunda E funkcional qatardıń anıqlanıw oblastı delinedi. Máselen,

1) xn−1 =1 + x + x2 + + xn−1 + ,

n=1

2) nenx = ex + 2e2x + 3e3x + + nenx +

n=1

funkcional qatarlar bolıp, olardıń anıqlanıw oblastı E = (− , + ) boladı. (1) funkcional qatardıń aǵzalarınan

S1	(x)= u1 (x),
S2	(x)= u1 (x)+ u2 (x),
		(2)
Sn (x)= u1 (x)+ u2 (x)+ + un (x)

qosındıların dúzemiz. Olar (1) funkcional qatardıń dara qosındıları delinedi. Demek, (1) funkcional qatar berilgende hár dayım bul qatardıń (2) dara qosındılarınan ibarat Sn (x) :

S1 (x), S2 (x), , Sn (x),

funkcional izbe-izlik payda boladı. Bizge belgili, x = x0 E tochkada Sn (x0 ) sanlar izbe-izligi boladı.

240

1-anıqlama. Eger	Sn (x0 )	jıynaqlı	(taralıwshı) bolsa, onda	un (x)
				n=1
funkcional qatar x = x0	tochkada	jıynaqlı	(taralıwshı) delinedi, x0	tochka
funkcional qatardıń jıynaqlılıq (taralıwshı) tochkası delinedi.

2-anıqlama. un (x) funkcional qatardıń barlıq jıynaqlılıq tochkalarınan

n=1

ibarat E0 E kóplik, un (x) funkcional qatardıń jıynaqlılıq kópligi delinedi.

n=1

Bul jaǵdayda un (x) funkcional qatar E0 kóplikte jıynaqlı dep aytıladı.

n=1

Eger E0 kóplikte

un (x) = u1 (x) + u2 (x) + + un (x) +

n=1

qatar jıynaqlı bolsa, onda un (x) funkcional qatar E0 da absolyut jıynaqlı

n=1

delinedi.

3-anıqlama. un (x) funkcional qatardıń dara qosındılarınan ibarat Sn (x)

n=1

izbe-izliktiń limit funktsiyası S(x):

Sn (x)→ S(x)		(x E0 )
un (x) funkcional qatardıń qosındısı delinedi.
n=1
un (x)= S(x)	(x E0 )	túrinde jazıladı.
n=1

1-mısal. Berilgen

xn−1 = 1 + x + x2 + + xn−1 +

n=1

funkcional qatardıń jıynaqlılıq oblastı hám qosındısı tabılsın.

241

◄ Berilgen funkcional qatardıń anıqlanıw oblastı E = R boladı. Qatardıń dara qosındısın tabamız:

1− xn

, егер х 1

Sn (x) =

1+ x + x

+ + x

n−1

= 1− x

, егер х =1.

n → da Sn (x) dıń limiti x ǵa baylanıslı boladı:

а) x (−1,1) da

lim Sn

−

;

(x)= lim

− x

1 − x

n→

б) x 1, + ) da

lim Sn (x)

= ;

n→

в) x (− , −1 da lim Sn (x) limitke iye emes.

n→

Demek, berilgen funkcional qatardıń jıynaqlılıq oblastı E0 = (−1,1) bolıp, qosındısı

S(x)= 1 −1 x

boladı. ►

2-mısal. n=11+ x2n funkcional qatardıń jıynaqlılıq oblastın tabıń.

◄ Sanlı qatarlar teoriyasındaǵı Dalamber belgilerinen paydalanıp,

lim un+1((x))

n→ un x

а) x (−1,1) da

= lim

xn+1

= lim

x(1 + x2n )

;

1 + x2n+2

1 + x2n

1 + x2n+2

n→

lim

x(1 + x2n )

1 + x2n+2

n→

Bul jaǵdayda berilgen funkcional qatar (−1,1) da jıynaqlı boladı.

б) x (− ,−1) (1,+ ) da

242

x 1

+ x

x 2n +1

lim

1 + x2n + 2

n →

x 2n + 2

bolıp, funkcional qatar x (− , −1) (1, + ) da jıynaqlı boladı.

в) x = 1 da berilgen funkcional qatar sáykes túrde

	1		(−1)n
		,
	2	,	2
n=1	2	n=1	2

sanlı qatarǵa aylanadı hám olar taralıwshı boladı. Solay etip, funkcional qatardıń jıynaqlılıq oblastı

E0 = R \ −1,1 = (− , −1) (−1,1) (1, + )

boladı. ►

Funkcional qatardıń teń ólshewli jıynaqlılıǵı.

	kóplikte jıynaqlı hám qosındısı S(x)
Meyli un (x) funkcional qatar E0	kóplikte jıynaqlı hám qosındısı S(x)
n=1

bolıp

bunda, Sn (x)= u1 (x)+ u2 (x)

4-anıqlama. Eger E0

Sn (x)→ S(x)	(x E0 )	(3)
+ + un (x).
kóplikte
Sn (x) →→S (x),	(x E0 )

bolsa, onda un (x) funkcional qatar E0		kóplikda teń ólshewli jıynaqlı delinedi.
n=1
Eger rn (x)= S(x)− Sn (x) bolsa, onda funkcional qatardıń E0 kóplikte teń
ólshewli jıynaqlılıǵın
r	(x)→ 0	(x E	0	),
n	→		0

kóriniste anıqlaw múmkin boladı.

Solay etip, un (x) funkcional qatar, onıń dara qosındısın Sn (x)

n=1

hám qosındısı S(x) ushın

243

Sn (x)→ S(x)			(x E0 )
bolsa, onda funkcional qatar E0 da jıynaqlı,
S	n	(x) → S(x)	(x E	)
	n	→		0
bolsa, onda funkcional qatar E0 da teń ólshewli jıynaqlı boladı.
1-teorema. un (x)		funkcional qatar	E0	da qatar qosındısı S(x)
n=1

funktsiyaǵa teń ólshewli jıynaqlılıǵı ushın

lim sup Sn (x)− S(x) = 0 ,

n→ x E0

yaǵnıy

lim sup

rn (x)

= 0

n→ x E

zárúrli hám jetkilikli.

0, + )

3-mısal.

funkcional qatardıń

da teń ólshewli

+ n)(x + n +

n=1 (x

jıynaqlı ekenin dálilleń.

◄ Berilgen funkcional qatardıń dara qosındısın esaplap, soń qosındısın

tabamız:

Sn (x)=

+ +

(x +1)(x + 2)

2)(x + 3)

(x + n)(x + n +1)

−

x +1 x + 2

x + 2

x + 3

+ n x + n +1

−

x +1 x + n +1

lim Sn (x)= lim

−

n→

n→ x +1

x + n +1

x +1

Demek,

S(x)=

x +1

Onda

244

Sn (x)− S(x)=

−

= −

x + n +1

x +1 x + n +1 x +1

bolıp,

sup

Sn (x)− S(x)

n +1

x 0, + )

boladı. Keyingi teńlikten

lim

sup

Sn (x)− S (x)

= 0

n→ x 0, + )

kelip shıǵadı. 1-teoremaǵa kóre berilgen funkcional qatar 0, + ) da teń ólshewli jıynaqlı. ►

Eskertiw. Eger

lim sup Sn (x)− S (x) 0

n→ x E0

bolsa, onda un (x) funkcional qatar E0 da teń ólshewli jıynaqlı bolıwı shárt

n=1

				qatardıń (−1,1)
emes. Máselen, xn−1 funkcional				qatardıń (−1,1)				da jıynaqlı, qosındısı
		n=1
S(x)=	1	boladı. Bul funkcional qatar ushın
S(x)=	1 − x	boladı. Bul funkcional qatar ushın
		lim sup	Sn (x)− S(x)		= lim sup		xn	= +


						1	− x
		n→ −1 x 1			n→ −1 x 1	1	− x

boladı. Demak, funkcional qatar (−1,1) da teń ólshewli jıynaqlı emes.


Meyli un (x) funkcional qatar E R kóplikte berilgen bolsın.
n=1
2-teorema (Koshi). un (x) funkcional qatar E kóplikte teń ólshewli
n=1
jıynaqlı bolıwı ushın 0, n0 = n0 ( ) N ,	n n0 ,	p N , x E da

Sn+ p (x) − Sn (x)

bolıwı zárúrli hám jetkilikli.

245

13.3. Funkcional qatarlardıń teń ólshewli jıynaqlıq belgileri

а) Veyershtrass belgisi. Meyli E kóplikte

un (x)= u1 (x)+ u2 (x)+ + un (x)+

(4)

n=1

funkcional qatar berilgen bolıp,

1) n N , x E da

un (x)

Cn ,

+ C2 +

+ Cn + sanlı

2) Cn = C1

qatar jıynaqlı

bolsın. Onda

(4)

n=1

funkcional qatar E kóplikte teń ólshewli jıynaqlı boladı.

xsin x

4-mısal.

funkcional qatardı teń ólshewli jıynaqlılıqqa

n =1

1 + n

+ nx

tekseriń.

◄ Berilgen qatardıń anıqlanıw oblastı E = (− ,+ )

bolıp, onıń ulıwma

aǵzası un (x) =

x sin x

= 1,2,3, )boladı. Bunnan

)

+ n2

1 + nx2

(

un (x)

xsin x

+ n2 (1 + nx2 )

1 + n2 (1 + nx2 )

Endi x (− , + ) ushın

esapqa alıp,

1+ nx2

(1+ nx2 )

2n3 / 2

1+ n2

n(1+ n2 )

un (x)

Demek, berilgen funkcional qatardıń aǵzaları ushın

boladı.

3 / 2

n=1 n

qatar jıynaqlı. Bunnan Veyershtrass belgisine kóre berilgen funkcional qatar

(− , + ) da teń ólshewli jıynaqlı boladı. ►

b)	Dirixle belgisi. Meyli E R kóplikte anıqlanǵan un (x) hám
vn (x)	(n =1 2,3, ) funktsiyalar tómendegi shártler orınlı bolsın,

246

1)x E da un (x) izbe-izlik monoton;

2)un (x) funkcional izbe-izlik E da 0 ge teń ólshewli jıynaqlı:

un (x) →→ 0 (x E);

3) sonday C R bar bolıp, n N , x E da

v1 (x)+ v2 (x)+ + vn (x)

vk (x)

C .

k =1

Onda

un (x) vn (x)

n=1

funkcional qatar E kóplikte teń ólshewli jıynaqlı boladı.

sin x sin nx

E = 0, + ) da teń ólshewli

5-mısal.

funkcional qatar

n + x

n=1

jıynaqlıǵın dálilleń.

◄ Meyli un (x)=

, vn (x)= sin x sin nx bolsın. Bul funktsiyalar

n + x

ushın Dirixle belgisindegi úsh shárt orınlanadı. Haqıyqatdan da,

1) x E da un (x)=

ushın

n + x

−

n +1 + x

− n + x

n + x

n +1 + x

n + x n +1 + x

) 0

(n + x)(n +1 + x) (

n +1 + x

n + x

bolǵanlıqtan onıń kemeyiwshiligi kelip shıǵadı;

2) un (x)=

, n → da

→ 0 .

n + x

Demek,

(x)→

0 (x E)

;

→

3) onda

vk (x)

n +1

sin xsinkx

= 2

cos

sin

k =1

247

boladı. Dirixle belgisine kóre berilgen funkcional qatar E = 0, + ) da teń

ólshewli jıynaqlı.►

v)	Abel belgisi. Meyli E R kóplikte anıqlanǵan un (x) hám
vn (x)	(n =1 2,3, ) funktsiyalar tómendegishe shártler orınlı bolsın:

1)x E da un (x) izbe-izlik monoton;

2)sonday C R tabıladı, n E , x E da un (x) C ;

3)vn (x) funkcional qatar E kóplikte teń ólshewli jıynaqlı boladı. Onda

n=1

un (x) vn (x) funkcional qatar E kóplikte teń ólshewli jıynaqlı boladı.

n=1

6-mısal.	(−1)n+1	xn funkcional qatardıń E = 0,1 da teń ólshewli jıynaqlı
n=1	n
ekenligin dálilleń.

◄ Meyli un (x) = xn , vn (x) = (−1n)n+1 (x 0,1 ) bolsın. Bul funktsiyalar ushın

Abel belgisindegi úsh shárt orınlanadı. Onda Abel belgisine kóre berilgen funkcional qatar 0,1 da teń ólshewli jıynaqlı boladı.►

248

14-§. DÁREJELI QATARLAR

14.1. Dárejeli qatarlardıń jıynaqlılıq oblastı. Koshi-Adamar formulası

Hár bir aǵzası

un (t) = an (t − t0 )n , (t0 R;n = 0,1, 2...)

funktsiyasınan ibarat bolǵan

an (t − t0 )n	= a0 + a1 (t − t0 )+ a2 (t − t0 )2 + ...		(1)
n=0
funktsional qatar dárejeli qatar delinedi, bunda a0 , a1,..., an ,...		haqıqıy sanlar dárejeli
qatardıń koeffitsientleri delinedi. da t −t0 = x bolsa, onda
		(x R)
an xn = a0 + a1 x	+ a2 x2 + ... + an xn + ...	(x R)	(2)
n=0

kóriniske keledi. (2) qatardıń dara qosındısı

Sn (x)= a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn

kóp aǵzalıdan ibarat. Bunda x = 0 da Sn (0)= a0 boladı. Demek, hár qanday (2) kórinistegi dárejeli qatar x = 0 tochkada jıynaqlı boladı.

1-teorema (Abel). Eger


an xn = a0	+ a1 x + a2 x2 + ... + an xn + ...
n=0

dárejeli qatar x = x0 0 tochkada jıynaqlı bolsa, onda x x0

teńsizlikti qanaatlandırıwshı barlıq x larda dárejeli qatar jıynaqlı (absolyut jıynaqlı) boladı.

249

<<< < Предыдущая 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 3625 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб3Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf