Matematikaliq analiz oqiw qollanba
.pdf
aǵzaları menen belgili qatnasta bolǵan (salıstırǵan) ekinshi oń aǵzalı qatardıń jıynaqlılıǵı yamasa taralıwshılıǵın anıqlaw múmkin boladı.
Oń aǵzalı qatarlardıń jıynaqlılıq belgileri.
Oń aǵzalı qatarlarda bayan etilgen salıstırıw teoremalarınan paydalanıp , jıynaqlılıq belgilerin keltiremiz.
1. Koshi belgisi. Eger oń aǵzalı
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
an = a1 |
+ a2 +... + an +... |
(1) |
||||
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
||
qatarda barlıq n 1 ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n a |
n |
|
q 1 |
(2) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bolsa, onda (1) qatar jıynaqlı boladı; |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n an |
|
1 |
(3) |
|||
bolsa, onda (1) qatar taralıwshı boladı. |
|
|
|
|
||||||
Kóbinese Koshi belgisiniń tómendegi keltirilgen limit kórinisindegi |
||||||||||
tastıyıqlawdan paydalanıladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Meyli oń aǵzalı (1) qatarda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim n a |
n |
= k |
|
|
|
|
||||
n→ |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bar bolsın. Onda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)k 1 bolǵanda (1) qatar jıynaqlı boladı,
2)k 1 bolǵanda (1) qatar taralıwshı boladı.
|
n +1 |
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-mısal. Qatardı |
|
|
|
|
jıynaqlılıqqa tekseriń. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
n=1 n + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
n2 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
◄ Bul qatardıń ulıwma aǵzası an = |
|
|
|
bolıp, onıń ushın |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
(1+ |
1 |
) |
n |
|||
|
|
|
|
|
|
n +1 |
|
n |
|
|
|||||||
|
|
n an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n + 2 |
|
|
(1+ |
) |
n |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||
boladı. Bunnan,
230
|
(1 + |
1 |
) |
n |
|
|
||
lim |
n |
|
= |
1 |
. |
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
2 |
|
|
e |
|||
n→ |
(1 |
+ |
) |
n |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Demek, k = 1e 1, berilgen qatar jıynaqlı boladı. ►
Eskertiw. Koshi belgisiniń limit kórinisindegi ańlatpasında |
k =1 bolsa, |
||||||||
onda (1) qatar jıynaqlıda, taralıwshıda bolıwı múmkin. |
|
||||||||
2. Dalamber belgisi. Eger oń aǵzalı |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an = a1 |
+ a2 +... + an +... |
(1) |
|||||
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
||
qatarda barlıq n 1 ushın |
|
|
|
|
|
||||
|
an+1 |
q 1 |
(a |
|
|
0 , n =1,2...) |
(4) |
||
|
|
n |
|
||||||
|
an |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
bolsa, onda (1) qatar jıynaqlı boladı; |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
an+1 |
1 |
(a |
|
0 , n =1,2...) |
(5) |
|
|
|
|
|
n |
|||||
|
|
|
an |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bolsa, onda (1) qatar taralıwshı boladı.
Dalamber belgisiniń tómendegi limit kórinisindegi tastıyıqlawınan paydalanıladı.
Meyli oń aǵzalı (1) qatarda
lim an+1 = d
n→ an
limit bar bolsın. Bunda:
1)d 1 bolǵanda (1) qatar jıynaqlı boladı,
2)d 1 bolǵanda (1) qatar taralıwshı boladı.
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2-mısal. Qatardı |
|
|
jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
|||||||
|
n |
|
|||||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
◄ Berilgen qatar ushın an = |
n! |
, an+1 |
= |
(n +1)! |
bolıp, |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
n |
n |
(n +1) |
n+1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
231
|
an+1 |
= |
(n +1)!nn |
|
|
= |
1 |
|
|
|||||||
|
an |
(n +1)n+1 n! |
1 |
|
n |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 + |
n |
) |
|
||
boladı. Bunnan, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim = |
|
1 |
|
|
|
= |
|
1 |
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n→ |
(1 |
+ |
) |
n |
|
|
e |
|
||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Demek, d = 1e 1, berilgen qatar jıynaqlı boladı. ►
Eskertiw. Dalamber belgisiniń limit kórinisindegi ańlatpasında d =1 bolsa, onda (1) qatar jıynaqlıda, taralıwshıda bolıwı múmkin.
3. İntegral belgisi. Meyli oń aǵzalı an qatar berilgen bolsın. Usı jaǵdayda,
n=1
[1,+ ) aralıqta berilgen f (x) funktsiya tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:
1)f (x) funktsiya [1,+ ) da úzliksiz,
2)f (x) funktsiya [1,+ ) da kemeyiwshi,
3)x [1,+ ) da f (x) 0 ,
4) |
f (n) = an |
(n =1,2,3,...) . |
|
|
|
|
|
Bunda berilgen qatar an = f (n) kóriniske keledi. Joqarıdaǵı shártlerden |
|||
|
|
n=1 |
n=1 |
paydalanıp , |
n x n +1 (n N ) |
bolǵanda f (n) f (x) f (n +1) yamasa |
|
an f (x) an+1 boladı. Keyingi teńsizlikti [n, n +1] aralıq boyınsha integrallaw nátiyjesinde
|
|
n+1 |
|
|
an+1 f (x)dx an |
(6) |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
boladı. Endi berilgen an = f (n) qatar menen birge usı |
|
||
n=1 |
n=1 |
|
|
|
|
n+1 |
|
|
|
f (x)dx |
(7) |
|
n=1 |
n |
|
qatardı qaraymız. Bul qatardıń dara qosındısı
232
|
|
n |
k +1 |
n+1 |
|
|
|
|
f (x)dx = f (x)dx |
||
|
|
k =1 k |
1 |
||
boladı. Meyli F (x) |
funktsiya |
[1,+ ] |
aralıqta f (x) funktsiyanıń dáslepki |
||
funktsiyası bolsın F (x) = f (x). Onı tómendegishe |
|||||
x |
|
|
|
|
|
F(x) = f (t)dt |
, |
F (1) = 0 |
|
||
1 |
|
|
|
|
|
ańlatıw múmkin. Nátiyjede |
|
|
|
|
|
|
|
n |
k +1 |
|
|
|
|
|
f (x)dx = F(n +1) |
||
|
|
k =1 |
k |
|
|
boladı. Eger n → da F (n +1) shekli sanǵa umtılsa, (bul jaǵdayda (7) qatardıń dara qosındısı shekli limitke iye boladı) onda (7) qatar jıynaqlı boladı. Bunnan,
n
f (x)dx (n = 1,2,3,...) izbe-izlik joqarıdan shegaralanǵan boladı. (6) qatnasqa
1
muwapıq berilgen qatardıń dara qosındılarınan ibarat izbe-izlik joqarıdan shegaralanǵan bolıp, oń aǵzalı qatarlardıń jıynaqlılıǵı haqqındaǵı teoremaǵa
|
|
|
|
|
|
||||
muwapıq berilgen an qatar jıynaqlı boladı. |
|
|
|
||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
||||
Eger n → da F (n +1) → bolsa, onda berilgen qatar taralıwshı boladı. |
|||||||||
Bunnan, tómendegi integral belgisine kelemiz. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
İntegral belgisi. Eger |
lim F (x) = b bolıp, b |
shekli san bolsa, onda |
an |
||||||
|
|
|
|
|
x→+ |
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qatar jıynaqlı boladı, b = bolsa, onda an qatar taralıwshı boladı. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3-mısal. |
1 |
, ( 0) jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
|
|
||||
|
|
|
|
||||||
n=1 n |
|
|
|
|
|||||
◄ Eger f (x) = |
1 |
|
( 0) delinse, onda bul funktsiya |
[1,+ ) aralıqta |
|||||
x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
integral belgisine keltirilgen barlıq shártlerdi qanaatlandıradı. Bul funktsiyanıń dáslepki funktsiyası
233
|
x |
x |
dt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||
F (x) = f (t)dt = |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
−1) ( 1) |
||||||
|
|
|
− |
|
x |
−1 |
||||||||||||||||
|
1 |
1 t |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
boladı. Bunnan, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
, eger 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
lim F ( x) = lim |
|
|
|
|
|
|
−1 |
= −1 |
||||||||||||||
|
|
|
|
−1 |
||||||||||||||||||
x→+ |
x→ |
1 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, eger 1, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bolıp, =1 bolǵanda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim F(x) = lim |
x |
dt |
= |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
t |
|||||||||||||||||||||
|
x→+ |
|
|
|
|
|
|
|
x→ |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
boladı. Demek, integral belgisine muwapıq |
|
|
|
|
qatar 1 bolǵanda jıynaqlı, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1 bolǵanda taralıwshı boladı. ►
12.3.Qálegen aǵzalı qatarlar hám onıń jıynaqlılıǵınıń Leybnits, Dirixle
hám Abel belgileri
1. Leybnits belgisi. Meyli
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 cn = c1 − c2 + c3 − c4 |
+ ... + (−1)n−1 cn + ... |
(1) |
|||||||||||||||
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qatarı berilgen bolsın, bunda cn |
|
0, (n = 1, 2, 3,...). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Ádette, bunday qatar aǵzalardıń belgileri almasıp keletuǵın qatar delinedi. |
||||||||||||||||||
Bunnan, (1) qatar qálegen aǵzalı qatardıń bir túri boladı. |
|
|
|
|
||||||||||||||
Máselen, usı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n−1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
n−1 |
1 |
|
|
|
|
(−1) |
|
= 1 − |
+ |
− |
+ ... + |
(−1) |
+ ... |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
n |
2 |
3 |
4 |
|
n |
|
||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
qatar aǵzalarınıń belgileri almasıp keliwshi qatar boladı.
Leybnits belgisi. Eger aǵzalardıń belgileri almasıp keliwshi (1) qatarda:
1) cn+1 cn , |
(n =1,2,3,...) |
2) lim cn = 0
n→
bolsa, onda (1) qatar jıynaqlı boladı.
234
Máselen,
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
(−1)n−1 |
(2) |
|
1 − |
|
+ |
|
|
− |
|
+ ... + |
|
+ ... |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
n |
|
||
qatar aǵzaları keltirilgen teoremanıń barlıq shártlerin qanaatlandıradı. Teorema ǵa muwapıq (2) qatar jıynaqlı boladı.
2. Dirixle-Abel belgisi. Meyli
a1 , a2 , a3 ,...an ,..., b1 ,b2 , b3 , ... ,bn ,...
qálegen haqıyqıy sanlar izbe-izlikeri bolıp,
|
Sn = a1 + a2 +... + an |
|
|
bolsın. Bunda n N , |
m N ushın |
|
|
|
n+m |
n+m−1 |
|
|
ak bk = |
Sk (bk − bk −1 ) + Sn+m bn+m − Sn−1bn |
(3) |
|
k =n |
k =n |
|
qatnas orınlı boladı.
Ádette, (3) qatnas Abel belgisi delinedi.
Dirixe-Abel belgisi. Meyli
|
|
|
ak bk |
= a1b1 + a2b2 +... + ak bk +... |
(4) |
k =1
qatar berilgen bolsın. Eger
1) bk izbe-izlik kemeyiwishi hám ol sheksiz kishi shama,
2) ak qatardıń dara qosındıları izbe-izligi shegaralanǵan bolsa, onda
k=1
(4)qatar jıynaqlı boladı.
|
сos kx |
|
|
|
|
|
|
Mısal. |
jıynaqlılıqqa tekseriń. |
|
|
||||
k |
|
|
|||||
л=1 |
|
|
|
|
|
|
|
◄ Eger x = 2 bolsa, onda berilgen qatar |
|
|
|||||
|
|
|
сoskx |
|
cos2 k |
|
1 |
|
|
|
|
= |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
k =1 |
k |
k =1 |
k |
k =1 k |
|
garmonikalıq qatar bolıp, ol taralıwshı boladı.
235
|
Meyli x 2 bolsın. Berilgen qatarda a |
|
|
|
= cos kx, b |
= |
|
1 |
belgilep, b |
|
= |
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
k |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
k |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|||
kemeyiwyshi hám sheksiz kishi shama boladı (k → da |
1 |
→ 0) . Al |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ak |
= cos kx qatardıń dara qosındısı Sn tı tabamız: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
k =1 |
k =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Sn = cos kx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
cos kx |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
2sin |
x k =1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin(n + |
1 |
)x − sin |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
1 |
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
= |
|
|
|
sin(k + |
|
)x − sin(k − |
|
|
|
)x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
. |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
2sin |
x k =1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin |
x |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Keyingi qatnastan, 2 ga dárejeli bolmaǵan x lar ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
kelip shıǵadı. Demek, {Sn } izbe-izlik shegaralanǵan. Onda berilgen qatar DirixeAbel belgisine muwapıq jıynaqlı boladı.►
12.4. Absolyut jıynaqlı qatarlar. Shártli jıynaqlı qatarlar
Meyli
|
|
|
|
an = a1 |
+ a2 |
+... + an +... |
(1) |
n=1
qatar berilgen bolsın. Bul qatardıń hár bir aǵzası qálegen haqıyqıy sanlardan ibarat.
(1) qatar aǵzalarınıń absolyut mánislerinen usı
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
= |
a1 |
+ |
an |
+... + |
an |
+... |
(2) |
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qatardı dúzemiz.
1-teorema. Eger (2) qatar jıynaqlı bolsa, onda (1) qatar jıynaqlı boladı.
236
◄ Meyli (2) qatar jıynaqlı bolsın. Onda qatar jıynaqlılıǵı haqqındaǵı Koshi teoremasına muwapıq
|
0, |
|
|
|
n0 N, |
|
|
n n0 |
|
|
|
|
|
m =1,2,3... |
da |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1 |
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
an+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an+2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
boladı. Bunnan, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
an+1 + an+2 + ... + an+m |
|
|
|
an+1 |
|
|
+ |
|
an+2 |
|
+ .... + |
|
an+m |
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
keyingi eki qatnastan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0, |
|
|
|
n0 N, n n0 , |
|
|
|
|
|
m =1,2,3,... |
da |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an+1 + an+2 + ... + an+m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bolıwı kelip shıǵadı. Koshi teoremasına muwapıq (1) qatar jıynaqlı boladı. ► |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1-anıqlama. Eger |
|
|
|
|
an |
qatar jıynaqlı bolsa, onda |
an qatar absolyut |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
||||||
jıynaqlı qatar delinedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Máselen, usı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
(−1)n−1 = 1 − |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ... + |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||||||||||||||
qatar 1 bolǵanda absolyut jıynaqlı qatar boladı, sebebi |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
(−1)n−1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
=1 + |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
+... + |
|
|
+... |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
ulıwmalasqan garmonikalıq qatar 1 bolǵanda jıynaqlı boladı. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2-anıqlama. Eger an |
|
qatar jıynaqlı bolıp, |
an |
|
|
qatar taralıwshı bolsa, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
onda an qatar shártli jıynaqlı qatar delinedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Mısal. Usı qatar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
1 |
(−1)n−1 = 1 − |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(−1)n−1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
+ |
... + |
|
|
|
|
|
|
|
+ ... |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n=1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
shártli jıynaqlılıqqa qatar boladı.
237
|
|
|
Endi |
an |
qatardıń oń aǵzalı qatar ekenin itibarǵa alıp, an qatardıń |
n=1 |
n=1 |
|
absolyut jıynaqlılıǵın ańlatıwshı belgilerin keltiremiz.
Dalamber belgisi. Meyli an qatar aǵzaları ushın
n=1
lim |
|
an+1 |
= d |
||
|
|
|
|
||
|
|
a |
|
||
|
|
||||
n→ |
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
limiti bar bolsın. Onda:
|
|
|
1) |
d 1 bolǵanda, an |
qatar absolyut jıynaqlı boladı, |
|
n=1 |
|
|
|
|
2) |
d 1 bolǵanda, an |
qatar taralıwshı boladı. |
|
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Koshi belgisi. Meyli an qatar aǵzaları ushın |
||||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
lim n |
|
a |
|
= k |
|
|
|
|
||||
|
n→ |
|
n |
|
|
|
limiti bar bolsın. Onda: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) k 1 bolǵanda, an |
qatar absolyut jıynaqlı boladı. |
|||||
n=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) k 1 bolǵanda, an |
qatar taralıwshı boladı. |
|||||
n=1
Absolyut jıynaqlı qatarlardıń qásiyetlerin keltiremiz.
1) Eger qatar absolyut jıynaqlı bolsa, onda bul qatar jıynaqlı boladı.
|
qatar absolyut jıynaqlı bolıp, bn sanlar izbe-izligi |
2) Eger an |
|
n=1 |
|
shegaralanǵan bolsa, onda anbn jıynaqlı boladı.
n=1
3) Meyli an qatar aǵzalarınıń orınların almastırıw nátiyjesinde
n=1
|
|
|
|
a' j = a'1 |
+a'2 |
+... + a' j +... |
(8) |
j=1
238
qatarı payda bolsın. Bunnan (8) qatardıń hár bir a' j aǵzası ( j =1,2,...) (1) qatardıń tayınlanǵan bir ak j aǵzasınıń ózi boladı, yamasa k j N , ak j = a ' j boladı.
Eger (1) qatar absolyut jıynaqlı bolıp, onıń qosındısı S qa teń bolsa, onda bul qatar aǵzalarınıń orınların qálegen tárizde almastırıwdan payda bolǵan (8) qatar absolyut jıynaqlı hám onıń qosındısı hám S ge teń boladı.
239