Matematikaliq analiz oqiw qollanba

funkciyalar

bolsa, onda

1) c R:

(c f (x))=c f (x) ;

xk

xk

2) (f (x)+ g (x))= f (x)+ g (x) ;

xk

xk

xk

3) (f (x) g (x))

f (x)

g (x)+ f (x)

g (x)

xk

= xk

xk

;

f (x)

g (x)

−2

f (x)

g (x)

4)

= g (x)

g (x)− f

(x)

xk

xk

xk

(g (x) 0 ),

k =1,2,...,m

boladı.

Meyli f (x)= f (x , x ,..., x

m

)

funkciya E Rm kóplikte berilgen

bolıp,

1

2

x0 =(x10 , x20 ,..., xm0 ) E,

(x10 + x1 , x20

+ x2 ,..., xm0

+ xm ) E

bolsın. Маълумки,

berilgen funkciyanıń x0

noqattaǵı tolıq ósimi

f (x0 )= f (x0 + x1 , x20

+ x2 ,..., xm0 + xm )− f (x10 , x20 ,..., xm0 )

bolıp, ol x1, x2 ,..., xm larǵa baylanıslı boladı.

A , A ,...., A

sanları tabılıp, funkciyanıń x0

noqattaǵı tolıq ósimi

1 2

m

f (x0 )= A1 x1 + A2 x2 +.... + Am xm + 1 x1

+ 2 x2 +... + m xm

(1)

kóriniste ańlatılsa,

f (x) funkciya x0

1 , 2 ,..., m

lar

x1 , x2 , , xm

larǵa

baylanıslı

hám

x1 →0, x2 → 0,...,

xm → 0 da sheksiz kishi shamalar.

Eger (x10 , x20 ,..., xm0 )

hám

(x10 + x1 , x20 + x2 ,..., xm0

+ xm )

noqatlar

arasındaǵı aralıq

=

x2

+ x2

+...+ x2

ushın,

x →0,

x

→ 0,..., x → 0

1

2

m

1

2

m

da 1 x1 + 2 x2 +...+ m xm =0( ) bolıwın esapqa alsaq, (1) qatnas

f (x0 )= A1 x1 + A2 x2 +....+ Am xm + 0( )

(2)

kóriniske keledi.

Ádette (1) hám (2) qatnaslar

f (x)

funkciyanıń

x0

noqatta

differenciallanıwshılıq shárti delinedi.

1-mısal.

f (x)= f (x1 , x2 ,..., xm )=x12 + x22 +...+ xm2

funkciyanıń

(x10 , x20 ,..., xm0 ) Rm noqatta differenciallanıwshı bolıwı kórsetiń.

◄Berilgen funkciyanıń x0 = (x10 , x20 ,..., xm0 )

noqattaǵı tolıq ósimin tabamız

f (x0 )=(x10

+ x1 )2 +(x20

+ x2 )2 +... +(xm0 + xm )2 −

−(x102

+ x202

+... + xm02 )=2 x10 x1 + 2 x20 x2 +... + 2 xm0

xm + x12 + x22 +... + xm2 .

A =2 x0 , A =2 x0 ,..., A =2 x0

, = x ,

= x ,...,

= x

1

1

2

2

m

m

1

1

2

2

m

m bolsa, onda

f (x0 )= A1 x1 + A2 x2 +....+ Am xm + 1 x1

+ 2 x2 +...+ m xm

boladı. Demek, berilgen funkciya x0 Rm noqatta differenciallanıwshı.►

Eger

f (x) funkciya E Rm kópliktiń hár bir noqattında differenciallanıwshı

bolsa, onda funkciya E kóplikte differenciallanıwshı delinedi.

1-teorema. Eger f (x)

funkciya x0 E Rm noqatta differenciallanıwshı

bolsa, onda funkciya usı noqatta úzliksiz boladı.

2-teorema. Eger

f (x) funkciya x0

noqatta differenciallanıwshı bolsa, onda

funkciya usı noqatta barlıq dara tuwındılarǵa iye hám

f x' (x0 )= A1,

f x' (x0 )= A2 ,..., f x' (x0 )= Am

1

2

m

4-teorema.

Eger

xi = i (t1 ,t2 ,...,tk )

funkciyalarnıń

hár

biri

(i =1, 2,....m),

(t10 ,t20 ,...,tk0 ) M noqatta differenciallanıwshı bolıp, f (x1 , x2 ,..., xm )

funkciya sáykes (x10 , x20 ,..., xm0 ) noqatta

(x10 = 1 (t10 ,t20 ,...,tk0 ), x20

= 2 (t10 ,...,tk0 ),..., xm0 = m (t10 ,...,tk0 ))

differenciallanıwshı bolsa, onda quramalı f

( 1 (t1 ,...,tk ), 2 (t1 ,..., tk ),..., m (t1 ,..., tk ))

funkciya (t10 ,t20 ,...,tk0 )

noqatta differenciallanıwshı boladı.

Meyli

f (x (t)) quramalı

funkciya

joqarıdaǵı

teoremanıń

shártlerin

qanaatlandırsın. Onda

f (t)=

f

t

+ f t

+... +

f

t

+ 0( )

t

1

t

2

2

t

k

k

1

f =

f

x1

+

f

x2

+ ... +

f

xm

,

t1

x1 t1

x2 t1

xm t1

f

=

f

x1

+

f

x2

+ ... +

f

xm

,

t2

x1 t2

x2 t2

xm t2

...................................................................

f

=

f

x1

+

f

x2

+ ... +

f

xm

tk

x1 tk

x2 tk

xm tk

bolıwı kelip shıǵadı.

Meyli

m = 2

bolsın.

Onda

eki

ózgeriwshili

u = f (x, y)

((x, y) E R2 ,

u R) funkciyanıń dara tuwındıları

f

= lim

x f

= lim

f (x + x, y)− f (x, y)

,

x

x

x

x→0

x→0

f

= lim

y f

= lim

f (x, y + y)− f (x, y)

y

y

y

y→0

y→0