Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

lim

f (x1, x2 ,..., xm ) = 1 (x2 , x3 ,..., xm )

x →x0

Endi 1 (x2 , x3 ,..., xm ) funkciyada

x3 , x4 ,..., xm

ózgeriwshilerin fikserlep, soń

x2 → x20 limitke otilse

lim

1 (x2 , x3 ,..., xm ) = 2 (x3 , x4 ,..., xm )

x →x0

bolıp, berilgen funkciyanıń

lim

f (x1, x2 ,..., xm )

x →x0 x →x0

limiti payda boladı. Usıǵan uqsas f (x1 , x2 ,..., xm )

funkciyanıń

, , xi

ózgeriwshileri sáykes túrde

, x0

,...., x0

larǵa umtılǵanda limiti

lim ...

lim

f (x1, x2 ,..., xm )

→x0

dep qaraw múmkin.

Kóp ózgeriwshili funkciyanıń limiti (eseli limiti) hám onıń tákrariy limitleri

hár qıylı qatnasta boladı.

Dara jaǵdaylar.

Meyli f (x, y) funkciya E R2

kóplikte berilgen bolıp, (x0 , y0 ) R2

noqat

E tıń limit noqatı bolsın. Bul

eki

ózgeriwshili funkciya limiti anıqlamaları

tómendegi boladı. Eger

1) n N da (xn , yn ) E,

(xn , yn ) (x0 , y0 )

2) n → da (xn , yn ) →(x0 , y0 )

shartti qanaatlandırıwshi qálegen (xn , yn ) noqatlar izbe-izligi ushın

n →

да f (xn , yn ) → A

bolsa, onda A funkciyanıń (x0 , y0 ) noqattagı limiti (eseli limiti) delinedi hám

lim

f (x, y) = A

lim f (x, y) = A

x→x0

( x, y)→(x0 , y0 )

yamasa

y→y0

arqalı belgilenedi.

190

Eger 0 alǵanda hám sonday 0 tabılıp,

0 ((x, y),(x0 , y0 ))

teńsizlikti qanaatlandırıwshi (x, y) E da

f (x, y) − A

teńsizlik orınlı bolsa, onda

A san

f (x, y) funkciyanıń

(x0 , y0 ) noqattaǵı limiti

(eseli limiti) delinedi. Berilgen funkciyanıń eki tákrariy limitleri

lim

lim f (x, y) ,

lim lim f (x, y)

x→x0

y→y0

y→y0 x→x0

bolıwı múmkin.

, eger x2

+ y2 0 bolsa

(x, y) → (0,0)

1-mısal.

f ( x, y) =

+ y

funkciyanıń

, eger x2 + y2 = 0 bolsa

limiti 0 bolıwın kórsetiń.

◄ Koshi anıqlamasınan paydalanıp 0 san ushın = 2 dep

0 ((x, y),(0, 0))

teńsizlikti qanaatlandırıwshi (x, y) R2

f ( x, y) − 0

x2 + y2 =

(( x, y), (0, 0))

x2 + y2

lim f (x, y) = 0

x→0

boladı. Demek, y→0

.►

f (x, y) =

x2 y2

2-mısal.

x2 y2 + (x − y)2

funkciyanıń (0,0) noqatta limitke iye

emesligin kórsetiń.

◄ funkciya R2 \ (0,0) kóplikte anıqlanǵan hám

		1	,	1	,	1	,−


	(0,0)			n
limit noqatı.		n				n
		noqatqa umtılıwshı

(0,0) noqat usı kópliktiń

n izbe-izliklerdi alayıq

1		1	→ (0,0)		1	,−	1	→ (0,0)
	,			,

n		n		n			n	.

191

1	,	1	1	,−	1


n		n	hám n		n noqatlarda (n =1, 2,3,....) berilgen funkciyanıń mánisleri

1 1 = f , 1n n

bolıp,

	1		1		1
, f		,−		=
, f		,−		=	4n2		(n =1, 2,....)
n			n		4n2	+1	(n =1, 2,....)

	1		1		1		1
f		,		→1 , f		,−		→ 0
f		,		→1 , f		,−		→ 0
n			n		n		n

boladı. Funkciya limitinıń Geyne anıqlamasın paydalanıp , berilgen funkciyanıń

(x, y) → (0,0) da limitke iye emes.►

			xy			, eger x2 + y2	0 bolsa,


3-mısal.		x	2	+ y	2
			2		2
	f ( x, y) =
				0		, eger x2 + y2	= 0 bolsa

funkciyanıń (0,0) da tákrariy limitlerin tabıń.

◄Berilgen funkciyanıń tákrariy limitlerin tabamız:

lim f (x, y) = lim			xy				= 0, limlim f (x, y) = 0,



x→0	x→0	x	2	+ y	2		y→0 x→0
		x		+ y
lim f (x, y) = lim			xy				= 0, limlim f (x, y) = 0



y→0	y→0	x	2	+ y	2		x→0 y→0
		x		+ y		.
						.

Demek, berilgen funkciyanıń (0,0) noqattaǵı tákrariy limitleri bir-birine teń bolıp, olar 0 ge teń.►

Meyli f (x, y) funkciya R2 keńisliktegi

E = (x, y) R2 : x − x0 a, y − y0 b kóplikte berilgen bolsın.

2-teorema. Eger

1) (x, y) →(x0 , y0 ) da f (x, y) funkciyanıń limiti (eseli limiti) bar bolıp hám

lim f (x, y) = A,

x→x0 y→y0

2) hár bir fikserlengen x da

192

lim f (x, y) = (x)
y→y0	(2)
	(2)

bar bolsa, onda

lim lim f (x, y)

x→x0 y → y0

tákrariy limit bar bolıp hám

lim lim f (x, y) = A

x→x0 y → y0

boladı.

3-teorema. Eger

1) (x, y)→(x0 , y0 ) da f (x, y) funkciyanıń limiti (eseli limiti) bar bolıp hám

		lim f (x, y) = A
		x→x0	,
		y→y0	,
		y→y0
2) hár bir fikserlengen y da
		lim f (x, y)= (y)
		x→x0
	lim lim	f (x, y)
bar bolsa bolsa, onda	x→x0 y→y0		tákrariy limit bar bolsa hám
bar bolsa bolsa, onda			tákrariy limit bar bolsa hám

lim lim f (x, y)= A

x→x0 y→y0

boladı.

Saldar. Eger f (x, y) funkciya ushın bir waqıtta 2,3-teoremalarınıń shartleri orınlı bolsa, onda

lim f (x, y) = lim lim f (x, y)= lim lim f (x, y)
x→x0	x→x0 y→y0	y→y0 x→x0
y→y0

boladı.

10.4. Kóp ózgeriwshili funkciyanıń úzliksizligi. Teń ólshewli úzliksizlik. Kantor teoreması

Meyli f (x)= f (x1 , x2 ,..., xm ) funkciya Rm keńisliktegi E kóplikte berilgen

bolıp, x0 E noqatı E kópliktiń limit noqatı bolsın.

193

1-anıqlama. Eger

lim f (x)= f (x0 )
x→x0		(1)

bolsa, onda f (x) funkciya x0 noqatta úzliksiz delinedi.
2-anıqlama (Geyne). Eger
1) n N da x(n) E ;
2) n → da x(n) →x0
shartlerdi qanaatlandırıwshi qálegen	x(n)	izbe-izlik ushın

n → да f (x(n))→ f (x0 )

bolsa, onda f (x) funkciya x0

noqatta úzliksiz delinedi.

3-anıqlama (Koshi). Eger

0 , 0 , x E U (x0 ),

f (x)− f (x0 )

bolsa, onda f (x) funkciya x0

noqatta úzliksiz delinedi.

Ulıwma

u = f

(x)

funkciyanıń

noqattaǵı úzliksizligi tómendegishe

ańlatıladı

0 , 0 ,

x E U (x0 ), f (x) U (f (x0 )) .

Ádette, bul

u = f (x)− f (x0 ), (x = (x1, x2 ,...., xm ), x0 = (x10 ,..., xk0 ) )

ayırma, u = f (x) funkciyanıń x0 noqattaǵı ósimi (tolıq ósimi) delinedi.

Eger

x = x − x0

= x

− x0

, ...,

= x

− x0

1 1

bolsa, onda

u = f (x10 + x1 ,

x20 + x2 , ... , xm0

+ xm )− f (x10

x20 ..., xm0 )

boladı. f (x) funkciyanıń x0

noqatta úzliksiz bolıwı ushın

194

			lim u = 0
			x1→0
lim u = 0,			x2 →0
lim u = 0,			.......... ....
x→x0	яъни		xm →0
	яъни
bolıwı zárúrli hám jetkilikli.
Eger (1) qatnas orınlı bolmasa		f (x) funkciya x0 noqatta úzilizke iye
delinedi.

4-anıqlama. Eger f (x) funkciya E kópliktıń hár bir noqatta úzliksiz bolsa, onda funkciya usı E kóplikte úzliksiz delinedi.

Kóp ózgeriwshili funkciyalarda funkciyanıń noqattaǵı tolıq ósimi túsinigi menen bir qatarda onıń menshikli ósimi túsinikleride kiriteledi.

Bul

x1 u = f (x10 + x1, x20 , x30 ,..., xm0 ) − f (x10 , x20 ,..., xm0 ),

x2 u = f (x10 , x20 + x2 , x30 ,..., xm0 ) − f (x10 , x20 ,..., xm0 ),

............................................................................

u = f (x0

, x0

,..., x0

, x

0 + x

) − f (x0

, x0

,..., x0 ),

m−1

ayırmalarǵa sáykes

túrde

f (x)

funkciyanıń x0

noqattaǵı x1 , x2 ,..., xm

ózgeriwshilar boyınsha menshikli ósimleri delinedi.

lim

u =0 ,

x1→0

lim

u =0 ,

x2 →0

.........................

lim u =0

lim xm u =0

x→x

xm →0

boladı. Biraq,

→0

u →0

(k = 1, 2, . , m)

bolıwınan

lim u =0

x→x0

bolıwı hár dayım kelip shıgabermeydi.

Úzliksiz funkciyalardıń ápiwayı qáseytleri. Meyli f (x) hám g (x) funkciyalar E Rm kóplikte berilgen bolıp, x0 E noqatta úzliksiz bolsın. Onda

195

	c f (x), f	(x) g (x),		f (x) g (x),	f (x)	(g (x0 ) 0)
					g (x)

funkciyalar x0 noqatta úzliksiz boladı, bunda c = const .
Meyli
			x1 = 1 (t1,t2 ,....,tk ) = 1 (t),
			x2 = 2 (t1,t2 ,....,tk ) = 2 (t),
			........................................
			xm = m (t1,t2 ,....,tk ) = m (t)			(2)
funkciyalardıń hár biri		M Rk		kóplikte anıqlanǵan		bolsın. Bul (2) qatnas
nátiyjede	M kópliktiń	hár	bir t = (t1,t2 ,....,tk )		noqatına sáykes keliwshi Rm
keńisliktiń	x = (x1, x2 ,...., xm )		noqatı payda boladı. Bunday noqatlar kópligin E

deymiz hám E Rm boladı.

Meyli E kóplikte u = f (x) = f (x1, x2 ,...., xm ) funkciya anıqlanǵan bolsın. Natiyjede

t M → x →u R,

yaǵniy

(t1,t2 ,....,tk ) M →(x1, x2 ,...., xm ) →u R

bolıp,

u = f (x(t)) = f ( 1(t1,...,tk ), 2 (t1,...,tk ),..., m (t1,...,tk ))=Ф(t) =Ф(t1,t2 ,...,tk ) funkciya payda boladı. Onı quramalı funkciya delinedi.

1-teorema. Eger x1 = 1(t), x2 = 2 (t),....,xm = m (t)

(t = (t1,....,tk ))

funkciyalar

t 0

= (t 0

,...,t 0 ) M Rk

noqatta

úzliksiz,

u = f (x)

funkciya

x0 = (x0

,.x0

,..., x0 ) E Rm

(x0

= (t 0 ), x0

(t 0 ),...,x

0 =

(t 0 ))

noqatta

úzliksiz

bolsa,

onda

f (x(t)) = f ( 1, 2 ,...., m )

quramalı funkciya

t 0

noqatta

úzliksiz boladı.

Kóplikte úzliksiz bolǵan funkciyalardıń qáseytleri. Endi kóplikte úzliksiz bolǵan funkciyalardıń keltiremiz.

196

2-teorema. Eger	f (x)	funkciya shegaralanǵan tuyıq	E Rm	kóplikte
úzliksiz bolsa, onda funkciya E да shegaralanǵan boladı.
3-teorema. Eger	f (x)	funkciya shegaralanǵan tuyıq	E Rm	kóplikte

úzliksiz bolsa, onda funkciya usı kóplikte óziniı anıq joqarı hám anıq tómengi shegaralarǵa erisedi, yaǵniy

x(*) E , sup f (x) = f (x(*) ),

x E

x(**) E , inf f (x) = f (x(**)) x E

boladı.

4-teorema. Meyli f (x) = f (x1, x2 ,...., xm ) funkciya baylamlı E Rm kóplikte berilgen bolsın. Eger

1)f (x) funkciya E da úzliksiz,

2)a = (a1, a2 ,...., am ) E, b = (b1, b2 ,...., bm ) E

noqatlarda túrli belgidegi mánislerige iye

( f (a) 0, f (b) 0 yamasa f (a) 0, f (b) 0) bolsa, onda sonday c = (c1,c2 ,....,cm ) E noqat tabılıp

f (c) = 0

boladı.

Funkciyanıń teń ólshewli úzliksizligi. Kantor teoreması.

Meyli f (x) funkciya E Rm kóplikte berilgen bolsın.

5-anıqlama. Eger 0 san alǵanda hám sonday = ( ) 0 san tabılıp,

(x , x )

teńsizlikti qanaatlandırıwshi qálegen x E, x E ushın f (x ) − f (x )

teńsizlik orınlı bolsa, onda f (x) funkciya E kóplikte teń ólshewli úzliksiz delinedi.

197

E Rm

Eger f (x) funkciya E kóplikte teń ólshewli úzliksiz bolsa, onda usı kóplikte úzliksiz boladı.

Teorema. (Kantor). Eger f (x) funkciya shegaralanǵan tuyıq kóplikte úzliksiz bolsa, onda funkciya usı kóplikte teń ólshewli úzliksiz boladı.

198

11-§. KÓP ÓZGERIWSHILI FUNKCIYANÍŃ DARA TUWÍNDÍLARÍ

11.1. Kóp ózgeriwshili funkciyanıń differenciallanıwshılıǵı

Meyli f (x)= f (x1, x2 ,..., xm ) funkciya E Rm kóplikte berilgen bolıp,

( x1 0)

bolsın.

Bul

x =(x1 , x2 ,..., xm ) E,

(x1 + x1 , x2

,..., xm ) E

funkciyanıń x 0

noqattaǵı x

ózgeriwshi boyınsha dara ósimi

f (x0 )= f (x10

+ x1 , x20

,..., xm0 )− f (x10 , x20 ,..., xm0 ) x1 ǵa baylanıslı boladı.

f (x0 )

,..., xm )

1-anıqlama. lim

limit bar bolsa, bul limit f (x)= f (x1, x2

x1→0

funkciyanıń x0 =(x10 , x20 ,..., xm0 ) noqattaǵı x1

ózgeriwshisi boyınsha dara tuwındısı

delinedi. Onı f (x0 ) yamasa fx'1 (x0 ) arqalı belgilenedi:

f (x0 )

x1 f (x0 )

f (x10 + x1, x20 ,..., xm0 )− f (x10 , x20 ,..., xm0 )

= lim

x1→0

Berilgen funkciyanıń dara tuwındısın anıqlawǵa

f x'

(x0 )= lim

f (x1, x20 ,..., xm0 )− f (x10 , x20 ,..., xm0 )

x1→x10

x − x 0

boladı. Usıǵan

uqsas f (x1, x2 ,..., xm )

funkciyanıń basqa x2 , x3 ,..., xm

ózgeriwshileri boyınsha dara tuwındıları anıqlanadı:

f (x0 )

= lim

f (x0 )

= lim

f (x10 , x20 + x2

, x30 ,..., xm0 )− f (x10 , x20 ,..., xm0 )

,...,

x2 →0

f (x0 )

= lim

xm f (x0 )

= lim

f (x10 , x20 , x30 ,..., xm0 + xm )− f (x10 , x20 ,..., xm0 )

xm →0

Joqarıda keltirilgen anıqlamalardan kóp ózgeriwshili funkciyanıń dara tuwındıları bir ózgeriwshili funkciyanıń tuwındısı arqalı ekenligi kórinedi. Demek,

199

<<< < Предыдущая 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1920 / 3620 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб3Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf