Matematikaliq analiz oqiw qollanba

2) ólshem processin toqtawsız dawam (sheksiz dawam) etedi. Bul jaǵdayda

J kesindiniń uzınlıǵınıń anıq mánisi dep bul

5,7... n ...

sheksiz onlıq bólshek alınadı:

J uzınlıǵı = 5,7... n ...

Meyli tuwrı sızıqta bir O tochka hám ólshew birligi berilgen bolsın. Ol jaǵdayda O tochkadan ońda jaylasqan hár bir P tochkaǵa, OP kesindisin ólshew nátiyjesinde payda bolǵan bul 0 , 1 2 ... n ... sheksiz onlıq bólshekti sáykes qoyıw múmkin. Bunda

0 N {0}, n {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, n 1.

Bul sáykeslik óz-ara bir mánisli sáykeslik boladı. Bunnan, joqardaǵı sheksiz onlıq bólshekler arasında sheksiz periodlı onlıq bólshekler bolıp, olar teris bolmaǵan racional sanlar boladı. Qalǵan bólshekler bolsa racional sanlar bolmaydı.

1-anıqlama. Mına

a = 0 , 1 2 ... n .... ,

kórinistegi sheksiz onlıq bólshek teris bolmaǵan haqıyqıy san delinedi, bunda

0 N {0}, n {0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, n 1 .

Eger n 0; n 0 bolsa, onda oń haqıyqıy san delinedi.

Oń haqıyqıy sannıń «–» belgisi menen alınǵan oń haqıyqıy san sıpatında anıqlanadı.

Barlıq haqıyqıy sanlardan ibarat kóplik R háribi menen belgilenedi.

Barlıq natural sanlar kópligi N , racional sanlar kópligi Q , haqıyqıy sanlar kópligi R ushın N Q R boladı.

2-anıqlama. Bul

R \ Q

kóplik elementi irracional san delinedi.

10

Biz joqarıda, periodı «9» ǵa teń bolǵan sheksiz periodlı onlıq bólshekti shekli onlıq bólshek qılıp alınıwın aytqan edik. Bunıń nátiyjesinde bir san eki

1)0 , 1, 2 ,... n−1 ( n −1)999...,

2)0 , 1, 2 ,... n 000..., eki kórinisinde jazılıwı múmkin. Haqıyqıy sanlardı

salıstırıwda racional sannıń 1)- kórinisten paydalanamız. Eki teris bolmaǵan

a = 0 , 1 2 ... n .... , b = 0 , 1 2 ... n ....

haqıyqıy sanlar berilgen bolsın .

3-anıqlama. Eger n 0 de n = n yamasa

0 = 0 , 1 = 1, 2 = 2 , ..., n = n ,...

bolsa, onda a hám b sanlar teń delinedi hám a = b kóriniste jazıladı.

4-anıqlama. Eger

0 = 0 , 1 = 1, 2 = 2 , ..., n = n ,...

teńliklerdiń hesh bolmaǵanda tek birewi hám birinshi orınlanbaǵan teńlik n = k da payda bolsa, onda:

k k bolǵanda a sanı b sanınan úlken delinedi hám a b kórinisinde

11

Meyli tuwrı sızıqta, alınǵan O tochka (koordinata bası) hám ólshem birligi berilgen bolsın .

Haqıyqıy sanlar kópligi R menen tuwrı sızıq tochkaları arasındaǵı bir mánisli sáykeslik ornatıw múmkin:

O tochkadan oń baǵıtında jaylasqan P tochkaǵa OP kesindiniń uzınlıǵına teń x sanı sáykes qoyıladı ( x san P tochkanıń koordinatası delinedi);

O tochkadan sol jaǵında jaylasqan Q tochkaǵa QO kesindiniń uzınlıǵına teń x sanınıń minus belgisi menen alınǵan − x sanı sáykes qoyıladı;

O tochkaǵa nol sanı sáykes qoyıladı. Meyli a R, b R, a b bolsın :

a,b ={x R | a x b} – segment delinedi,

(a,b)={x R | a x b} – interval delinedi,

a,b)={x R | a x b} – yarım interval delinedi,

(a,b ={x R | a x b} – yarım interval delinedi.

Bunda a hám b sanlar a,b , (a,b), a,b), (a,b lerdiń shegaraları delinedi. Solay etip,

a,+ )={x R | x a},

(− , a)={x R | x a},

(− , ) = R

dep qaraymız.

1.2. Sanlı kópliklerdiń shegaraları

Haqıyqıy sanlar kópliginiń shegaralanǵanlıǵı, kópliktiń anıq shegaraları túsinikleri matematikalıq analiz kursında áhmiyetli rol oynaydı.

Meyli Е R kóplik berilgen bolsın.

1-anıqlama. Eger E kópliktiń sonday x0 elementi (x0 E) tabılǵanda, E kópliktiń qálegen x elementleri ushın

12

х x0

teńsizlik orınlı bolsa, onda x0 sanı E kópliktiń eń úlken elementi delinedi hám

teńsizlik orınlı bolsa, onda E kóplik tómennen shegaralanǵan delinedi, m sanı kópliktiń tómengi shegarası delinedi.

Bunnan, kóplik joqarıdan shegaralanǵan bolsa, onda onıń joqarı shegaraları sheksiz kóp, sonday-aq tómennen shegaralanǵan bolsa, onda onıń tómengi

13

teńsizlik orınlı bolsa, onda E kóplik joqarıdan shegaralanbaǵan delinedi. 7-anıqlama. Eger qálegen m sanı (m R) alınǵanda hám sonday x0 m

teńsizlik orınlı bolsa, onda E kóplik tómennen shegaralanbaǵan delinedi. Máselen,

1)E1 ={..., − 2, −1, 0} kóplik joqarıdan shegaralanǵan;

2)E2 ={1, 2,3,...} kóplik tómennen shegaralanǵan;

3)E3 = 1, 1 , 1 , ... kóplik shegaralanǵan;

2 3

4)E4 = x R x 0 kóplik joqarıdan shegaralanbaǵan;

5)E5 = x R x 0 kóplik tómennen shegaralanbaǵan boladı.

Endi sanlar kópliginiń anıq joqarı hám anıq tómengi shegaraları túsiniklerin keltiremiz.

Meyli E R kóplik hám a R sanı berilgen bolsın .

8-anıqlama. Eger

1)a sanı E kópliktiń joqarı shegarası bolsa, onda

2)E kópliktiń qálegen joqarı shegarası M ushın a М teńsizligi orınlı bolsa, onda a sanı E kópliktiń anıq joqarı shegarası delinedi hám sup E

kórinisinde belgilenedi:

a = sup E .

Demek, E kópliktiń anıq joqarı shegarası, onıń joqarı shegaraları arasında eń kishisi boladı.

9-anıqlama. Meyli E R kóplik hám b R sanı berilgen bolsın. Eger

1)b san E kópliktiń tómengi shegarası bolsa, onda

2)E kópliktiń qálegen tómengi shegarası m ushın b m teńsizlik orınlı

bolsa, onda b sanı E kópliktiń anıq tómengi shegarası delinedi hám inf E kórinisinde belgilenedi:

b = inf E .

Demek, E kóplitiń anıq tómengi shegarası, onıń tómengi shegaraları arasında eń úlkeni boladı.

14

“sup” hám “inf” ler latınsha “supremum” hám “infimum” sózlerden alınǵan bolıp, olar sáykes túrde eń joqarı, eń tómengi degen mánisti ańlatadı.

1-teorema. Meyli E R kóplik hám a R sanı berilgen bolsın . a sanı E kópliktiń anıq joqarı shegarası bolıwı ushın

1)a sanı E kópliktiń joqarı shegarası,

2)a sanınan kishi bolǵan qálegen ( a) ushın E kóplikte x

teńsizlikti qanaatlandırıwshı x sanınıń tabılıwı zárúrli hám jetkilikli.

◄ Zárúrligi. Meyli

a = sup E

bolsın. 8-anıqlamaǵa tiykarlanıp:

1) x E ushın x a , yamasa a sanı E kópliktiń joqarı shegarası;

2) a sanı joqarı shegaralar arasında eń kishisi. Bunnan a dan kishi sanı ushın x bolǵan x E sanı tabıladı.

Jetkilikligi. Teoremanıń eki shárti orınlansın. Bul jaǵdayda, a shártin qanaatlandırıwshı hár qanday sanı E kópliktiń joqarı shegarası bola almaydı. Demek, a - kópliktiń joqarı shegaraları arasında eń kishisi. Onda anıqlamaǵa karap

a = sup E

boladı. ►

Tap usıǵan uqsas tómendegi teorema dálillenedi.

2-teorema. Meyli E R kóplik hám b R sanı berilgen bolsın. b sanı E kópliktiń anıq tómengi shegarası bolıwı ushın

1)b sanı E kópliktiń tómengi shegarası,

2)b sanınan úlken bolǵan qálegen ( b) ushın E kóplikte x

teńsizligin qanaatlandırıwshı x sanınıń tabılıwı zárúrli hám jetkilikli.

Eskertiw. Eger E R kóplik joqarıdan shegaralanbaǵan bolsa, onda sup E = + ,

tómennen shegaralanbaǵan bolsa, onda

inf E = −

15

dep alınadı.

1.3. Haqıyqıy sanlar ústinde ámeller

Racional sanlar ústinde ámeller tiykarınan shekli onlıq bólshekler ústinde orınlanatuǵın ámeller hám olardıń qásiyetleri málim dep esaplaymız.

Meyli eki oń

a= 0 , 1 2 ... n ...

b= 0 , 1 2 ... n ...

haqıyqıy sanlar berilgen bolsın. Onda n 0 bolǵanda bul

boladı.

Endi (1) hám (2) teńsizliklerdi qanaatlandırıwshı racional sanlardıń qosındısı an' + bn' lerden ibarat { an' + bn' } kóplikti qaraymız. Anıqraǵı, bul kóp lik joqarıdan shegaralanǵan. Onda { an' + bn' } kópliktiń anıq joqarı shegarası bar boladı.

1-anıqlama. { an' + bn' } kópliktiń anıq joqarı shegarası a hám b haqıyqıy sanlar jıyındısı delinedi hám a + b kórinisinde belgilenedi:

16

(1) hám (2) teńsizliklerdi qanaatlandırıwshı racional sanlardıń qatnası аn'

bn''

lerden ibarat аn' kóplik joqarıdan shegaralanǵan boladı.

bn' '

Eskertiw. 1) Haqıyqıy sanlar ústinde orınlanatuǵın qosıw, kóbeytiw, ayırıw hám bóliw ámellerin kópliktiń anıq tómengi shegarası arqalı ańlatıw múmkin.

Máselen, a hám b haqıyqıy sanlar qosındısı tómendegishe ańlatıladı:

а + b = inf{an' ' + bn' ' }.

n 0

17

Haqıyqıy sanlarda, joqarıda kiritilgen ámeller orta mektep matematika kursında úyrenilgen ámellerdiń barlıq qásiyetlerine iye.

Haqıyqıy sanınıń dárejesi. Dáslep haqıyqıy sannıń 0-hám n - dárejeleri ( n N ) tómendegishe

а0 = 1,

a n = a a ... a , (n N )

n та

anıqlanıwın kórsetemiz.

Teorema. Meyli a 0 hám n N bolsın, onda sonday jalǵız oń x sanı tabılıp,

xn = a

boladı.

5-anıqlama. Haqıyqıy oń a sanınıń n dárejeli koreni dep

anıqlanadı.

6-anıqlama. Meyli a 1, b 0 haqıyqıy sanları berilgen bolsın, onda a

18

teńsizlik orınlı boladı.

◄ Bul teńsizlikti matematikalıq indukciya usılı járdeminde dállileymiz. Ulıwma aytqanda n = 1 de (4) teńsizlik orınlı boladı

1 + x =1 + x.

Endi n N de (4) qatnas orınlı dep, onı n +1 ushın hám orınlı bolıwın kórsetemiz.

(4) teńsizliktiń hár eki tárepin 1 + x ge kóbeytip tabamız:

(1 + x)n+1 (1 + nx) (1 + x) =1 + (n +1)x + nx2 1 + (n +1)x.

Matematikalıq indukciya usılına tiykarlanıp (4) qatnas qálegen n N ushın orınlı boladı.►

(4) teńsizlik Bernulli teńsizligi delinedi.

19