Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1306 вузов, 5174 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха
Предмет:
Дискретная математика
Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf
Скачиваний:
15
Добавлен:
10.08.2024
Размер:
7.89 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

2 (t) + 2 (t)dt

(5)

( AB) =

kelip shıǵadı. Bul formula járdeminde doǵa uzınlıǵı esaplanadı.

Aylanba bettiń maydanı hám onı esaplaw.

Meyli f (x) C[a, b] bolıp, ol [a,b] segmentte úzliksiz f '(x) tuwındıǵa

iye bolsın. Bul funkciya grafigi AB doǵanı Ox kósheri átirapında aylandırıwdan payda bolǵan П aylanba betiniń maydanın tabamız.

[a,b] segmenttiń qálegen P bóleklewin alıp, joqarıdaǵıday

n−1

f (x

 

) + f (x

 

 

)

 

 

 

 

 

 

 

k

k +1

(xk +1 − xk )2 +[ f (xk +1 ) − f (xk )]2

(K) = 2

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qosındını dúzemiz. Lagranj teoremasına muwapıq

 

 

 

f (xk +1 ) − f (xk ) = f ( k )(xk +1 − xk ) = f ( k ) xk

boladı, bunda k [xk , xk +1 ]. Nátiyjede

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

f (x

 

) + f (x

 

)

 

 

 

 

 

 

k

k +1

1 + f 2 ( k ) xk

(K ) = 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Keyingi teńlikti tómendegishe jazıp alamız:

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

2

( k ) xk +

 

(K ) = 2 f ( k ) 1 + f '

 

 

[( f (xk ) −

(1)

 

k =0

 

 

 

 

 

 

k =0

− f ( k )) + ( f (xk +1 ) − f ( k ))]

 

 

 

xk .

 

1 + f '2 ( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x) C[a,b] bolǵanlıǵı sebepli f (x)

 

1 + f '2 (x) R[a,b]

 

boladı. Demek, p → 0 da

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

1 + f 2 ( k ) xk

 

 

 

1 + f 2 (x)dx

 

2 f ( k )

 

→ 2 f (x)

(2)

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

Bunnan, 1 + f 2 (x) C [a, b].

Demek, bul funkciya [a,b] da óziniń maksimum mánisine iye boladı. Onı

M deymiz:

M = max 1 + f 2 (x) .

a x b

170

f (x) funkciya [a,b]

 

segmentte teń ólshewli úzliksiz boladı. Onda

0

alınǵanda hám,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ga

 

 

muwapıq sonday 0

 

san tabılsa,

p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2M (b − a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bolǵanda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xk ) − f ( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

,

 

 

f (xk +1 ) − f ( k )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2M (b − a)

2M (b − a)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı. Solardı esapqa alıp tómendegini tabamız

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

( f (xk ) − f ( k )) + ( f (xk +1 ) − f ( k )) 1+ f

 

( k ) xk

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (xk ) − f ( k )

 

+

 

f (xk +1 )

− f ( k )

 

1+ f 2 ( k ) xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

M

 

 

 

 

 

 

+

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2M (b − a)

 

 

2M (b − a)

 

k =0

 

 

 

 

 

 

 

 

Bunnan p → 0

da kelip shıǵadı. p

→ 0 da (1) teńlikte limitke ótip,

(bunda (2) hám (3) qatnaslardı itibarǵa alıp) aylanba betiniń maydanı ushın

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + f 2 (x) dx . ►

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(П) = 2 f (x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Meyli

AB iymek sızıq joqarı yarım tegislikte jaylasqan bolıp, ol usı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x = (t)

 

( t )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (t)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

parametrlik

teńlemeler sisteması

menen

 

berilgen bolsın. Bunda (t), (t)

funkciyaları [ , ] da úzliksiz hám úzliksiz (t), (t) tuwındılarǵa iye. Bul

iymek sızıqtı Ox kósheri átirapında aylandırıwdan payda bolǵan aylanba betiniń maydanı

 

 

 

(П) = 2 (t)

2 (t) + 2 (t) dt

(5)

boladı.

2-mısal. x2 + ( y − 2)2 =1 sheńberdi Ox kósheri átirapında aylandırıwdan

payda bolǵan aylanba bettiń (tordıń) maydanın tabıń.

171

◄ Sheńberdiń teńlemesin tómendegishe

x = (t) = cost

(0 t 2 )

y = (t) = 2 + sin t

parametrlik kóriniste jazamız.

Izlenip atırǵan aylanba bettiń maydanı, (5) formulaǵa muwapıq

2

(П) = 2 (2 + sin t)(cost) 2 + (2 + sin t) 2 dt =

0

2

= 2 (2 + sin t)dt = 8 2

0

boladı. ►

Anıq integraldıń mexanika hám fizikaǵa qollanıwları.

1. Inerciya momenti. Mexanikada materiallıq tochka háreketi áhmiyetli túsiniklerinin biri esaplanadı.

Ádette, ólshemi jeterli dárejede kishi hám massaǵa iye bolǵan dene materiallıq tochka dep qaraladı.

Meyli tegislikte m massaǵa iye bolǵan A materiallıq tochka berilgen bolıp , bul tochkadan bazı bir l kósherine shekem (yamasa O tochkaǵa shekem) bolǵan aralıq r qa teń bolsın.

Bul

J = mr 2

muǵdar A materiallıq tochkanıń l kósherge (O tochkaǵa) salıstırǵanda inerciya momenti delinedi.

Máselen, A = A(x, y) materiallıq tochkanıń koordinata kósherlerine hám koordinata basına salıstırǵanda inerciya momentleri sáykes tárizde

J x = my 2 , J y = mx 2 , J 0 = m x 2 + y 2 boladı. Tegislikte, hár biri sáykes tárizde m0 , m1 , m2 ,....,mn−1

massaǵa iye bolǵan materiallıq tochkalar sisteması

{A0 , A1 , A2 ,...., An−1}

nıń bazıbir l kósherine (O tochkaǵa) salıstırǵanda inerciya momenti bul

172

n−1

J n = mk rk 2

k =0

qosındı menen anıqlanadı, bunda rk − Ak tochkadan l kósherge shekem (O tochkaǵa) bolǵan aralıq (k = 0,1, 2,..., n −1) .

Meyli y = f (x) iymek sızıq doǵa AB boyınsha tıǵızlıǵı = 1 ga teń massa tarqatılǵan bolıp, bunda f (x) funkciya [a,b] segmentte úzliksiz hám úzliksiz

f (x) tuwındıǵa iye bolsın.

Bunnan, bul jaǵdayda massa doǵa uzınlıǵına teń boladı:

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

1 + f 2 (x) dx .

 

 

 

m =

 

 

 

a

 

 

 

 

 

[a,b] segmenttiń qálegen

 

 

 

 

 

 

P ={x0 , x1,..., xn }

 

 

(a = x0 x1 ... xn = b)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bóleklewin alamız. Bul bóleklew

AB doǵanı

 

 

Ak = Ak (xk , f (xk ))

(k = 0,1, 2,..., n −1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

tochkalar menen n ta Ak Ak +1

( A0 = A,

An−1 = B) bólekke ajıratadı. Bunda Ak Ak +1

bólektiń massası

 

 

 

 

 

 

 

 

xk +1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ f 2 (x) dx

 

 

mk =

1

(k = 0,1, 2,..., n −1)

xk

boladı. Orta mánis haqqındaǵı teoremadan paydalanıp tabamız:

mk = 1 + f 2 ( k ) xk , bunda, k [xk , xk +1 ] , xk = xk +1 − xk . Bizge belgili,

( k , f ( k )) (k = 0,1, 2,..., n −1)

materiallıq tochkanıń koordinata kósherlerine hám koordinata basına salıstırǵanda inerciya momentleri sáykes tárizde

 

 

( k )= f 2

( k )

 

 

 

J x

= mk f 2

1 + f 2 ( k ) xk ,

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

= m

k

2

= 2

 

1 + f 2 (

k

) x

k

,

 

yk

 

k

k

 

 

 

 

 

 

173

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J

= m

k

( 2

+ f 2 (

k

)) = ( 2

+ f 2 (

k

)) 1 + f 2 (

k

) x

k

0

 

k

 

k

 

 

 

 

 

boladı. Onda bul

{( 0 , f ( 0 )), ( 1, f ( 1 ),..., ( n−1, f ( n−1 ))} materiallıq tochkalar sistemasınıń inerciya momentleri sáykes tárizde

J x(n) = n−1 f 2 ( k )

 

 

xk ,

1 + f 2 ( k )

k =0

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J y(n) = k2

 

1 + f 2 ( k ) xk ,

k =0

 

 

 

 

 

 

 

n−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J 0(n) = ( k2

+ f 2 ( k )) 1 + f 2 ( k ) xk ,

k =0

 

 

 

 

 

 

 

teńlikler menen belgilenedi.

Agar P bóleklewdiń diametri p nol’ge talpınıp barsa, onda hár bir Ak Ak +1 doǵanıń uzınlıǵı hám nol’ge talpınıp, joqarıdaǵı

J x(n) , J y(n) , J0(n) ,

qosındılardıń limitin massaǵa iye bolǵan AB iymek sızıqtıń sáykes koordinata bası hám koordinata kósherlerine salıstırǵanda inerciya momentlerin belgileydi dep qaraw múmkin.

Házirgi waqıtta,

lim J (n)

p →0 x

lim J (n)

p →0 y

lim J (n)

p →0 0

= b

 

 

 

 

 

 

f 2 (x) 1 + f 2 (x) dx ,

a

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= x 2

1 + f 2 (x) dx ,

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= (x 2 + f 2 (x)) 1 + f

2 (x) dx

a

boladı.

Demek, massaǵa iye bolǵan AB iymek sızıqtıń koordinata kósherlerine hám koordinata basına salıstırǵanda inerciya momentleri anıq integrallar járdeminde tabıladı:

J x = b

 

 

 

f 2 (x) 1 + f 2 (x) dx ,

a

 

 

 

174

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J y = x2

1 + f 2 (x) dx ,

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

b

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

J0 = (x2 + f 2 (x)) 1 + f 2 (x) dx .

 

a

 

 

 

 

 

 

 

2. Ózgeriwshi kúshtiń orınlaǵan jumısı. Bazı bir deneni Оx kósheri boylap,

usı kósher jónelisinde

bolǵan F = F (x) kúsh tásiri astında a tochkadan b

tochkaǵa (a b) ótkiziw ushın orınlaǵan jumıstı tabıw kerek bolsın.

Bunnan, denege tásir etiwshi kúsh turaqlı, yamasa

 

 

F (x) = C − const

 

 

bolsa, onda deneni a tochkadan b tochkaǵa ótkiziw ushın orınlaǵan jumıs

 

 

A = C (b − a)

 

 

ǵa teń boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

Meyli denege tásir etiwshi kúsh x ga (x [a,b])

baylanıslı bolıp, ol [a,b]

da úzliksiz bolsın:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F = F (x) C [a, b].

 

 

[a,b] segmenttiń qálegen

 

 

 

 

 

 

 

P = x0 , x1 ,...,

xn

(a = x0 x1

... xn = b)

bóleklewdi alıp, bul bóleklewdiń hár bir

 

 

 

 

 

 

[xk , xk +1 ]

 

 

(k = 0,1,2,...,n −1)

bólekshesinde qálegen k

k [xk , xk +1 ]; ( k = 0,1,2..., n −1) tochka alamız.

Eger hár bir [xk , xk +1 ] da denege tásir etiwshi kúshti turaqlı hám ol F( k )

ǵa teń delinse, ol jaǵdayda [xk , xk +1 ] aralıqta orınlanǵan jumıs (kúsh tásirinde deneni xk tochkadan xk +1 tochkaǵa ótkiziw ushın orınlaǵan jumıs)

F( k ) (xk +1 − xk ) formula menen, [a,b] aralıqta orınlanǵan jumıs bolsa, onda

n−1

n−1

 

A F( k ) (xk +1

− xk ) = F( k ) xk

(1)

k =0

k =0

 

formula menen belgilenedi.

175

P bóleklewdiń diametri p nol’ge talpınǵanda joqarıdaǵı qosındınıń mánisi izlenip atırǵan jumıs muǵdarın anıǵıraq belgileydi. Bul jaǵday p → 0 da (1) qosındınıń shekli limitin orınlanǵan jumıs deliniwi múmkinligin kórsetedi.

Demek,

n−1

A = lim F( k ) xk .

p →0 k =0

Bunnan, F (x) C[a, b] eken,

 

n−1

b

lim

F( k ) xk = F(x)dx

p →0

k =0

a

 

boladı. Bunnan, ózgeriwshi F (x) kúshtiń [a,b] daǵı orınlaǵan jumısı

b

 

A = F(x)dx

(2)

a

formula menen belgilenedi.

Mısal. Vintsimon prujinanıń bir ushı bekkemlengen, ekinshi ushına bolsa

F = F (x) kúsh tásir etip, prujina qısılǵan (13-sızılma)

13-sızılma

 

Eger prujinanıń qısılıwı oǵan tásir etip atırǵan

F (x) kúshke p roporcional

bolsa, prujinanı a birlikke qısıw ushın F (x) kúshtiń orınlaǵan jumıstı tabıń.

◄ Eger F (x) kúsh tásirinde prujinanıń

qısılıw muǵdarın x arqalı

belgilesek, onda

 

F (x) = kx

 

176

boladı, bunda k -proporcionallıq koefficienti (qısılıw koefficienti). (2) formulaǵa muwapıq orınlanǵan jumıs

a

ka2

A = kxdx =

 

2

0

 

boladı. ►

177

x1, x2 ,..., xm

10-§. Rm KEŃISLIK

10.1. Rm keńislik hám onıń áhmiyetli kóplikleri

Rm keńislik. Haqıyqıy sanlar kópligi R járdeminde

R R

R = (x1, x2 ,..., xm ): x1 R, x2 R,..., xm R (1)

m та

 

kóplikti ( R dıń dekart kóbeymelerinen dúzilgen kóplikti) payda eteyik. (1) kópliktıń hár bir elementi haqıyqıy sanlardan ibarat bolǵan tártiplengen m lik

(x1, x2 ,..., xm )

ibarat boladı. Onı (1) kópliktiń noqatı deb, bir hárib penen belgilenedi,

x = (x1, x2 ,..., xm ) .

Bunda x1, x2 ,..., xm sanlar x noqattıń sáykes túrde birinshi, ekinshi, ... , m - koordinataları delinedi.

Eger

x = (x1, x2 ,..., xm ),

y = ( y1, y2 ,..., ym )

noqatlar ushın x1 = y1 ,

x2 = y2 ,..., xm = ym bolsa, onda x = y delinedi.

 

Meyli

x = (x1, x2 ,..., xm ),

y = ( y1, y2 ,..., ym ) lar

(1) kópliktiń qálegen eki

noqatı bolsın. Bul

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

m (yk − xk )2

 

 

 

 

k =1

 

shama x hám y noqatlar arasındaǵı aralıq delinedi hám onı

(x, y) arqalı

belgilenedi

 

 

 

 

 

 

(x, y)= m (yk − xk )2

 

 

 

k =1

.

(2)

 

 

178

Endi aralıqtıń qáseytlerin keltiremiz:

 

1)

Hár dayım (x, y) 0 hám (x, y)= 0

x = y boladı.

2)

(x, y) aralıq x hám y larǵa salıstırǵanda simmetriyalı boladı,

(x, y)= (y, x).

3)(1) kópliktiń qálegen

x = (x1, x2 ,..., xm ), y = ( y1, y2 ,..., ym ) , z = (z1, z2 ,..., zm )

noqatları ushın

(x, z) (x, y)+ (y, z)

teńsizlik orınlı boladı.

Ádette, (1) kóplik Rm keńislik delinedi. Demek,

Rm = (x1, x2 ,..., xm ): x1 R , x2 R,..., xm R .

Endi Rm keńisliktegi bazı bir kópliklerdi keltiremiz.

Meyli bazı bir a = (a1 ,a2 ,...,am ) Rm noqat hám r 0 san berilgen bolsın. Bul

Br (a)= (x1 , x2 ,..., xm ) Rm : (x1 − a1 )2 + ... + (xm − am )2 r

qısqasha,

Br (a)= x Rm : (x,a) r

kóplik orayı a noqat, radiusı r bolǵan shar ( m ólshewli shar) delinedi.

Br (a)= x Rm : (x,a) r kóplik Rm keńislikte tuyıq shar,

Br0 (a)= x Rm : (x,a)= r

kóplik bolsa, onda Rm keńislikte sfera ( m ólshewli sfera) delinedi.

179

Соседние файлы в предмете Дискретная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности