Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Matematikaliq analiz oqiw qollanba

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1617 / 3617 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 > Следующая >>>

				n	2880n4
					2880n4
boladı. Demek,
b	b		b − a
	f (x)dx =		b − a	[ f (x0 ) + f (x2n ) + 4( f (x1 ) + f (x3 ) + ... + f (x2n−1 )) +
	f (x)dx =
	a		6n
	a
	+ 2( f (x2 ) + f (x4 ) + ... + f (x2n−2 ))] −						(b − a)5		f (iv) ( ).
							2880n4
f (x)dx b		− a [ f (x0 ) + f (x2n ) + 4( f (x1 ) + f (x3 ) + ...
a	6n
	... + f (x2n−1)) + 2( f (x2 ) + f (x4 ) + ... + f (x2n−2 ))].									(4 )
(4) formula Simpson formulası delinedi.
Bul juwıq formulanıń qáteligi R ,						f (x) funkciya [a,b] da úzliksiz				f (iv) (x)
					n
tuwındıǵa iye bolıw shártinde,
			R = − (b − a)5			f (iv) ( )		( (a,b))

Mısal. е−x2 dx integral durıs tórtmúyeshlikler, trapeciyalar hám Simpson

formulaları járdeminde juwıq esaplań.

◄ [0,1] segmentti 5 ta teń bólekke bólemiz. Bunda bóliniw tochkaları x0 = 0, x1 = 0,2, x2 = 0,4, x3 = 0,6, x4 = 0,8, x5 =1,0

bolıp, bul tochkalarda f (x) = e−x2 funkciyanıń mánisleri tómendegishe boladı:

f (x0 ) = 1, 00000, f (x1 ) = 0, 96079, f (x2 ) = 0,85214,

f (x3 ) = 0, 69768, f (x4 ) = 0,52729, f (x5 ) = 0, 36788.

Hár bir bólektiń ortasın ańlatıwshı tochkalar

= 0,1 ,

= 0,3 ,

= 0,5 ,

= 0,7 ,

= 0,9

bolıp, bul tochkalardaǵı funkciyanıń mánisleri tómendegishe boladı:

160

f (x1 ) = 0,99005			,

2
f (x3 ) = 0,91393			,

2
f (x5 ) = 0,77680			,

2
f (x7 ) = 0,61263			,

5

f (x9 ) = 0,44486 .

a) Durıs tórtmúyeshlikler formulası boyınsha

1		1
e−x2 dx		1	(0,99005 + 0,91393 + 0,77680 +
e−x2 dx		5	(0,99005 + 0,91393 + 0,77680 +
0		5
0
+ 0,61263 + 0,44486) =						1	3,74027 0,74805
+ 0,61263 + 0,44486) =						5	3,74027 0,74805
						5
bolıp,
	R			1	=		1	0,003
				1			1

		n		12 25		300
				12 25		300

boladı.

b) Trapeciyalar formulası boyınsha

1	1		1,00000 + 0,36788
e−x2 dx		(		+ 0,96079 + 0,85214 +

0	5	2

+0,69768 + 0,52729) = 15 (0,68394 + 3,03790) =

=15 3,72184 0,74437

bolıp,

R		1	=	1	0,006


n	6	25	150

boladı.

v) Simpson formulası boyınsha

1	1
e−x2 dx		[(1,00000 + 0,36788) + 4(0,99005 +
	30
0

+ 0,91393 + 0,77680 + 0,61263 + 0,44486) + 2(0,96079 +

161

+0,85214 + 0,69768 + 0,52729)] = 301 (1,36788 + 4 3,74027) +

+2 3,03790) = 301 (1,36788 + 6,07580 + 14,96108) 0,74682

bolıp,

R	12		= 0,7	10−5
	12


n	2880	54
	2880	54

boladı.

9.5. Anıq integraldıń geometriyaǵa, fizikaǵa hám mexanikaǵa

qollanılıwları

Iymek sızıqlı trapeciyanıń maydanın esaplaw.

Meyli f (x) C[a, b] bolıp, x [a,b] da f (x) 0 bolsın.

Joqarıda f (x) funkciya grafigi, qaptal táreplerden x = a , x = b vertikal sızıqlar hám tómennen abcissa kósheri menen shegaralanǵan Q figuranı qarayıq. (10sızılma)

10sızılma

Ádette, bul figura iymek sızıqlı trapeciya delinedi. [a,b] segmentti qálegen

P = {x0 , x1 , x2 ,..., xn } (a = x0 x1 x2 ... xn = b) bóleklewdi alamız. Bul bóleklewdiń hár bir [xk , xk +1 ] aralıǵında

inf{ f (x)} = mk , sup{ f (x)} = M k (k = 0,1,2,..., n −1)

payda boladı.

162

Endi tiykarı xk = xk +1 − xk , biyikligi mk bolǵan (k = 0,1,2,..., n −1) durıs tórtmúyeshliklerdiń birikpelerin payda tapqan durıs kópmúyeshlikti A deyik.

Sonday-aq, tiykarı xk = xk +1 − xk , biyikligi M k bolǵan (k = 0,1,2,..., n −1) durıs tórtmúyeshliklerdiń birikpelerinen payda bolǵan durıs kópmúyeshlikti B dep alayıq. Bunnan,

A Q ,	Q B
bolıp, olardıń maydanları
n−1	n−1
( A) = mk xk ,	(B) = M k xk
k =0	k =0

boladı. Bul qosındılardı f (x) funkciyanıń [a,b] segmentiniń P bóleklewine

salıstırǵanda Darbudıń tómeni hám joqarı qosındıları ekenligin anıqlaw qıyın emes:

( A) = s( f ; P) ,	(B) = S( f ; P).
f (x) C[a, b] bolǵanı ushın f (x) funkciya	[a,b] da integrallanıwshı boladı.

Onda integrallanıwshılıq kriteriysına muwapıq, 0 alınǵanda hám [a,b] segmenttiń sonday P bóleklewi tabılǵanda,

S( f ; P) − s( f ; P)

boladı. Sebebi, bul

(B) − ( A)

teńsizlik orınlanadı. Bul bolsa, onda 1-teoremaǵa sáykes, qaralıp atırǵan iyrek sızıqlı trapeciyanıń maydanına iye bolıwın bildiredi. Onda anıqlamaǵa sáykes

sup{ ( A)} = inf{ (B)}

boladı. Usı waqıtta,

b		b
sup{ ( A)} = f ( x)dx,	inf{ (B)} = f (x)dx
a		a
bolǵanlıǵı sebepli Q iymek sızıqlı trapeciyanıń maydanı
b
(Q) = f (x)dx		(1)

163

ǵa teń boladı.

1-mısal. Tegislikte

	x2	+	y 2		= 1
	a2		b2

ellips penen shegaralanǵan Q figuranıń maydanın tabıń.
◄Ellips penen shegaralanǵan		Q		figuranıń maydanı OX hám OY
koordinata kósherleri hám

f (x) = b		1 −		x2		, 0 x a
				a2

sızıqlar menen shegaralanǵan iymek sızıqlı trapeciya maydanınıń 1/4 ne teń boladı. (11-sızılma ).

11-sızılma

Onda (1) formuladan paydalanıp tómendegini tabamız

(Q) = 4 b 1 −

dx =

a 2 − x 2 dx =

x = a sin t ,

0 t

dx = a cos tdt ,

a 2

2 cos2 tdt = 4ab

= ab .►

Iymek sızıqlı sektordıń maydanın esaplaw. Meyli AB iymek sızıq polyar koordinatalar sistemasında bul

= ( ) ,

( R , R)

teńleme menen berilgen bolsın. Bunda

164

	( ) C[ , ] ,	[ , ] да	( ) 0 .

Tegislikte	AB iymek sızıq hám OA hám OB		radius-vektorlar menen
shegaralanǵan Q figuranı qaraymız.		(12 -sızılma).

12sızılma

[ , ] segmentti qálegen

P ={ 0 , 1,..., n } ( = 0 1 ... n = )

bóleklewdi alamız. O tochkadan hár bir polyar múyeshi k ga sáykes OAk radiusvektor ótkizemiz. Nátiyjede OAB -iymek sızıqlı sektor

OAk Ak +1 (k = 0,1,2,...,n −1 ;	A0 = A , An = B)
iymek sızıqlı sektorlarǵa ajıraladı.
Bunnan, = ( ) C[ , ]
bolǵanlıǵı ushın [ k , k +1 ] da (k = 0,1,2,..., n −1)
mk = inf{ ( )} , M k	= sup{ ( )}

ler bar boladı.

Endi hár bir [ k , k +1 ] segment ushın radius-vektorları sáykes tárizde mk hám M k bolǵan dóngelek sektorlardı payda etemiz. Bunday dóngelek sektorlar maydanǵa iye bolıp, olardıń maydanı sáykes tárizde

	1	mk2	k	,	1	M k2	k	( k = k +1 − k )
2					2

boladı. Radius-vektorları mk				(k = 0,1,2,...,n −1)				bolǵan barlıq dóngelek sektorlar

birikpesinen payda bolǵan figuranı Q1 desek, onda Q1 Q bolıp, onıń maydanı

165

	1 n−1
(Q1 ) =		mk2	k	(3)

	2 k =0
boladı.
Sonıń menen birge, radius-vektorları M k (k = 0,1,2,..., n −1)				bolǵan barlıq

dóngelek sektorlar birikpesinen payda bolǵan figuranı Q2

desek, onda Q Q2

bolıp, onıń maydanı

1 n−1

(Q2 ) =

M k2 k

(4)

2 k =0

boladı. (3) hám (4) qosındılar

( ) funkciyanıń Darbu qosındıları boladı. Bul

jaǵdayda,

2 ( ) funkciya [ , ]

da úzliksiz bolǵanı ushın ol integrallanıwshı

boladı. Demek, 0 alınǵanda hám [ , ]

segmenttiń sonday P bóleklewi

tabılǵanda,

( ); P) − s(

2 ( ); P)

boladı. Sebebi, bul

(Q2 ) − (Q1 )

teńsizlik orınlanadı. Bul bolsa, onda2-teoremaǵa muwapıq, qaralıp atırǵan iymek sızıqlı sektordıń maydanına iye bolıwın bildiredi. Onda anıqlamasına muwapıq

sup (Q1 ) = inf (Q2 )

boladı. Házirgi waqıtta,

sup (Q1 ) = 2 ( )d ,

inf (Q2 ) = 2 ( )d

bolǵanı sebepli Q iymek sızıqlı sektordıń maydanı

(Q) = 1 2 ( )d 2

ga teń boladı.

166

Doǵanıń uzınlıǵı hám onı esaplaw.

y = f (x) teńleme menen berilgen iymek sızıq uzınlıǵın esaplaw. Meyli
			AB
iymek sızıq
y = f ( x), a x b
teńleme menen berilgen bolsın. Bunda	f (x) funkciya [a,b]	segmentte úzliksiz
hám úzliksiz f (x) tuwındıǵa iye. [a,b] segmenttiń qálegen
P = {x0 , x1,..., xn }	(a = x0 x1 ... xn	= b)

bóleklewin alıp, oǵan sáykes AB doǵaǵa sızılǵan l sınıq sızıqtı payda etemiz. Bul sınıq sızıqtıń perimetri

n−1
	− xk )2	+ [ f (xk +1 ) − f (xk )]2
(l) = (xk +1
k =0

boladı. Hár bir [xk , xk+1 ] segmentte f (x) funkciyaǵa Lagranj teoremasın qollap

	n−1
		− xk )2 +[ f ( k ) (xk +1 − xk )]2 =
(l) = (xk +1
	k =0
n−1				n−1

= 1+ f 2 ( k ) (xk +1 − xk ) = 1+ f 2 ( k ) xk ,
k =0				k =0
Bunda k [xk , xr+1 ].

Bul teńliktegi qosındınıń			1 + f 2 (x) funkciyanıń integral qosındısınan

parqı sonda, integral qosındıda k [xk , xk +1 ] tochka qálegen jaǵdayda joqarıdaǵı qosındıdıda bolsa k tochka Lagranj teoremasına muwapıq alınǵan tayın tochka boladı. Biraq 1 + f 2 (x) funkciya integrallanıwshı bolǵanlıǵı sebepli k = k dep alınıwı múmkin. Nátiyjede

n−1

(l) = 1+ f 2 ( k ) xk

k =0

bolıp, onnan

		n−1		b
		n−1		b
lim (l) = lim			1+ f 2 ( k ) xk =		1+ f 2 (x)dx
p →0	p →0	k =0		a
		k =0		a

kelip shıǵadı.

Demek, AB doǵanıń uzınlıǵı

167

	b
	b
( AB) =		1 + f 2 (x)dx	(2)

boladı. Bul formula járdeminde doǵa uzınlıǵı esaplanadı.

Parametrlik kóriniste berilgen iymek sızıq uzınlıǵın esaplaw.

Meyli, AB iymek sızıq bul

x = (t),	( t )
	( t )
y = (t)

teńlemeler sisteması menen berilgen bolıp, (1) shártlerdiń orınlanıwı menen birge

(t), (t) funkciyaları [ , ]		da úzliksiz (t) hám (t) tuwındılarǵa iye bolsın.
[ , ] segmenttiń qálegen
	P = t0 ,t1,...,tn			( = t0	t1 ... tn	= )
bóleklewdi	alıp, olarǵa		sáykes		doǵanıń
bóleklewdi	alıp, olarǵa		sáykes	AB	doǵanıń	Ak = Ak (xk , yk )
(xk = (tk ) ,	yk = (tk )) tochkaların			bir-biri menen tuwrı sızıq kesilispesi
járdeminde birlestiriwden payda bolǵan l				sınıq sızıq perimetri
	n−1
	n−1
	(l) = [ (tk +1 ) − (tk )]2 +[ (tk +1 ) − (tk ))]2
	k =0

ni qaraymız. Lagranj teoremasınan paydalanıp tabamız:

n−1

(l) =

2 ( k ) (tk +1 − tk )2 + 2 ( k ) (tk +1 − tk )2 =

k =0

n−1

( tk = tk +1 − tk )

= 2 ( k ) + 2 ( k ) tk

k =0

Bunda

k [tk ,tk+1 ].

k [tk ,tk +1 ].

keyingi teńlikti tómendegishe jazıp alamız:

n−1

(l) = 2 ( k )

+ 2 ( k ) tk +

k =0

n−1

2 ( k ) + 2 ( k )

− 2 ( k ) + 2 ( k )] tk

+ [

(*)

k =0

Bunda k [tk ,tk +1 ]. Cebebi 2 (t) + 2 (t) C[ , ] bolsa, onda

168

2 (t) + 2 (t) R[ , ]

bolıp,

		n−1
		n−1	2 ( k ) + 2 ( k ) tk		2 (t) + 2 (t)dt	(3)
lim			2 ( k ) + 2 ( k ) tk	=	2 (t) + 2 (t)dt	(3)
p	→0	k =0
		k =0
boladı. Qálegen a , b ,	c , d haqıyqıy sanlar ushın bul