Matematikaliq analiz oqiw qollanba

Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Demek, Rn =

f ( k ) x − x

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

10.08.2024

Размер:

7.89 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

b	b
f (x)dx g(x)dx
a	a

boladı.
2-nátiyje. Eger f (x) R( a,b ), g(x) R([a,b]) bolsa, onda

	b	b	b
	f (x)g(x)dx	f 2 (x)dx	g 2 (x)dx	(2)
	a	a	a

boladı.

(2) teńsizlik Koshi-Bunyakovskiy teńsizligi delinedi.


							R ([a, b]) bolıp,
6-qásiyet. Eger f (x) R([a, b])		bwlsa,			f (x)
	b		b

	f (x)dx			f (x)		dx
	a		a

boladı.

Orta mánis haqqındaǵı teoremalar. Meyli f (x) funkciya [a,b] da berilgen hám shegaralanǵan bolsın.

1-teorema. Eger f (x) R([a,b]) bolsa, onda sonday turaqlı

(m M ) san boladı,

f (x)dx = (b − a)

boladı.

◄ Bunnan,

b b b

m f (x) M mdx f (x)dx Mdx

a a a

m(b − a) f (x)dx M (b − a) .

Keyingi teńsizliklerden

f (x)dx

m	a		M

		b − a

kelip shıǵadı. Eger

150

f (x)dx

= a b − a

bolsa, onnan

f (x)dx = (b − a) . ►

3-nátiyje. Eger f (x) C[a, b] bolsa, onda sonday [a, b] tabılǵanda,

f (x)dx = f ( ) (b − a)

boladı.

2-teorema. Eger f (x) R([a, b]),	g(x) R([a,b]) bolıp, [a,b] da		g (x)
funkciya óz belgisin ózgertpese, onda ol sonday turaqlı		(m M ) san bar
bolıp,
b		b
f (x)g(x)dx =		g(x)dx	(3)
a		a

boladı.

◄ Meyli x [a,b] da g(x) 0 bolsın. Bunnan,

m f (x) M mg(x) f (x) g(x) Mg(x)

boladı. Bul qatnastan hám anıq integral qásiyetlerinen paydalanıp,

		b	b	b
		m g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx .
		a	a	a
	b
a)	g(x)dx = 0 bolsın. Bul jaǵdayda
	a
			b
			f (x)g(x)dx = 0
			a
bolıp, qálegen (m M ) da			(3)	orınlı boladı.
b)	b	g(x)dx 0 bolsın. Bul jaǵdayda
	a

151

f (x)g(x)dx

m	a		M
m		b	M
		b
		g(x)dx
		a

bolıp,

f (x)g(x)dx

= a b

	g(x)dx
	a
bolsa, onda
b	b
f (x)g(x)dx = g(x)dx
a	a
kelip shıǵadı. ►
4-nátiyje. Eger f (x) C[a, b]	bolıp, g(x) R([a,b]) hám g (x) funkciya
[a,b] da óz belgisin ózgertpese, onda sonday [a,b] tabılsa,
b	b
f (x)g(x)dx = f ( ) g(x)dx
a	a

boladı.

Anıq integrallardı esaplaw.

1. Anıq integrallardı anıqlamasına muwapıq esaplaw.

Meyli f (x) R([a, b]) bolsın. Onda integral anıqlamasına muwapıq

	n−1	b
lim	f ( k ) xk	= f (x)dx
P →0	k =0	a
	k =0	a

boladı.

2. N’yuton-Leybnic formulası. Meyli f (x) funkciya [a,b] segmentte berilgen hám usı segmentte úzliksiz bolsın. Bul jaǵdayda f (x) dáslepki funkciya

F (x) = f (t)dt

iye boladı. Bunnan, (х) funkciya f (x) nıń qálegen dáslepki funkciyası bolsa, onda

152

Ф(x) = F (x) + C	(C = const )
boladı. Bul teńlikte, dáslep x = a dep

Ф(а) = С ,

soń x = b

Ф(b) = f (x)dx + C .

Demek,

	b
	f (x)dx = Ф(b) −Ф(а).			(1)
	a
(1) formula N’yuton-Leybnic formulası delinedi.
		b
		b
Ádette, Ф(b) − Ф(a) ayırma Ф(x)		kórinisnde jazıladı. Demek,
		a
b			b = Ф(b) −Ф(a) .
b
f (x)dx = Ф(x)
a			a
a
Máselen,

b	1		b

		dx = ln x

a	x		a

= ln b − ln a = ln	b	. (a 0,b 0)
	a

3. Ózgeriwshilerdi almastırıw formulası. Meyli f (x) C[a, b] bolsın. Bunda

f (x)dx

integral bar boladı.

Bunnan funkciya [a,b] da dáslepki Ф(x) funkciyaǵa iye bolıp,

f (x)dx = Ф(b) −Ф(a)

boladı. Meyli anıq integralda x ózgeriwshi x = (t) formula menen almastırıp bolıp, (t) funkciya tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın:

1)(t) C[ , ] bolıp, (t) funkciyanıń barlıq mánisleri [a,b] ǵa tiyisli;

2)( ) = a, ( ) = b ;

153

3) (t) funkciya [ , ] da úzliksiz (t)				tuwındıǵa iye bolsın.
Onda
		b
		f (x)dx		= f ( (t)) (t)dt	(2)
		a
boladı.
1
1
2-mısal. 1 − x2 dx integraldı esaplań.
0
◄ Berilgen integralda x = sint			almastırıwdı orınlaymız. Onda

1
1	1 − x 2 dx = 2	1 − sin2 t costdt = 2 cos2 tdt =
	1 − x 2 dx = 2	1 − sin2 t costdt = 2 cos2 tdt =
0	0			0



2	1		1		1		1		2
= (		+		cos 2t)dt = (		t +		sin 2t)		=
= (	2	+	2	cos 2t)dt = (	2	t +	4	sin 2t)	0	=	4
0	2		2		2		4		0		4
0
boladı. ►
boladı. ►
4. Bóleklep integrallaw formulası. Meyli						u(x) hám v(x)					funkciyalardıń hár

biri [a,b] segmentte úzliksiz u / (x) hám v/ (x) tuwındılarǵa iye bolsın. Bunda

(5)

u(x)dv(x) = (u(x) v(x))

− v(x)du(x)

boladı.

3-mısal. x ln xdx integraldı esaplań.

◄ Bul intervalda

u(x)= ln x, dv(x)= x

dep

du(x) =

dx, v(x) =

x 2

iye

bolamız. Onda (5) formulaǵa muwapıq:

x 2

boladı. ►

x ln xdx = (

ln x)

−

dx = 2 ln 2

−

xdx = 2 ln 2 −

154

9.4. Integraldı juwıq esaplaw formulaları

Ádette, anıq integrallar N’yuton-Leybnic formulası járdeminde esaplanadı.

Bul formula dáslepki funkciyaǵa tiykarlanadı. Biraq dáslepki funkciyanı tabıw máselesi ańsat sheshilmeydi. Eger integral astındaǵı funkciya quramalı bolsa, onda tiyisli anıq integraldı juwıq esaplawǵa tuwrı keledi.

1. Tuwrı tórtmúyeshlikler formulası.

Meyli

f (x) funkciya [a,b]

segmentte berilgen hám úzliksiz bolsın. Demek, f (x) R([a, b]) .

Máselen f (x)dx integraldı juwıq esaplawdan ibarat.

[a,b] aralıqtı

a = x0 , x1, x2 ,..., xn−1, xn = b tochkalar (x0 x1

... xn )

járdeminde n da teń bólekke bólip, hár bir [xk , xk +1 ]

(k = 0,1,2,..., n −1)

boyınsha

integraldı tómendegishe

xk +1

xk + xk +1

b − a

f (x)dx f (

) (xk +1 − xk ) =

f (x

1 )

k +

juwıq esaplaymız, bunda

xk = a + k

b −a

, x

xk + xk +1

= a

+ (k +

)

b −a

, xk +1 − xk =

b −a

(k = 0,1,2,..., n −1).

k +

Anıq integral qásiyetinen paydalanıp tabamız:

xk +1

f (x)dx = f (x)dx +

f (x)dx

+... +

f (x)dx + ...

b − a

... +

f (x)dx

f (x1 ) +

f (x

1 ) +

f (x

1 ) + ...

xn−1

... +

b − a

f (x

1 ) + ... +

b − a

f (x

1 ) =

b − a

[ f (x1 ) +

k +

n−

+ f (x

1 ) + ... + f (x

1 )].

k +

n−

Nátiyjede

155

f (x)dx

integraldı juwıq esaplaw ushın tómendegi

b	b − a n−1
	b − a n−1
f (x)dx		f (x		1 )	(1)
f (x)dx	n	f (x	k +	1 )	(1)
a	n	k =1	k +	2
a				2

formulaǵa kelemiz.

(1) formula durıs tórtmúyeshlikler formulası delinedi. Endi (1) juwıq formulanıń qáteligin anıqlaymız.

(1) formulanıń qáteligin

b − a n−1

= f (x)dx −

f (x

1 )

(2)

k =0

k +

boladı.

Meyli f (x) funkciya [a,b]

segmentte úzliksiz f (x) tuwındıǵa iye bolsın.

Rn dı tómendegishe jazıp alamız:

n−1 xk +1

b − a n−1

n−1 xk +1

Rn =

f (x)dx −

f (x

1 )

f (x)dx −

k +

k =0 x

k =0

k =0 x

n−1 xk +1

n−1

−

f (x

1 )dx = [ f (x) − f (x

1 )]dx.

k =0

k +

k =0

k +

Teylor formulasınan paydalanıp tómendegini tabamız:

f (x) − f (x

) = f

) (x − x

) +

f (

) (x − x

k +

(bunda k san x hám x

sanlar arasında). Nátiyjede

k +

n−1 xk +1

Rn =

( f (x

1 ) (x − x

1 ) +

f ( k ) (x − x

1 )

k =0 xk

k +

n−1

xk +1

1 xk +1

1 )2

= ( f (x

1 )

(x − x

1 )dx +

f ( k ) (x − x

k =0

k +

2 xk

k +

xk +1

boladı. Bunnan,

x − x

1 dx = 0 .

k +

2 )dx =

)dx

156

Orta mánis haqqındaǵı teoremaǵa tiykarlanıp

xk +1

1 )2 dx = f ( k* )

xk +1

1 )2 dx =

f ( k ) (x − x

(x − x

k +

(xk +1 − xk )2

f ( * ) =

(b − a)3

( * ) ( * [x

, x

])

k +1

12n3

boladı. Solay etip, Rn ushın bul

	1 n−1	(b − a)3		(b − a)3	1 n−1
Rn =			f ( k ) =			f ( k* )
		12n3		24n2
	2 k =0				n k =0

ańlatpasına kelemiz. Bunnan,

1 n−1

f (

0* ) + ( 1* ) + ... + f ( n*−1 )

f ( k ) =

n k =0

k = 0,1,2,..., n −1)

nıń [a,b] aralıqtaǵı eń kishi m

muǵdar ( k [a,b],

(x)

hám eń úlken M mánisler arasında,

1 n−1

f ( k* ) M

n k =0

boladı. Shártke muwapıq f (x) funkciya [a,b]

da úzliksiz. Úzliksiz funkciyanıń

qásiytine muwapıq (a,b) da sonday

tochka tabılsa,

1 n−1

f ( ) =

f ( k* )

n k =0

boladı. Nátiyjede Rn

ushın tómendegi

(b − a)3

f ( )

24n2

teńlikke kelemiz. Demek,

b		b − a n−1				(b − a)3	f ( )
	f (x)dx =		f (x		1 ) +
	f (x)dx =	n	f (x	k +	1 ) +	24n2
		n	k =0	k +	2	24n2
a					2

157

boladı. Solay etip, [a,b] aralıqta ekinshi tártipli úzliksiz qásiyetke iye bolǵan f (x)

funkciyanıń f (x)dx integralın (1) durıs tórtmúyeshlikler formulası járdeminde

juwıq esaplansa, bul juwıq esaplaw qáteligi tómendegi

R =

(b − a)3

f ( )

( (a, b))

24n2

formula menen ańlatıladı..

2. Trapeciyalar formulası. f (x)

funkciyanıń

f (x)dx

integralın juwıq esaplaw ushın, [a,b] segmentin

a = x0 , x1, x2 ,..., xn−1, xn = b

tochkalar

járdeminde

teń

bólekke

bólinedi.

Soń hár bir

[xk , xk+1] (k = 0,1,2,...,n −1)

boyınsha integraldı tómendegishe

xk +1

f (x)dx

f (xk ) + f (xk +1 )

(xk +1 − xk )

(k = 0,1,2,..., n −1)

juwıq esaplanadı. Nátiyjede tómendegi

f (x)dx =

f (x)dx + f (x)dx + ... +

f (x)dx

xn−1

f (x0 ) + f (x1 )

(x − x

) +

f (x1 ) + f (x2 )

− x ) + ...

... +

f (xn−1 ) + f (xn )

(xn

− xn−1 ) =

b − a

f (x0 ) + f (xn )

+ f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn−1 )

formulaǵa kelemiz. Demek,

b − a

f (x0 )

+ f (xn )

f (x)dx

[

(3)

+f (x1 ) + f (x2 ) + ... + f (xn−1 )] .

(3)formula trapeciyalar formulası delinedi.

158

Bul juwıq formulanıń qáteligigi R

, f (x) funkciya [a,b] da úzliksiz

f (x)

tuwındıǵa iye bolıp ,

Rn = −

(b − a)3

f ( )

( (a, b))

12n2

boladı. Demek,

− a

f (x0 ) + f (xn )

f (x)dx =

[

+ f (x1 ) +

+ f (x2 ) + ... + f (xn−1 )] −

(b − a)3

f ( ).

12n2

3. Simpson formulası. Bul jaǵdayda

f (x)

funkciyanıń

f (x)dx

integraldı

juwıq

esaplaw ushın

[a,b]

segmentti

a = x0 , x1,..., x2k , x2k+1,

,..., x

, x

= b tochkalar járdeminde 2n ge teń bólekke bólip, hár bir

2k+2

2n−2

2n−1

[x2k , x2k+2 ]

(k = 0,1,2,...,n −1) boyınsha integraldı tómendegishe

x2k +2

f (x)dx

x2k +2 − x2k

f (x2k ) + 4 f (x2k +1 ) + f (x2k +2 ) =

x2k

b − a

f (x2k ) + 4 f (x2k +1 ) + f (x2k +2 )

(k = 0,1,..., n −1)

juwıq esaplanadı. Nátiyjede

x2n

f (x)dx = f (x)dx

f (x)dx + ... +

f (x)dx

x2n−2

b6−na [( f (x0 ) + 4 f (x1 ) + f (x2 )) + ( f (x2 ) + 4 f (x3 ) +

+f (x4 )) + ... + ( f (x2n−2 ) + 4 f (x2n−1 ) + f (x2n ))] =

= b6−na [( f (x0 ) + f (x2n )) + 4( f (x1 ) + f (x3 ) + ...

... + f (x2n−1 )) + 2( f (x2 ) + f (x4 ) + ... + f (x2n−2 ))]. payda boladı. Demek,

159

<<< < Предыдущая 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 3616 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб10Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб16Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб14Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб35Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб20Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб34Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб29Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб107Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб9Tenlemeler ham tensizlikler.pdf
#
10.08.20241.65 Mб16Tensizliklerdi dalillew usillari.pdf