Matematikaliq analiz oqiw qollanba

dx =

2a(x1 − x2 )t

dt

(t 2 − a)2

bolsa, onda

R(x ,

ax 2 + bx + c )dx =

− ax

2

+ x t 2

a(x − x

2

)

2a(x − x

2

)t

1

1

1

= R

t

2

− a

,

t

2

− a

t

(t

2

− a)

2

dt

boladı.

3-mısal. I =

x −

x 2

+ 3x + 2

dx

integraldı esaplań.

x +

x 2

+ 3x + 2

◄ Bunnan, x2 + 3x + 2 = (x +1) (x + 2) . Usını itibarǵa alıp berilgen

1

integralda t =

x2 + 3x + 2 almastırıwın orınlaymız. Bul jaǵdayda

x +1

2 − t2

2tdt

x =

, dx = −

t2 −1

(t2 −1)2

bolsa, onda

x − x 2 + 3x + 2

dx =

− 2t 2 − 4t

dt

3

x

+ x 2 + 3x + 2

(t − 2)

(t −

1) (t +1)

boladı. Endi

3

16

17

5

1

− 2t 2 − 4t

=

4

−

27

−

108

+

18

+

3

(t +1)3

+1)2

(t +1)3

(t − 2) (t −1)

t −

1 t

− 2 t +1

(t

esapqa alıp tabamız,

I =

− 2t 2 − 4t

dt =

3

dt

−

16

dt

−

(t

− 2) (t −1) (t +1)

3

4

t

−

t −

2

1 27

−

17

dt

+

5

dt

+

1

dt

=

3

−

ln

t −1

t +

2

3

1

18

(t

+1)

(t

+1)

4

108

3

16

17

5

1

1

1

+ C . ►

−

ln

t − 2

−

ln

t +1

−

−

+1)2

27

108

18

t

+1

6

(t

a = x0 x1 x2

...xn−1

xn = b

qatnasta bolǵan

x0 , x1, x2 ,...xn−1, xn

(1)

tochkaları kópligin alayıq. Bunnan, (1) kóplik [a,b] segmentti

B1 = [x0 , x1 ] , B2 = [x1, x2 ], ... , Bn = [xn−1 , xn ]

bóleklerge ajıratamız.

1-anıqlama.

a = x0 x1 x2

...xn−1

xn = b

qatnasta bolǵan

P ={x0 , x1, x2 ,...xn−1, xn }

kóriniste belgilenedi.

Bunda hár bir

xk (k = 0,1, 2,... , n)

tochka [a,b]

segmenttiń bóliwshi

tochkası, [xk , xk+1]

(k = 0,1,2, ... ,n −1)

segment bolsa

P bóleklewdiń aralıǵı

[xk , xk+1] (k = 0,1,2, ... ,n −1)

aralıǵında

mk

= inf f (x) ,

x [xk xk +1 ] ,

(k = 0,1, 2, ... , n −1)

M k

= sup f (x) ,

x [xk xk +1 ]

payda bolıp

inf

f (x) mk

M k

sup f (x)

(2)

x a,b

x [a,b]

boladı.

n−1

2-anıqlama. s = mk xk

qosındı f (x)

funkciyanıń [a,b] segmenttiń P

k =0

bóleklewge salıstırǵanda Darbunnıń tómengi qosındısı delinedi.

Bull s = s( f ; P) qosındı

f (x) funkciyaǵa hám [a,b] nıń

P bóleklewine

baylanıslı boladı

n−1

3-anıqlama. S = M k

xk qosındı f (x)

funkciyanıń [a,b] segmentiniń

k =0

P bóleklewine salıstırǵanda Darbudıń joqarı qosındısı delinedi.

Bul qosındı

f (x) funkciyaǵa hám

[a,b] nıń P bóleklewine baylanıslı

boladı

S = S( f ; P) .

Endi hár bir k 0,1,2, ... , n −1 diń mánisinde [xk , xk+1 ] segmentte qálegen

k

tochkanı belgileymiz: k [xk , xk+1]

(k = 0,1, 2, ... , n −1). Nátiyjede [a,b] nıń

P bóleklewine salıstırǵanda

0 , 1, 2 ,..., n−1

tochkalar kópligi payda boladı. Bul tochkalardaǵı f (x) funkciyanıń

f ( k )

(k = 0,1,2, ... ,n −1)

n−1

= f ( k ) xk

k =0

qosındı

f (x) funkciyanıń [a,b] segmentiniń P bóleklewine salıstırǵanda integral

qosındısı delinedi.

Integral qosındı, f (x) funkciyaǵa, P bóleklewge hám hár bir

[xk , xk+1 ] da

alınǵan k tochkalarǵa baylanıslı boladı:

= ( f ; P; k ).

Bunnan, k [xk ,

xk +1 ] ushın mk f ( k ) M k

bolıp, tómendegi

s( f ; P) ( f ; P; k ) S( f ; P)

(3)

teńsizlikler orınlanadı.

Meyli f (x)

funkciya [a,b] da berilgen hám shegaralanǵan bolsın. Onda

[a,b]

aralıqtıń

hár

qanday

P

bóleklewi

hám hár

qanday

k ( k [xk , xk+1] , k = 0,1,2, ... , n −1) lerde joqarıdaǵı (2) hám (3)

qatnaslar

orınlı bolıp,

(b − a) inf f (x) s( f ; P) ( f ; P; k )

[a,b]

(4)

S( f ; P) (b − a) sup f (x)

[a,b]

boladı.

Endi

[a,b]

segmenttiń bóleklewler

kópligi

nıń

hár

bir

P

P

bóleklewge

salıstırǵanda

f (x) funkciyanıń Darbu qosındıları

s( f , P)

hám

S ( f ; P)

nı dúzip ,bul

s( f ; P) , S( f ; P)

kópliklerdi qaraymız. Bul kóplikler (4) qatnasqa karap shegaralanǵan boladı.

5-anıqlama. s( f ; P) kópliktiń anıq joqarı shegarası f (x)

funkciyanıń

b

−

f (x)dx = inf S( f ; P) .

a

P

b

b

−

f (x)dx = f (x)dx

−

a

a

bolsa, onda f (x) funkciya [a,b]

aralıq boyınsha integrallanıwshı (Riman

b

b

b

−

f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx.

a

−

a

a

b

b

f (x)dx = f (t)dt .

a

a

Integral qosındınıń limiti. Meyli f (x) funkciya [a,b]

segmentte berilgen

bolıp, ol usı segmentte shegaralanǵan bolsın.

[a,b] segmentti bazı bir

P = x0 , x1, x2 ,...,xn−1, xn

bóleklewin alayıq.

Bizge belgili,

f (x)

funkciyanıń

bul bóleklewine salıstırǵanda integral

qosındısı

n−1

( f ; P; k ) = f ( k ) xk

k =0

boladı.

8-anıqlama.

Eger

P → 0 da

f (x) funkciyanıń

integral qosındısı

( f ; P; k ) shekli

J limitke iye bolsa, onda f (x) funkciya

[a,b] segmentte

integrallanıwshı (Riman mánisinde integrallanıwshı) delinedi,

J sanına f (x)

funkciyanıń [a,b] segment boyınsha anıq integralı delinedi. Onı

b

n−1

f (x)dx = lim f ( k ) xk .

a

→0 k =0

◄ Zárúrligi. Meyli f (x) R([a,b])

bolsın. Anıqlamaǵa tiykarlanıp

b

b

b

−−

f (x)dx = f (x)dx = f (x)dx

a

a

a

boladı.

Qálegen oń sandı alayıq. Onda tómengi hám

joqarı integrallardıń

anıqlamalarına muwapıq

b

P1 P :

f (x)dx − s( f ; P1 )

;

a

2

b

P2 P :

S( f ; P2 ) − −

f (x)dx

a

2

Bunnan, P P , P P boladı. Darbu qosındılarınıń 1) hám 2)

1

2

qásiyetlerinen paydalanıp P bóleklew ushın

b

f (x)dx −

s( f ; P1 ) s( f ; P) S( f ; P) S( f ; P2 )

a

2

b

_

.

f (x)dx +

a

2

b

b

_

Integrallanıwshı

funkciyalar klassı. Meyli f (x) fukciya [a,b]

aralıqta

anıqlanǵan bolsın.