Matematikaliq analiz oqiw qollanba

f (x) =

sin x

→1,

g(x) =

1

→ + .

x

x2

sin x

x

x cos x − sin x

sin x

ln

ln

sin x

x

2

lim ln y = lim

x

= lim

x

= lim

=

x2

(x

2x

)

x→0

x→0

x→0

x→0

2

=

1

lim

x cos x − sin x

=

1

lim (x cos x − sin x)

= −

1

lim

x sin x

= −

1

.

2 x→0

x3

2 x→0

(x3 )

2 x→0

3x2

6

1

1

lim

sin x

x2

= e−

Demek,

6 ►

x

x→0

da differenciallanıwshı bolsın.

1-anıqlama. Eger (a, b) intervalda F (x) = f (x)

(x (a, b))

bolsa, onda

(a, b) da F (x) funkciya

f (x) nıń dáslepki funkciyası delinedi.

Máselen, f (x) =

1

funkciyanıń (0,+ )

da dáslepki funkciyası F (x) = ln x

x

boladı, sebebi (0,+ ) da F (x) = (ln x) =

1

= f (x) .

x

Meyli f (x)

hám F (x) funkciyaları [a,b] segmentte berilgen

bolıp, F (x)

funkciya usı [a,b]

da differenciallanıwshı bolsın.

2-anıqlama. Eger (a, b) intervalda F (x) = f (x) (x (a, b)) bolıp , a hám

b tochkalarda bolsa

F (a + 0) = f (a),

F (b − 0) = f (b)

teńlikler orınlı bolsa, onda[a,b] segmentte

F (x) funkciya f (x)

nıń dáslepki

funkciyası delinedi.

1-teorema. Eger (a, b) intervalda F (x) hám (x)

funkciyalardıń hár biri

f (x) funkciyanıń dáslepki funkciyası bolsa, onda F (x)

hám (x)

funkciyaları

(a, b) da bir-birinen turaqlı sanǵa parq qıladı:

bolmaydı.

◄Kerisinshe boljayıq, yaǵnıy berilgen funkciya (−1,1)

da dáslepki

funkciya F (x) ǵa iye bolsın F (x) = f (x) (x (−1,1)) . Bunnan,

F (0) = f (0) = 0

(1)

F(x) − F(0) = F (c) x = f (c) x = x

(c (0, x)) .

Keyingi teńlikten

F(x) − F(0)

=1,

lim

F(x) − F(0)

=1

x

x

x→+0

bolıp, F (+0) =1 kelip shıǵadı. Bul bolsa

(1) qatnasqa qarsı boladı.

Demek, qaralıp atırǵan f (x)

funkciya (−1,1) da dáslepki funkciyaǵa iye

bolmaydı. ►

2-teorema. Eger f (x) C(a, b)

bolsa,

onda f (x) funkciya (a, b) da

F (x) + C

(C = const )

kórinisinde ańlatıladı.

3-anıqlama.

F (x) + C

, (x (a, b)) ańlatpa

f (x) funkciyanıń anıq emes

integralı delinedi hám

f (x)dx

kórinisinde belgilenedi. Bunda

- integral

belgisi,

f (x) integral astındaǵı

funkciya, f (x)dx integral belgisi astındaǵı ańlatpa delinedi.

Demek,

f (x)dx = F (x) + C

(C = const )

Solay etip, (a, b)

intervalda f (x)

funkciyanıń

anıq

emes integralı (a, b) da

tuwındısı usı f (x) ka teń bolǵan funkciyanıń ulıwma kórinisin ańlatadı.

2-mısal. x3dx integraldı tabıń.

◄ Anıq emes integral anıqlamasına muwapıq,

sonday F (x) funkciya

tabılıw kerek, F (x) = x

3

bolsın. Eger

F (x) =

1

x

4

bolsa, bunnan, F (x) = x

3

4

boladı. Demek, x

3

dx =

1

x

4

+ C

(C = const ) . ►

4

3-mısal.

xdx

anıq emes integraldı tabıń.

1 + x2

◄ Bunnan, F(x) =

1+ x2 funkciya ushın

2x

x

F (x) = ( 1 + x2 ) =

=

1 + x2

1 + x2

2

boladı. Demek,

xdx

=

1 + х 2

+ C . ►

1 + x 2

F (x) = f (x) .

Onda

f (x)dx = F (x) + C

(C = const )

boladı. Bul teńlikke differencial ámelin qollanıp

F (x) = f (x) .

Onda

f (x)dx = F (x) + C

(C = const )

boladı.

kelip shıǵadı. ►

Bul tuwındı birinshi integral belgisi

soń differencial belgisi d kelip, olar

izbe-iz turǵanda óz-ara bir-birewin joǵaltıwdı ańlatadı hám F (x)

ǵa turaqlı C tı

qosıp qoyıw kerekligin kórsetedi.

3) Bul

f (x) + g(x) dx = f (x)dx + g(x)dx

(2)

teńlik orınlı boladı.

◄ Meyli F (x)

hám (x) funkciyalar sáykes tárizde f (x)

hám g (x) lerdiń

dáslepki funkciyaları bolsın

F (x) = f (x) ,

(x) = g(x) .

Bul jaǵdayda f (x)dx = F (x) + C1 , g(x)dx = (x) + C2 bolıp,

f (x)dx + g(x)dx = F (x) + (x) + C1 + C2

(3)

= f (x) + g(x) bolǵanlıǵı sebepli

boladı. F (x) + (x)

f (x) + g(x) dx = F (x) + (x) + C3

(4)

kf (x)dx = k f (x)dx

(5)

(

5

− 3sin x)dx = 5

1

dx − 3 sin xdx

+ x

2

1

2

1

+ x

kelip shıǵadı. Endi (−cos x) = sin x,

(arctgx) =

1

itibarǵa alıp,

1 + x2

1)

0 dx = C,

C = const .

2)

1 dx = x + C.

3) x dx =

x +1

+ C,

( −1).

+1

4)

dx

x

+ C,

(x 0).

= ln

x

a x

a x dx =

+ C,

(a 0, a 1).

5)

ln a

8)

dx

= tgx + C,

(x

+ n, n Z ).

2

2

cos

x

9)

dx

= −ctgx + C,

(x n, n Z ).

2

sin

x

10)

dx

arcsin x + C,

(−1

x 1).

=

1− x2

− arccosx + C.

11)

dx

arctgx + C,

=

1 + x2

− arcctgx

+ C.

12)

shxdx = chx + C.

13)

chxdx = shx + C.

14)

dx

= −chx + C,

(x 0).

2

sh x

15)

dx

= thx + C.

2

ch

x

8.3. Integrallaw usılları

f (x)dx

(1)

G (t) = g(t),

g(t)dt = G(t) + C;

(2)

f (x) = g( (x)) ((x)

(3)

5x = t

1

1

1

sin 5xdx =

=

sin tdt = −

cost + C = −

cos5x + C. ►

5dx = dt

5

5

5

2-mısal. J =

dx

integraldı esaplań.

x

−x

e

+ e

◄Berilgen integraldı

dx

=

e x dx

jazıp alamız. Bul integraldı

e

x

+ e

−x

e

2 x

+1

ózgeriwshini almastırıw usılınan paydalaıp esaplaymız,

x

e

x

= t

J =

e dx

=

=

dt

= arctgt + C = arctgex + C ►

2 x

e x dx = dt

1

2

e

+1

+ t

3-mısal. J =

dx

integraldı esaplań.

cos x

◄ Bunnan,

1

=

cos x

=

cos x

. Onda

cos x

cos2 x

1− sin2 x

dx

=

cos xdx

=

sin x = t

=

dt

cos x

2

x

cos xdx = dt

1− t

2

1− sin

bolıp,

1

=

1

=

1

1

+

1

1 − t

2

(1 − t)(1 + t)

2

(1 + t)

(1− t)

bolǵanlıǵı sebepli

1

dt

dt

1

d(1 + t)

d(1 − t)

1

1 + t

J =

(

+

) =

(

−

) =

ln

+ C

2

(1

+ t)

(1

− t)

2

(1 + t)

(1 − t)

2

1 − t

boladı. Eger

1 + t

=

1 + sin x

= tg(

x

+ ) esapqa alsaq, onda

1 − t 1 − sin x

2

2

dx

= ln

x

+

+ C . ►

tg(

2 )

cos x

2

4-mısal. J =

dx

(a 0, a R) integraldı esaplań.

x

2

+ a