Matematikaliq analiz oqiw qollanba

kelip shıǵadı, bunda x → 0

da

→ 0.

Demek,

f (x) funkciya

differenciallanıwshı.►

2-anıqlama. Funkciya ósimindegi f '(x0 ) x ańlatpa f (x)

funkciyanıń x0

tochkadaǵı differencialı delinedi hám

df (x0 )

kórinisinde belgilenedi

df (x0 ) = f '(x0 ) x .

Meyli x (a, b) tochkada differenciallanıwshı

f (x) funkciyanıń grafigi 6-

sızılmada súwretlengen iymek sızıqtı ańlatsın:

DC

= tg

AC

bolıp, DC = tg AC = f (x) x boladı.

Demek,

f (x)

funkciyanıń

x tochkadaǵı differencialı funkciya grafigine

(x, f (x)) tochkada ótkizilgen urınba ósimi

DC nı ańlatadı.

Meyli

f (x) = x, x R bolsın. Bul funkciya

differenciallanıwshı

bolıp,

df (x) = (x) x = x ,

yamasa

dx = x

boladı.

Demek,

(a, b)

da

differenciallanıwshı

f (x) funkciyanıń differencialın

df (x) = f (x) dx

1. d (x ) = x −1dx,

(x 0);

2.

d (a x ) = a x ln a dx,

(a 0, a 1);

3.

d (log

x) =

1

log

edx,

(x 0, a 0,

a 1);

a

a

x

6.

d (tgx) =

1

dx,

(x

+ k , k = 0, 1, ...);

cos2

x

2

7.

d (ctgx) = −

1

dx,

(x k , k = 0, 1, ...);

sin2 x

8.

d (arcsinx) =

1

dx,

(−1 x 1);

1 − x2

9.

d (arccosx) = −

1

dx,

(−1 x 1);

1 − x2

10.

d (arctgx) =

1

dx;

1 + x2

11.

d (arcctgx) = −

1

dx;

+ x2

1

14.

d (thx) =

1

dx;

ch2 x

15.

d(cthx)= −

1

dx (x 0)

sh2 x

boladı.

Meyli

y = f (x)

funkciya

X R

kóplikte,

g( y)

funkciya

Y { f (x) : x X } kóplikte berilgen

bolıp, f (x)

hám g ( y)

tuwındılarǵa iye

bolsın. Bul jaǵdayda

d (g( f (x))) = g'( f (x)) df (x)

d (g( f (x))) = g( f (x))

dx = g ( f (x)) f

(x)dx = g ( f (x)) df (x) .►

Mısal. Anıqlamadan paydalanıp ,

f (x) = x − 3x2 funkciyanıń x0 = 2

6.4. Juwıq esaplaw formulaları

Funkciya differencialı járdeminde juwıq formulalarǵa alıp kelinedi.

Meyli f (x)

funkciya (a, b) da berilgen bolıp, x0 (a, b) tochkada shekli

f (x0 ) tuwındıǵa

( f (x0 ) 0) iye bolsın. Onda x → 0 da

f (x0 ) = f (x0 ) x + ( x)

f (x0 + x) f (x0 ) + f

(x0 ) x

(1)

juwıq formula payda boladı. (1) formula x0 (a, b)

tochkada differenciallanıwshı

f (x) funkciyanıń x0 tochkadaǵı ósimi f (x0 ) dı onıń

usı tochkadaǵı

f (x) f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 )

(2)

boladı.

Mısal. Bul sin290 muǵdar juwıq esaplań.

◄ Eger f (x) = sin x, x = 300 bolsa, onda (2) formulaǵa muwapıq

0

2

2

sin 290 sin300 + cos 300 (290 − 300 )

= 0,5 −

3

0,4848

3600

2

3600

boladı. ►

Bizge málim,

x0 (a, b) tochkada differenciallanıwshı

f (x) funkciya

grafigine (x0 ,

f (x0 )) tochkada ótkizilgen urınbanıń teńlemesi tómendegi kóriniste

jazıladı:

y = f (x0 ) + f (x0 )(x − x0 ) .

Demek, (2) juwıq formula geometriyalıq kóz-qarastan, f (x)

funkciya belgilengen

iymek sızıqtı

x0

tochkanıń jeterli kishi dógereginde

funkciya grafigine

f (x) f (0) + f '(0)x

(3)

6.5. Joqarı tártipli tuwındı hám differenciallar

Meyli

f (x) funkciya (a, b) da berilgen

bolıp,

x (a, b) da

f (x)

tuwındıǵa iye bolsın. Bul

f (x) funkciyanı g (x)

arqalı belgileymiz:

g(x) = f (x)

(x (a, b)) .

1-anıqlama. Eger x0 (a, b) tochkada g (x) funkciya g (x0 ) tuwındıǵa iye

bolsa, bul tuwındı f (x)

funkciyanıń

x0

tochkadaǵı ekinshi tártipli tuwındısı

delinedi hám

f (x0 ) yamasa

d 2

f (x0 )

kórinisinde belgilenedi.

dx2

Tap usıǵan uqsas,

f (x)

tiń 3-tártipli

, 4-tártipli f

IV

(x) h.t .b. tártipli

f (x)

tuwındıları anıqlanadı.

Ulıwma, f (x) funkciyanıń n −tártipli tuwındısı f (n) (x)

tiń tuwındısı f (x)

funkciyanıń (n +1) − tártipli tuwındısı delinedi:

f (n+1) (x) = (f (n) (x)) .

Ádette,

f (x) funkciyanıń f (x),

f (x), ... tuwındıları onıń joqarı tártipli

tuwındıları

delinedi. Sonı aytıp ótiw kerek,

f (x)

funkciyanıń x (a, b) da

n −tártipli

tuwındınıń

barlıǵı

bul

funkciyanıń

usı

tochka dógereginde

iye emes, yamasa berilgen funkciyanıń

х = 0 da birinshi tártipli tuwındısı bar,

ekinshi tártipli tuwındısı bolmaydı.

1-mısal. f (x) = a x bolsın, a 0,

x R. Bul funkciya ushın

(a x ) = a x ln a,

(a x ) = (a x ln a) = a x (lna)2 ,

ulıwma

(a x )(n) = a x (lna)n

(1)

(sin x) = cos x = sin x +

,

2

(sin x) = (cos x) = −sin x = sin x + 2

,

2

Ulıwma,

(sin x)(n)

= sin x + n

2

boladı. Usıǵan uqsas,

(cos x)

(n)

= cos x + n

2

boladı.

3-mısal. f (x) = x

bolsın, x 0,

R . Bul funkciya ushın

(x )(n) = ( −1)( − 2)...( − n +1)x −n

boladı. Tiykarınan

f (x) =

1

,

(x 0) funkciya ushın

x

1

(n)

=

(−1)n n!

xn+1

x

bolıp, onnan

(ln x)(n) =

(−1)n−1 (n −1)!

xn

kelip shıǵadı.

Meyli

f (x)

hám g (x)

funkciyalar (a, b) da berilgen bolıp, x (a, b) da

f (n) (x) hám g (n) (x)

tuwındılarǵa iye bolsın. Onda:

1) (c f (x))(n)

= c f (n) (x),

c = const ;

2) ( f (x) g(x))(n) = f (n) (x) g(n) (x) ;

n

g(n−k ) (x)

3) ( f (x) g(x))(n) = Cnk f (k ) (x)

(2)

k =0

k

n(n −1)...(n − k +1)

(0)

Cn =

,

f

(x) = f (x)

k!

◄Leybnic formulasında f (x) = cos2x ,

g(x) = x2

dep alamız. Onda bul

formulaǵa muwapıq,

g(x) = x2 funkciya ushın k 2 bolǵanda

g (k ) (x) = (x2 )(k ) = 0,

(k 2)

bolıwın itibarǵa alıp,

(x2 cos 2x)(n) = C0 x2

(cos2x)(n) + C1

(x2 ) (cos2x)(n−1)

+ C2

(x2 ) (cos2x)(n−2)

n

n

n

.

Bunnan,

(cos2x)

(n)

= 2

n

cos 2x + n

2

,

(cos2x)

(n−1) = 2n−1 cos

2x + (n −1)

= 2n−1 sin

2x + n

,

2

2

(cos2x)(n−2)

= 2n−2 cos

2x + (n − 2)

= −2n−1 cos

2x + n

.

2

2

( x2 cos 2x )(n) = 2n

x2

−

n(n −1)

cos

2x + n

+ 2n nx sin

2x + n

. ►

4

2

2

Joqarı tártipli differencialı. Meyli f (x) funkciya (a, b)

da berilgen bolıp,

x (a, b)

tochkada f (x) tuwındıǵa iye bolsın. Bunnan,

f (x) funkciyanıń

differencialı

df (x) = f (x)dx

(3)

bolıp, bunda dx = x funkciya argumentinıń ıqtıyarlı ósimi boladı.

2-anıqlama. f (x) funkciyanıń x (a, b) tochkadaǵı differencialı df (x)

tiń

differencialı

f (x) funkciyanıń x (a, b) tochkadaǵı ekinshi tártipli differencialı

delinedi hám

d 2 f (x) kórinisinde belgilenedi:

d 2 f (x) = d (df (x)) .

Tap usıǵan uqsas f (x) funkciyanıń úshinshi d 3 f (x) , tórtinshi d 4 f (x)

h.

t.b. tártiptli differencialları anıqlanadı.

d2 f (x) = d(df (x)) = d( f (x)dx) = dx d( f (x)) = dx f (x)dx = f (x)(dx)2,

(4)

d 3 f (x) = d (d 2 f (x)) =

f (x)(dx)3 ,

............................................

d n f (x) = f (n) (x)(dx)n

Meyli f (x) hám g (x) funkciyalar (a, b)

da berilgen bolıp, x (a, b)

teoremalar funkciyalardı tekseriwde áhmiyetli rol oynaydı.

1-teorema

(Ferma teoreması). Meyli f (x) funkciya X R kóplikte

berilgen

bolsın.

Onda

x0 X

tochkanıń

dógeregi

ushın

U (x0 ) = (x0

− ,

x0 + ) X

( 0) bolıp, tómendegi shártler orınlı bolsın:

1) x U

(x0 ) da f (x) f (x0 )

( f (x) f (x0 )),

f (x

) = lim

f (x) − f (x0 )

=

lim

f (x) − f (x0 )

=

lim

f (x) − f (x0 )

0

x→x0

x − x

x→x0 +0

x − x

x→x0 −0

x − x

0

0

0

boladı. Bul jerde, x x0 bolǵanda

f (x) − f (x0 )

0

lim

f (x) − f (x0 )

= f ' (x0 ) 0 ,

x − x

x − x

0

x→x0

+0

0

x x0 bolǵanda

f (x) − f (x0 )

0

lim

f (x) − f (x0 )

= f ' (x0 ) 0

x − x

x − x

0

x→x0

− 0

0

bolıwınan f ' (x0 ) = 0 kelip shıǵadı. ►

2-teorema (Roll teoreması). Meyli

f (x) funkciya [a, b] da berilgen bolıp,

tómendegi shártlerin orınlı bolsın

Onda sonday x0 (a, b)tochka tabılıp, f (x0 ) = 0 boladı.

◄ Shártke muwapıq

f (x) C[a, b].

Onda

Veyershtrasstıń ekinshi

teoremasına muwapıq f (x)

funkciya [a, b]

da óziniń eń úlken hám eń kishi

mánislerge erisedi, yamasa sonday с1 , c2

tochkalar (c1 , c2 [a, b]) tabılsa,

f (c1 ) = max{ f (x) | x [a, b]},

f (c2 ) = min{ f (x) | x [a, b]}

boladı. Eger

f (c1 ) = f (c2 )

bolsa, onda

[a, b]

da f (x) = const

bolıp,

x0 (a, b) da

f ' (x0 ) = 0 boladı.

Eger

f (c1 ) f (c2 ) bolsa, onda

f (a) = f (b)

bolǵanlıǵı sebepli

f (x)

funkciya

f (c1 ) hámde f (c2 )

mánisleriniń keminde bir [a, b] segmenttiń ishki

x0 (a x0

b) tochkasında erisedi. Ferma teoremasına tiykarlanıp

f (x0 ) = 0

boladı. ►

3-teorema (Lagranj teoreması). Meyli

f (x) funkciya [a, b]

da berilgen