Matematikaliq analiz
.pdfTómendegi kóplikler limit noqatlarınıń kópligi bolatuǵın izbe-izliklerge mısallardı ańsat qurıw múmkin: 1) aldınnan berilgen shekli sandaǵı a1 , a2 , , an sanlar kópligi; 2)
aldınnan berilgen sheksiz a1 , a2 , , an , sanlar izbe-izligi (bul jaǵdayda an izbe-izliktiń hár bir limit noqatı qurılǵan izbe-izliktiń limit noqatı boladı).
Mına tastıyıqlaw shegaralanbaǵan izbe-izlik ushın Bol`canoVeyershtrass teoremasınıń ulıwmalasıwı boladı.
3-lemma. Qálegen shegaralanbaǵan izbe-izlikten sheksiz
úlken úles izbe-izlik (dara jaǵdayda, hámme elementleri birdey belgige iye sheksiz úlken úles izbe-izlik) ajıratıp alıw múmkin.
Bul lemmadan hám Bol`canoVeyershtrass teoremasınan tómendegi tastıyıqlaw kelip shıǵadı.
4-lemma. Qálegen izbe-izlikten yaki jıynaqlı, yaki hámme elementleri birdey belgige iye sheksiz úlken úles izbe-izlik ajıratıp alıw múmkin.
Eger izbe-izlikten hámme elementleri oń (teris) sheksiz úlken úles izbe-izlik ajıratıp alıw múmkin bolsa, onda ( )
bul izbe-izliktiń limit noqatı boladı deymiz.
Limit noqat túsinigin usılay keńeytirgenimizde 4- lemmadan tómendegi tastıyıqlaw kelip shıǵadı: qálegen izbe-izliktiń keminde bir limit noqatı bar.
hám simvolları qálegen shekli x haqıyqıy sanı menen x teńsizlikleri arqalı baylanısqan dep esaplap, tómendegi tastıyıqlawǵa kelemiz: qálegen izbe-izliktiń joqarǵı hám tómengi limitleri bar, yaǵnıy eń kishi hám eń úlken limit noqatları bar.
7-§. Fundamental izbe-izlikler. Izbe-izliktiń jıynaqlılıǵınıń
Koshi kriteriysi
xn izbe-izliktiń jıynaqlılıǵı máselesin jıynaqlı izbe-izlik anıqlaması járdeminde úyrengende izbe-izlik elementleri menen
73
izbe-izliktiń boljawlanǵan limiti arasındaǵı xn a ayırmanı
bahalawǵa tuwra keledi. Basqasha aytqanda bul izbe-izliktiń a limitin aldın ala biliw kerek boladı.
Bul paragrafta izbe-izliktiń jıynaqlılıǵınıń bul haqqında tek onıń elementleri boyınsha juwmaq shıǵarıwǵa múmkinshilik beretuǵın hám izbe-izliktiń boljawlanǵan limitinen paydalanbaytuǵın «ishki» kriteriysin anıqlaymız. Bunday kriteriydi anıqlaw ushın fundamental izbe-izlik túsinigin kiritemiz.
Meyli, bazı bir xn izbe-izlik berilgen bolsın.
16-anıqlama. Eger 0 san ushın N N ( ) nomer
tabılıp, n N hám |
m N nomerler ushın |
|
xn xm |
|
|
|
|
teńsizlik orınlı bolsa, onda bunday izbe-izlik fundamental izbeizlik dep ataladı.
Mısallar. № 1. x |
|
|
|
|
|
|
|
n |
izbe-izlik fundamental izbe-izlik |
||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
n |
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
bolatuǵının kórsetiń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sh e sh i w. Berilgen izbe-izlik ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
xn xm |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n 1 |
m 1 |
|
(n 1)(m 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
n m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
nm |
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
teńsizlik |
orınlı. Eger |
0 |
san |
|
ushın |
N |
[ |
2 |
] 1 |
dep |
alsaq, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
n N |
m N nomerler |
|
ushın |
|
xn xm |
|
|
|
|
teńsizlik |
orınlı. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
Demek, berilgen izbe-izlik fundamental izbe-izlik eken. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
№ 2. x |
n |
1 1 |
|
|
1 |
izbe-izlik fundamental izbe-izlik |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
bolatuǵının kórsetiń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Sh e sh i w. Bul jaǵdayda ( n m bolǵanda) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
xn xm |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
(m |
1)2 |
|
(m |
2)2 |
|
n2 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
74
bolıp,
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
p2 |
p 1 |
p |
||||
|
|
|||||
bul teńliktiń oń tárepindegi hár bir qosılıwshıǵa teńsizlikti qollanıp,
|
|
xn |
xm |
|
( |
1 |
|
|
1 |
|
|
) ( |
1 |
|
1 |
) |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
m 1 |
m 1 |
m 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
( |
1 |
|
|
|
1 |
) |
|
1 |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
m |
|
n |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
teńsizlikke |
iye |
bolamız. Eger |
0 |
san ushın |
N [ |
1 |
] 1 |
|||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dep alsaq, |
n m N |
|
nomerler |
ushın |
|
xn xm |
|
|
teńsizlik |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
orınlı. Demek, berilgen izbe-izlik fundamental izbe-izlik boladı eken.
№ 3. Fundamental bolmaǵan izbe-izlikke mısal keltiremiz.
xn 1 12 13 1n
izbe-izlikti qaraymız. Bul izbe-izlik ushın m 1 nomer alınsa da
x2m xm |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
m |
1 |
|
1 |
|
||||||||||||
|
m 1 |
m 2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
2m |
|
2m 2 |
|||||
teńsizlik orınlı. Bunnan berilgen izbe-izlik fundamental emesligi kelip shıǵadı.
19-teorema (Koshi kriteriysi). Izbe-izlik jıynaqlı bolıwı ushın bul izbe-izlik fundamental izbe-izlik bolıwı zárúr hám jetkilikli.
Zárúrligi. Meyli, lim xn a |
bolsın. xn izbe-izliktiń |
n |
|
fundamental izbe-izlik ekenin kórsetemiz. 0 san alamız.
Izbe-izliktiń |
limitiniń |
anıqlaması |
boyınsha |
|
|
|
san ushın |
||||||||
2 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N N ( ) |
nomer tabılıp, n N nomerler ushın |
|
xn |
a |
|
|
|||||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
2 |
|||||||||||||
teńsizlik orınlı boladı. Usıǵan uqsas |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
m N nomerler ushın da |
|||||||||||||||
|
xm a |
|
|
|
teńsizlik |
orınlı. Nátiyjede n N |
|
hám |
m N |
||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nomerler ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
75
xn xm |
|
|
|
(xn a) (a xm ) |
|
|
|
xn a |
|
|
|
xm a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńsizlikke iye bolamız. Bul xn izbe-izliktiń fundamental
izbe-izlik ekenin bildiredi.
Jetkilikliligi. Meyli, xn izbe-izlik fundamental izbe-izlik
bolsın. Bul izbe-izliktiń jıynaqlı izbe-izlik ekenin kórsetemiz. san saylap alamız. Fundamental izbe-izlik anıqlaması
boyınsha |
|
san ushın N N ( ) |
nomer tabılıp, |
n N hám |
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
m N |
nomerler ushın |
|
xn xm |
|
|
teńsizlik |
orınlı boladı. |
||
|
|
||||||||
|
|
2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bunnan m N teńsizlikti qanaatlandırıwshı hár bir tayınlanǵan
m nomer ushın |
x |
|
|
|
x |
|
x |
|
|
|
teńsizlikler orınlanatuǵını |
||
m |
2 |
n |
m |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
kelip shıǵadı. |
Bul |
|
xn |
izbe-izliktiń shegaralanǵanlıǵın |
|||||||||
kórsetedi. Bol`canoVeyershtrass teoreması boyınsha bul izbeizlikten jıynaqlı xkn úles izbe-izlik ajıratıp alıw múmkin:
lim xk |
n |
a . |
|
0 |
|
|
|
san |
|
alamız. |
|
Izbe-izliktiń |
|
limitiniń |
||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
anıqlaması boyınsha |
|
|
san ushın |
N N ( ) nomer |
tabılıp, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n N nomerler ushın |
|
x |
k |
a |
|
|
|
teńsizlik orınlı boladı. Eger |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
m k |
n |
bolsa, |
|
xn xk |
n |
|
|
|
|
teńsizlikti alamız. Bul eki teńsizlikten |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
xn a |
|
|
|
(xn xk ) |
(xk |
|
|
a) |
|
|
|
xn xk |
|
|
|
xk |
a |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
teńsizlikke |
|
iye |
|
bolamız. |
|
Bul lim xn a bolatuǵının |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
bildiredi. ▲
76
3- BAP
BIR ÓZGERIWSHILI FUNKCIYA HAM ONÍŃ LIMITI
1-§. Funkciya túsinigi
1.1. Ózgeriwshi shama hám funkciya túsinikleri. Ózgeriwi óz-ara baylanısqan eki ózgeriwshi shamanı úyreniw funkciya túsinigine alıp keledi. Sonıń ushın ózgeriwshi shama túsinigine anıqlıq kirgiziwden baslaǵanımız maqul.
Real ózgeriwshi fizikalıq shamalardı úyreniw nátiyjesinde biz bul shamalar mudamı qálegen mánislerdi qabıl qıla bermeydi
degen juwmaq shıǵaramız. |
Mısalı, materiallıq noqat |
tezligi |
||||
3 1010 |
sm sek |
ten, yaǵnıy boslıqtaǵı jarıqlıq |
tezliginen, |
|||
aspaydı, |
dene temperaturası |
2730 С |
dan kishi |
bolmaydı, |
||
y A cos( t ) |
nızamı |
boyınsha |
garmonikalıq |
terbelis |
||
jasawshı materiallıq noqattıń orın almastırıw háreketi tek [ A, A] kesindidegi mánislerdi qabıl qılıwı múmkin h. t. b.
Tábiyatta baqlanatuǵın ózgeriwshi shamalardıń fizikalıq qásiyetlerinen abstrakciyalanıp, tek qabıl qılıwı múmkin bolǵan san mánisleri menen xarakterlenetuǵın matematikalıq ózgeriwshi shama túsinigine kelemiz.
Berilgen x ózgeriwshi shamanıń qabıl qılıwı múmkin bolǵan mánisleriniń kópligi x usı ózgeriwshi shamanıń ózgeriw oblastı
dep ataladı. Ózgeriw oblastı berilgen ózgeriwshi shama berilgen dep esaplanadı.
Bunnan bılay ózgeriwshi shamalardı kishi x, y, t,
latın alfavitiniń háripleri, al bul ózgeriwshi shamalardıń ózgeriw oblastların x , y , t , simvolları menen belgileymiz.
Meyli, ózgeriw oblastı bazı bir x R kóplik bolǵan x ózgeriwshi shama berilgen bolsın.
1-anıqlama. Eger x ózgeriwshiniń hár bir
mánisine málim nızam boyınsha bazı bir y san sáykes qoyılǵan
77
bolsa, onda x kóplikte y y(x) yaki y f ( x) funkciya
berilgen dep aytıladı.
x ózgeriwshi funkciyanıń argumenti yaki erikli ózgeriwshi, argumenttiń x x mánisine sáykes y san funkciyanıń x
noqattaǵı dara mánisi dep ataladı. Argumenttiń ózgeriw oblastı bolǵan x R kóplik funkciyanıń anıqlanıw oblastı dep ataladı hám D( f ) simvolı menen belgilenedi. Funkciyanıń hámme dara mánisleri funkciyanıń mánisler kópligi dep atalatuǵın
kóplik dúzedi, bul kóplik E( f ) yaki R( f ) simvolı menen belgilenedi. y f ( x) jazıwdaǵı f háribi funkciyanıń
xarakteristikası dep ataladı.
Funkciyanı, onıń argumentin hám xarakteristikasın belgilew ushın hár qıylı simvollardan paydalanıw múmkin.
|
|
|
|
|
|
Mısallar. 1). y |
4 x2 . Funkciyanıń |
anıqlanıw |
oblastı |
||
D( f ) x R : 4 x2 0 [ 2, 2] , |
al |
mánisler |
kópligi |
||
E( f ) [0, 2] (1- súwret).
1- súwret
|
0, |
x irrac. san, |
|
|
2) |
y D(x) |
1, |
x rac. san. |
. |
|
|
|
||
78
Bul |
funkciya |
Dirixle |
funkciyası |
dep |
ataladı. |
|||
D( f ) R, |
E( f ) 0, 1 . |
|
|
|
|
|||
|
|
1, |
x 0 |
|
|
|
|
|
3) |
|
|
0, |
x 0 |
. |
|
|
|
|
y sgn x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
||
( sgn x |
x |
sanınıń belgisi). Funkciyanıń grafigi 2- |
||||||
súwrette berilgen. D( f ) R, |
E( f ) 1, 0, 1 . |
|
|
|||||
2- súwret
4) y [x] yaki y E( x) ([x] yaki E(x) - simvolı menen x R sanınıń pútin bólegi, yaǵnıy bul sannan úlken bolmaǵan eń
úlken |
san |
belgilenedi |
hám |
«ant`e x » |
dep |
oqıladı). |
|
D( f ) R, |
E( f ) Z . Funkciyanıń grafigi 3- súwrette berilgen. |
||||||
5) |
y n ! |
( n ! simvolı |
« n faktorial» |
dep |
oqıladı, |
||
n ! 1 2 n ). |
Funkciyanıń anıqlanıw oblastıhámme natural |
||||||
sanlar |
kópligi, |
mánisler |
kópligi- 1 2 n |
kórinisindegi |
|||
natural sanlar kópligi. |
|
|
|
|
|||
Funkciyanıń anıqlanıw oblastı hám mánisler kópligi arasında baylanıs ornatıwshı nızam kóbinese formulalar járdeminde beriledi. Funkciyanıń beriliwiniń bul usılı analitikalıq usıl dep ataladı.
79
3- súwret
Funkciya óziniń anıqlanıw oblastınıń hár qıylı bóleklerinde hár qıylı formulalar menen beriliwi múmkin.
Mısalı,
x, |
x 0, |
||
y |
2 |
, |
x 0 |
x |
|
||
funkciya sanlar kósherinde analitikalıq usıl menen (eki formula járdeminde) berilgen (4- súwret).
2- súwret
Argumenttiń ayırım mánisleriniń hám olarǵa sáykes funkciyanıń dara mánisleriniń kestesin beriwden ibarat
80
funkciyanıń beriliwiniń kestelik usılı da keń qollanıladı. Funkciyanıń beriliwiniń bul usılında argumenttiń kestede berilmegen aralıq mánislerine sáykes funkciyanıń dara mánislerin juwıq esaplaw múmkin.
Ámeliy ólshew islerinde argument penen funkciya arasındaǵı sáykeslik grafik járdeminde beriletuǵın funkciyanıń beriliwiniń grafikalıq usılı keń tarqalǵan.
Solay etip, biz funkciyanıń analitikalıq, kestelik hám grafikalıq usıllarda beriliwin kórdik. Funkciyalar tek usı usıllar
menen berilip ǵana qalmastan, basqasha, baylanıs nızamı sózler menen aytılıp ta, beriliwi múmkin. Mısalı, hám bir n natural sanǵa bul sannıń bóliwshileriniń sanın sáykes qoyamız. Bul sáykeslikti menen belgileymiz. Nátiyjede
(1) 1, (2) 2, (3) 2, (4) 3, (5) 2, funkciyanı alamız. Ádette, bul funkciya Eyler funkciyası dep ataladı.
Eyler funkciyası ushın analitikalıq formula joq, onı keste usılında da, grafik usılında da anıqlap bolmaydı. p ápiwayı
san ushın ( p) 2 ekeni málim. Jeterli dárejede úlken ápiwayı
sanlar bar ekenliginen bul funkciyanıń tábiyatı júdá quramalı ekeni kórinip tur.
Matematikalıq analiz kursında, tiykarınan, analitiqalıq usılda berilgen funkciyalar qaraladı.
1.2. Shegaralanǵan funkciyalar. Meyli, f (x) funkciya
bazı bir x R kóplikte anıqlanǵan bolsın. |
|
2-anıqlama. Eger x x noqatta f (x) M |
( f (x) m) |
teńsizlik orınlı bolatuǵın M sanı (m sanı) tabılsa, onda f (x) funkciya x kóplikte joqarıdan (tómennen) shegaralanǵan dep
ataladı.
f (x) funkciyanıń x kóplikte joqarıdan (tómennen) shegaralanǵanlıǵı bul funkciyanıń mánislerinen dúzilgen
81
Y f (x) : |
x x |
kópliktiń joqarıdan |
(tómennen) shegara- |
lanǵanlıǵın bildiredi. |
|
||
3-anıqlama. |
Eger f (x) funkciya |
x kóplikte hám |
|
joqarıdan, hám tómennen shegaralanǵan bolsa, onda bul funkciyax kóplikte shegaralanǵan dep ataladı.
4-anıqlama. Eger M san ushın (bul san qanday úlken san teńsizlikti qapnaatlandıratuǵın bazı bir noqat tabılsa, onda f (x) funkciya x kóplikte
joqarıdan shegaralanbaǵan dep ataladı.
5-anıqlama. Eger m san ushın (bul san qanday kishi san
bolsa da) |
f (x*) m teńsizlikti qapnaatlandıratuǵın |
bazı bir |
x* x |
noqat tabılsa, onda f (x) funkciya x |
kóplikte |
tómennen shegaralanbaǵan dep ataladı.
Keminde bir tárepten (yaki joqarıdan, yaki tómennen) shegaralanbaǵan funkciya shegaralanbaǵan funkciya dep ataladı.
1.3. Jup hám taq funkciyalar. Dáslep O |
noqatqa (sanaq |
basına) qarata simmetriyalıq kóplik túsinigin kiritemiz. |
|
Eger hár bir x x noqat penen birge |
x x bolsa, |
onda x kóplik O noqatqa (sanaq basına) qarata simmetriyalıq kóplik dep ataladı.
Meyli, |
f (x) funkciya |
sanaq |
basına |
qarata simmetriyalıq |
|||
x kóplikte anıqlanǵan bolsın. |
|
|
|
|
|||
6-anıqlama. |
Eger |
|
x x |
noqatta |
|||
f ( x) f (x) |
( f ( x) f (x)) |
teńlik |
|
orınlı |
bolsa, |
onda f (x) |
|
funkciya x kóplikte jup (taq) funkciya dep ataladı. |
|
||||||
Eger f (x) hám |
g(x) funkciyalar |
x |
kóplikte jup |
||||
funkciyalar bolsa, onda |
f (x) g(x), |
f (x) g(x), |
f (x) g(x) |
funkciyalar |
|||
da x kóplikte jup funkciyalar boladı.
82