Matematikaliq analiz
.pdf
izbe-izlik bolıwı shárt emes. Sebebi, sheksiz úlken izbe-izlik
ushın A 0 san alınsa da |
|
xn |
|
A teńsizlik usı izbe-izliktiń |
|
|
bazı bir nomerden baslap hámme elementleri ushın orınlı, al shegaralanbaǵan izbe-izlik ushın bul izbe-izliktiń usı teńsizlik
orınlı |
bolǵan bir |
elementin |
kórsetiw |
jetkilikli. Mısalı, |
1, 2, |
1, 4, , 1, |
2n, |
izbe-izlik |
shegaralanbaǵan |
izbe-izlik, biraq sheksiz úlken izbe-izlik emes, sebebi A 1 san ushın izbe-izliktiń taq nomerli elementleri A sannan úlken emes.
Mısallar. № 1. x |
n |
( 1)n n : |
1, |
2, 3, |
4, izbe-izlik sheksiz |
|
|
|
|
|
úlken izbe-izlik, sebebi ( 1)n n n bolıp, A 0 san alınsa da
n A teńsizlikti qanaatlandıratuǵın n N san hárdayım tabıladı.
№ 2. |
xn n |
hám yn n izbe-izlikler de sheksiz úlken |
|||||
izbe-izlikler, |
olardıń |
limitleri, sáykes |
túrde, lim xn hám |
||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
lim yn boladı. |
|
|
|
|
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
14-teorema. Eger xn - sheksiz úlken izbe-izlik bolsa, onda |
|||||||
bazı bir nomerden baslap anıqlanǵan |
1 |
|
bólshek sheksiz kishi |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
||
izbe-izlik, |
al |
eger |
n sheksiz kishi |
izbe-izliktiń hámme |
|||
elementleri (eń bolmaǵanda bazı bir nomerden baslap) nolden
ózgeshe bolsa, onda |
1 bólshek sheksiz úlken izbe-izlik boladı. |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
n |
|
|
|
|
||
|
|
Dálillew. |
Dáslep |
teoremanıń |
birinshi |
bólegin |
dálilleymiz. |
||
xn sheksiz |
úlken izbe-izliktiń |
tek shekli |
sandaǵı |
elementleri |
|||||
ǵana nol`ge teń bolıwı múmkin. Sonıń |
ushın bazı |
bir N |
|||||||
nomerden baslap 1 |
hám xn izbe-izliklerdiń qatnası |
bolǵan |
|||||||
1 |
bólshekti qarawımız múmkin. Usı bólshek sheksiz kishi izbe- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xn |
|
|
|
|
|
|
|
||
izlik bolatuǵının dálilleymiz. 0 san alamız. Sheksiz úlken
63
izbe-izlik anıqlaması boyınsha |
1 |
oń san ushın |
N nomer (bul |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
nomerdi N |
nomerden |
úlken |
qılıp alamız) |
tabılıp, n N |
|||||||||||||
nomerler ushın |
|
xn |
|
|
1 |
teńsizlik orınlı boladı. Bul teńsizlikten |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
1 |
|
teńsizlik kelip shıǵadı. Bul 1 |
|
izbe-izlik sheksiz |
|||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
xn |
|
xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
|||
kishi izbe-izlik ekenin bildiredi.
Teoremanıń ekinshi bólegin dálillew ushın n sheksiz kishi izbe-izliktiń hámme elementleri (eń bolmaǵanda bazı bir
nomerden baslap) |
nolden ózgeshe dep uyǵaramız. |
A 0 san |
||||||||||||||
alamız. n sheksiz kishi izbe-izlik bolǵanlıqtan |
1 |
|
oń san ushın |
|||||||||||||
A |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
N nomer tabılıp, |
n N nomerler ushın |
|
n |
|
|
|
1 |
teńsizlik orınlı. |
||||||||
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
A |
|||||||||||||
Bunnan 1 |
|
|
|
teńsizlik kelip shıǵadı. Bul |
1 |
izbe-izlik |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
n |
||||||||||||
|
n |
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
sheksiz úlken izbe-izlik ekenin bildiredi. ▲ |
|
|
|
|
|
|||||||||||
4-§. Monoton izbe-izlikler
Meyli, bazı bir xn izbe-izlik berilgen bolsın. 10-anıqlama. Eger izbe-izliktiń hár bir kelesi elementi
aldınǵı elementinen kishi (úlken) bolmasa, yaǵnıy n N nomer ushın xn xn 1 (xn xn 1 ) teńsizlik orınlı bolsa, onda bunday xn izbe-izlik ósiwshi (kemiwshi) izbe-izlik dep ataladı.
|
|
Eger izbe-izliktiń hár bir kelesi elementi aldınǵı elementinen |
|||||||||
úlken |
(kishi) |
bolsa, yaǵnıy n N |
nomer ushın |
||||||||
x |
n |
x |
n 1 |
(x |
n |
x |
n 1 |
) teńsizlik orınlı bolsa, onda bunday x |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
izbe-izlik qatal ósiwshi (qatal kemiwshi) izbe-izlik dep ataladı.
64
|
Mısalı, |
1, |
2, 2, |
3, 3, 3, |
|
|
|
, |
|
|
n, n, , n, |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|||
izbe-izlik ósiwshi, al 2, |
22 , |
|
|
23 , |
, |
|
|
2n , |
izbe-izlik |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
qatal ósiwshi izbe-izlik. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
Sonday- |
aq, |
1, |
|
|
|
1 |
, |
1 |
, |
|
1 |
, |
|
1 |
, |
1 |
|
, |
|
, |
1 |
, |
1 |
, , |
1 |
, |
izbe- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
izlik kemiwshi, al x |
|
|
n 1 |
: |
|
|
|
2 |
, |
|
|
3 |
, |
|
4 |
, , |
|
n 1 |
, |
izbe- |
|||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
izlik |
|
qatal |
|
kemiwshi |
|
|
|
|
izbe-izlik. |
Haqıyqatında |
da, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
x |
|
|
n 2 |
|
n 1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
0 , |
yaǵnıy |
|
|
|
xn xn 1 |
||||||||||||||||||||||
n 1 |
n |
n 1 |
|
|
n (n 1) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
teńsizlik orınlı.
O`siwshi (qatal ósiwshi) hám kemiwshi (qatal kemiwshi) izbe-izlikler, ulıwma atama menen, monoton izbe-izlikler dep ataladı.
Hár bir monoton izbe-izlik bir tárepten (yaki joqarıdan, yaki tómennen) shegaralanǵan. Haqıyqatında da hár bir ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik tómennen shegaralanǵan (tómengi shegarası sıpatında birinshi elementin alıw múmkin), al kemiwshi (qatal kemiwshi) izbe-izlik joqarıdan shegaralanǵan (joqarǵı shegarası sıpatında birinshi elementin alıw múmkin).
Demek, ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik shegaralanǵan bolıwı ushın bul izbe-izliktiń joqarıdan shegaralanǵan, al kemiwshi (qatal kemiwshi) izbe-izlik shegaralanǵan bolıwı ushın bul izbe-izliktiń tómennen shegaralanǵan bolıwı zárúr hám jetkilikli boladı eken.
15-teorema. Joqarıdan shegaralanǵan ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik jıynaqlı. Eger ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik joqarıdan shegaralanbaǵan bolsa, onıń limiti boladı.
Dálillew. Dáslep teoremanıń birinshi bólimin dálilleymiz. Meyli, izbe-izlik joqarıdan shegaralanǵan ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik bolsın. Bunday izbe-izliktiń elementlerinen
65
dúzilgen kóplik joqarıdan shegaralanǵan, sonlıqtan onıń dál
joqarǵı shegarası |
bar, bul shegaranı a |
dep |
belgileymiz: |
a : sup xn . . Usı |
a san xn izbe-izliktiń |
limiti |
bolatuǵının |
n |
|
|
|
kórsetemiz. Birinshiden, kópliktiń joqarǵı shegarasınıń
anıqlamasınan n nomer ushın xn a (1) teńsizlik orınlı. Endi |
||
0 saylap alamız. Kópliktiń |
dál joqarǵı |
shegarasınıń |
anıqlaması boyınsha xn izbe-izliktiń |
a xN |
(2) teńsizlikti |
qanaatlandırıwshı keminde bir xN |
element |
bar. xn izbe-izlik |
||||||||||
ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik |
ekenin |
esapqa |
alıp, |
n N |
||||||||
nomerler ushın xN xn |
( xN xn ) |
bolatuǵının kóremiz. Bul |
||||||||||
teńsizlikten |
hám (2) |
teńsizlikten |
n N |
nomerler |
ushın |
|||||||
a xn |
teńsizlikti alamız. Bul teńsizlikti (1) teńsizlik penen |
|||||||||||
biriktirip, |
a xn a a |
teńsizliklerge |
iye bolamız. |
|||||||||
Demek, n N nomerler ushın |
|
xn a |
|
|
orınlı eken, al bul |
|||||||
|
|
|||||||||||
lim xn a bolatuǵının kórsetedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Endi teoremanıń ekinshi bólegin |
dálilleymiz |
Meyli, |
xn - |
|||||||||
joqarıdan shegaralanbaǵan ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik bolsın. Onda A 0 san ushın (bul san qanday úlken san bolsa
da) N |
nomer tabılıp, x |
N |
A |
teńsizlik orınlı boladı. x |
n |
- |
|
|
|
|
|
ósiwshi (qatal ósiwshi) izbe-izlik bolǵanlıqtan n N nomerler ushın xn xN (xn xN ) , sonlıqtan xn A teńsizlik orınlı.
Bul lim xn bolatuǵının bildiredi. ▲
n
Eskertiw. Ósiwshi (kemiwshi) joqarıdan (tómennen) shegaralanǵan izbe-izliktiń elementleri onıń limitinen úlken (kishi) emes.
Mına teorema da 15teoremaǵa uqsas dálillenedi.
16-teorema. Tómennen shegaralanǵan kemiwshi (qatal kemiwshi) izbe-izlik jıynaqlı. Eger kemiwshi (qatal kemiwshi)
66
izbe-izlik tómennen shegaralanbaǵan bolsa, onıń limiti boladı.
Saldar. Monoton izbe-izlik jıynaqlı bolıwı ushın bul izbe-izlik shegaralanǵan bolıwı zárúr hám jetkilikli.
5-§. Monoton izbe-izliktiń limiti haqqındaǵı teoremalardıń qollanıwları
5.1. e sanı. xn (1 1n)n izbe-izlikti qaraymız.
a) Bul izbe-izlik qatal ósiwshi.
Berilgen izbe-izliktiń qońsı elementleriniń qatnasın tabamız:
x |
n 1 |
(1 |
1 |
|
)n 1 |
: (1 |
1 |
)n |
(n 2)n 1 nn |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)n 1 (n 1)n |
|||||||||||
xn |
|
n 1 |
|
|
n |
|
|
|
||||||||||
[ |
n2 2n |
]n 1 |
n 1 |
[1 |
1 |
|
]n 1 |
|
n 1 |
. |
|
|||||||
(n 1)2 |
|
|
(n |
1)2 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||
Bernulli teńsizligi boyınsha
[1 |
1 |
]n 1 1 |
n 1 |
|
n |
. |
(n 1)2 |
(n 1)2 |
|
||||
|
|
|
n 1 |
|||
Nátiyjede |
|
|
n N |
|
ushın |
|
|
|
|
xn 1 |
|
|
n |
|
|
|
n 1 |
1 |
, |
yaǵnıy |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
||||||
xn 1 xn |
bolatuǵını kelip shıǵadı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
b) Bul izbe-izlik shegaralanǵan. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
k 1 |
ushın |
k! 2k 1 |
teńsizlik |
orınlı. |
|
|
N`yuton |
binomı |
||||||||||||||||||||||||||
boyınsha |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
n |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
xn (1 |
)n 1 Cnk |
2 |
Cnk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
k |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
n |
k 1 |
|
|
n |
|
k 2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
1 n (n 1) (n k 1) |
|
n |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
k 1 |
|
||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
(1 |
|
)(1 |
|
) (1 |
|
|
|
|
) |
|
||||||||
|
|
|
|
n |
k |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
|
n |
|
|
||||||||||||||||
|
k 2 k! |
|
|
|
|
|
|
|
k 2 k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
n |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2k 1 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
k 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
teńsizlikti alamız. Demek, n N ushın |
0 xn 3. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
15- teorema boyınsha berilgen izbe-izlik jıynaqlı.
67
11-anıqlama. |
|
x |
|
(1 |
1 |
)n |
izbe-izliktiń limiti e sanı |
dep |
|||
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ataladı: |
lim (1 |
1 |
) |
n |
e. |
|
|
||||
|
n |
|
|
|
|||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bul san matematikada áhmiyetli rol` oynaydı. |
|
||||||||||
17-teorema. e sanı irracional san. |
|
||||||||||
Bul teoremanı oqıwshı óz betinshe dálillewi múmkin. |
|
||||||||||
5.2. Biriniń ishine biri jaylasqan kesindiler principi. |
|
||||||||||
12-anıqlama. |
|
|
|
Eger |
[a1,b1], [a2 ,b2 ], , [an ,bn ], |
|
|||||
kesindiler izbe-izliginiń hár bir kesindisi kelesi kesindide
jaylasqan bolsa, yaǵnıy n N ushın [an 1 ,bn 1 ] [an ,bn ] qatnas orınlı bolsa, onda bunday izbe-izlik biriniń ishine biri jaylasqan kesindiler sisteması dep ataladı. Eger bul sistema kesindileriniń uzınlıqlarınan dúzilgen izbe-izlik sheksiz kishi izbe-izlik bolsa, onda bunday sistema tartılıwshı sistema dep ataladı.
17-teorema. (Kantordıń kesindilerdiń tartılıwshı sisteması haqqındaǵı). Kesindilerdiń tartılıwshı sistemasınıń hár bir kesindisine derek bolatuǵın noqat bar hám bul noqat jalǵız birew.
Dálillew. Dáslep tartılıwshı sistemanıń hár bir kesindisine derek bolatuǵın c noqat jalǵız birew bolatuǵının kórsetemiz. Haqıyqatında da, sistemanıń hár bir kesindisine derek bolǵan jáne
bir d c |
noqat tabılsa, onda anıqlıq ushın |
d c dep alıp, biz |
|||||
sistemanıń |
hámme |
[an ,bn ] |
kesindilerine derek |
bolǵan [c, d ] |
|||
kesindini |
alamız. |
Onda |
n N ushın |
b |
a |
n |
d c 0 |
|
|
|
|
n |
|
|
|
teńsizlik orınlı boladı. Bunday bolıwı múmkin emes, sebebi
sistema tartılıwshı bolǵanlıqtan lim(b a ) 0 . Demek,
n n n
tartılıwshı sistemanıń hár bir kesindisine derek bolatuǵın c noqat jalǵız birew boladı eken.
Endi sistemanıń hár bir kesindisine derek bolatuǵın c noqat bar ekenin kórsetemiz. Kesindiler sisteması tartılıwshı
68
bolǵanlıqtan sistema |
kesindileriniń shep shegaralarınıń an |
izbe-izligi ósiwshi, |
al oń shegaralarınıń bn izbe-izligi |
kemiwshi. Bul eki izbe-izlik te shegaralanǵan bolǵanlıqtan
(elementleri [a ,b ] |
kesindige derek) jıynaqlı. b |
a |
n |
izbe- |
1 1 |
n |
|
|
|
izlik sheksiz kishi izbe-izlik bolǵanlıqtan an hám bn izbe- |
||||
izlikler ulıwma c limitke iye boladı. 15teoremaǵa eskertiwden an c bn teńsizlikler kelip shıǵadı, yaǵnıy c noqat sistema
kesindileriniń hár birewine derek boladı. ▲
17- teorema biriniń ishine biri jaylasqan kesindiler principi dep ataladı.
Eskertiw. Biriniń ishine biri jaylasqan intervallar (yaki yarım intervallar) túsinigin de kirgiziwimiz múmkin. Biraq bularǵa
qarata |
17- |
teorema, |
ulıwma |
aytqanda, orınlı emes. Mısalı, |
||||||
(0,1), |
(0, |
1 |
), |
(0, |
1 |
), |
, (0, |
1 |
), |
intervallar biriniń ishine biri |
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
3 |
|
n |
|
||
jaylasqan intervallardıń tartılıwshı sistemasın dúzedi. Biraq bul sistemanıń hár bir intervalına derek noqat joq (bunday jalǵız noqat 0 noqat bolıwı múmkin edi, biraq 0 noqat sistemanıń hesh bir intervalına derek emes).
6-§. Úles izbe-izlikler. Bol`canoVeyershtrass teoreması
Bazı bir xn izbe-izlikti hám k1, k2 , , kn , oń pútin sanlardıń qatal ósiwshi izbe-izligin qaraymız. xn izbe-izlikten k1, k2 , , kn , nomerli elementlerdi saylap alamız hám olardı usı nomerlerdiń ósiw tártibi boyınsha jaylastıramız. Nátiyjede
jańa xk , |
xk |
, , |
xk |
, izbe-izlik alamız. Bul izbe- |
||
1 |
|
2 |
|
n |
|
dep |
izlik xn |
izbe-izliktiń úles izbe-izligi dep ataladı hám xk |
n |
||||
belgilenedi. Dara jaǵdayda, xn izbe-izliktiń ózi de bul |
izbe- |
|||||
izliktiń kn n nomerli úles izbe-izligi dep qaralıwı múmkin.
Izbe-izlik limitiniń anıqlamasınan tikkeley kelip shıǵatuǵın eki tastıyıqlawdı keltiremiz.
69
10. Eger izbe-izlik limitke iye bolsa, onda onıń qálegen úles izbe-izligii de sol limitke iye boladı.
20. Eger izbe-izliktiń hámme úles izbe-izlikleri jıynaqlı bolsa, onda olardıń bári birdey limitke iye boladı (dara jaǵdayda izbeizliktiń ózi de sol limitke iye boladı).
Eskertiw. Izbe-izliktiń ayırım úles izbe-izlikleriniń limitiniń bar bolıwınan berilgen izbe-izliktiń limitiniń bar bolıwı hárdayım
kelip shıǵa bermeydi. Mısalı, xn ( 1)n 1 : 1, 1, , 1, 1, izbe-izliktiń x2k 1 1 hám x2k 1 úles izbe-izlikler jıynaqlı
bolıp, sáykes túrde, 1 hám -1 ge teń limitke iye. Biraq berilgen izbe-izliktiń ózi limitke iye emes. Demek, limitke iye emes izbeizliktiń úles izbe-izlikleri limitke iye bolıwı múmkin eken.
Mına tastıyıqlaw da 10 tastıyıqlawǵa uqsas dálillenedi: sheksiz úlken izbe-izliktiń hár bir úles izbe-izligi sheksiz úlken izbe-izlik.
13-anıqlama. Eger noqattıń qálegen dógereginde izbe-izliktiń sheksiz kóp elementleri jatsa, onda bul noqat izbe-izliktiń limit noqatı dep ataladı.
14-anıqlama. Eger izbe-izlikten bazı bir noqatqa jıynaqlı úles izbe-izlik ajıratıp alıw múmkin bolsa, onda bul noqat izbe-izliktiń limit noqatı dep ataladı.
Bul eki anıqlama ekvivalent.
2-lemma. Hár bir jıynaqlı izbe-izlik óziniń limitine teń jalǵız bir limit noqatına iye.
Dálillew. Meyli, lim xn a bolsın. Izbe-izliktiń limitiniń
n
anıqlaması boyınsha a noqattıń qálegen dógereginde izbeizliktiń bazı bir nomerden baslap hámme elementleri (sheksiz kóp) jatadı. Demek, a noqat xn izbe-izliktiń limit noqatı. 10-
tastıyıqlaw boyınsha xn izbe-izliktiń qálegen úles izbe-izligi a noqatqa jıynaqlı. Demek, 14anıqlama boyınsha xn izbeizliktiń a noqattan basqa limit noqatı joq. ▲
70
Bul lemma jıynaqlı bolmaǵan izbe-izlikler ushın orınlı emes.
Mısalı, |
shegaralanǵan |
|
1 |
, 1 |
1 |
, |
1 |
, 1 |
1 |
|
, , |
1 |
, 1 |
1 |
, izbe- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
3 |
|
n |
|
n |
|
|
|||||
izliktiń |
x 0 hám |
x 1, |
eki |
limit |
noqatı |
bar. |
Al |
[0, 1] |
|||||||||||||||
kesindidegi racional |
sanlar |
izbe-izligi |
shegaralanǵan, |
biraq |
|||||||||||||||||||
x [0, 1] sanı bul izbe-izliktiń limit noqatı boladı. |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
15-anıqlama. Izbe-izliktiń eń úlken (eń kishi) limit noqatı usı |
||||||||||||||||||||||
izbe-izliktiń joqarǵı |
(tómengi) |
|
limiti |
dep |
ataladı |
hám |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
(lim x |
|
) simvolı menen belgilenedi. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
lim x |
n |
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Saldar. Izbe-izliktiń jıynaqlılıǵı onıń tómengi hám joqarǵı limitleriniń teńligine teń kúshli.
18-teorema (Bol`cano-Veyershtrass teoreması). Hár bir shegaralanǵan izbe-izlikten jıynaqlı úles izbe-izlik ajıratıp alıw múmkin.
Dálillew. Meyli, izbe-izlik shegaralanǵan bolsın.
Onda bul izbe-izliktiń hámme elementleri bazı bir [a,b] kesindige derek dep uyǵarıw múmkin: n N ushın xn [a,b] .
[a,b] |
kesindini |
[a, |
a b |
], |
[ |
a b |
, b] |
kesindilerge |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
bólekleymiz. Bul kesindilerdiń xn |
izbe-izliktiń |
sheksiz kóp |
||||||
elementi jaylasqanın [a1,b1 ] dep belgileymiz. [a1,b1 ] |
kesindiniń |
|||||||||||||
uzınlıǵı |
|
b a |
ge |
teń. |
Endi |
[a1,b1 ] |
kesindini |
|||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[a1, |
a1 |
b1 |
], |
[ |
a1 |
b1 |
, b1 |
] |
kesindilerge |
bólekleymiz. |
Bul |
|||
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
kesindilerdiń xn izbe-izliktiń sheksiz kóp elementi jaylasqanın
[a |
|
, b ] dep belgileymiz. [a |
|
,b ] kesindiniń uzınlıǵı b a |
na |
||||
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
teń. Bul processti dawam etiw nátiyjesinde |
|
|
|
|
|||||
|
|
[a1,b1 ], |
[a2 ,b2 ], , [an ,bn ], |
|
|
|
|||
kesindiler izbe-izligin alamız. Bul izbe-izlik kesindileri ushın |
|
|
|||||||
|
|
[a1,b1 ] [a2 ,b2 ] [an ,bn ] |
|
|
|||||
71
qatnas orınlı bolıp, lim(b |
a |
|
) lim |
b a |
0 teńlik orınlı, |
|
n |
|
|||||
n |
n |
|
n |
2n |
|
|
|
|
|
|
|||
yaǵnıy bul kesindiler tartılıwshı sistema dúzedi. Biriniń ishine biri
jaylasqan |
|
|
kesindiler |
|
|
principi |
|
boyınsha |
||||||||
lim an lim bn c [an ,bn ] |
( n N ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Endi xn izbe-izliktiń [a1,b1 ] |
kesindige derek bazı bir xk |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
elementin, |
[a |
|
,b ] kesindige |
|
derek |
bazı |
bir x |
|
(k |
k |
|
) |
||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
k2 |
1 |
|
2 |
|
elementin |
h. |
|
t. b. |
[an ,bn ] |
kesindige |
derek |
|
bazı |
bir |
|||||||
xkn |
(k1 k2 kn ) |
elementin |
h. |
t. |
|
b. saylap alamız. |
||||||||||
Nátiyjede |
xn |
izbe-izliktiń x |
kn |
|
(k |
k |
|
k |
|
) |
úles |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
izbe-izligi hasıl boladı. Bul izbe-izliktiń elementleri ushın
dúziliwi boyınsha n N |
ushın an xkn bn teńsizlikler |
||
orınlı. 6- teorema boyınsha |
lim xk |
c teńlik kelip shıǵadı. ▲ |
|
|
n |
k |
|
|
|
||
18-teorema qálegen |
|
shegaralanǵan izbe-izliktiń limit |
|
noqatlarınıń kópligi qalay dúzilgenin túsindirip beredi. Eger xn
izbe-izliktiń |
|
tómengi |
limitin |
x : lim x |
n |
, al |
joqarǵı |
limitin |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dep belgilesek, onda izbe-izliktiń hámme limit noqatları |
||||||||||||||||||
|
x : lim x |
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
kesindide |
jatadı, sonıń menen |
|
birge |
eger |
izbe-izlik |
||||||||||||||||
[x, x] |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
tarqalıwshı |
bolsa, |
bul |
izbe-izlik keminde eki x hám x limit |
|||||||||||||||||||||||||
noqatlarǵa |
|
|
iye |
|
boladı. |
Biz |
|
joqarıda |
qaraǵan |
|||||||||||||||||||
|
1 |
, 1 |
1 |
|
, |
|
1 |
, 1 |
1 |
, , |
1 |
, 1 |
1 |
, izbe-izlik tek eki x 0 hám |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
3 |
|
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
x 1 limit |
|
noqatqa |
iye izbe-izlikke mısal boladı. Al |
[0, 1] |
|||||||||||||||||||||||
kesindide |
|
jatıwshı |
racional |
sanlar izbe-izligi |
limit |
noqatları |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
kesindisin tolıq qaplaytuǵın izbe-izlikke mısal boladı, bul |
|||||||||||||||||||||||||
[x, x] |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
jerde x 0, |
|
x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
72