Matematikaliq analiz

7-anıqlama. Eger

a

san hám N

san ushın 0

san

hám n N

nomer tabılıp,

xn a

teńsizlik orınlı bolsa,

xn izbe-izlik limitke iye emes dep ataladı.

Mısallar. № 1. xn

1

:

1,

1

,

1

, ,

1

, izbe-izliktiń

n

2

3

n

limiti nolge teń ekenin kórsetiń.

Sh e sh i w. Izbe-izliktiń anıqlaması boyınsha

0 san

ushın n N

nomerler ushın 1

(2) teńsizlik orınlı bolatuǵın

n

N N ( )

nomer kórsetiw

jetkilikli.

(2)

teńsizlikten

n

1

teńsizlikti

alamız. Bunnan

N N ( )

nomerdi

N

1

]

dep

[

1

alıwımız

múmkin ekeni kelip

shıǵadı,

bul

jerde

[

1

]

1

oń

sannıń pútin bólegi.

№ 2. x

n

( 1)n :

1,

1,

1,

1,

,

1,

1,

izbe-

nomerler ushın

( 1)n a

teńsizlik orınlı boladı. Bunnan jup n

nomerler

ushın

1 a

teńsizlik, al

taq n

nomerler

ushın

1 a

teńsizlik

orınlı

bolatuǵını

kelip

shıǵadı.

Bul

teńsizliklerden

2

(1 a) 1 a)

1 a

1 a

2 ,

yaǵnıy 2 2

teńsizlikti

alamız. Bul teńsizlik tek

1

sanlar ushın orınlı bolıp, 0

1 sanlar ushın orınlı emes. Bul

anıqlamadaǵı

0

sannıń qálegen

qılıp saylap alınıwına

qaramaqarsı. Demek, berilgen izbe-izlik dimitke iye emes.

3-§. Jıynaqlı izbe-izliklerdiń qásiyetleri

1-teorema. Jıynaqlı izbe-izlik jalǵız bir limitke iye.

Dálillew. Bul teoremanı dálillew ushın bizge tómendegi

lemma kerek boladı.

L e m m a. a b

noqatlardıń U

(a) U

(a Ø bolǵan

U

(a) hám U

(b) dógerekleri bar (1- súwret).

1- súwret

Teoremanı kerisinen dálilleymiz. Meyli,

xn izbe-izlik eki

shekli

limitke iye

bolsın:

lim xn a,

lim xn b

(a b).

n

n

Lemma boyınsha a hám

b

noqatlardıń

Ø

bolǵan U (a)

hám U (b)

dógerekleri bar. Izbe-izliktiń limitiniń

anıqlaması boyınsha

0

san ushın N N ( )

nomer

tabılıp,

n N

nomerler

ushın

xn

a

teńsizlik

hám

N N ( )

nomer

tabılıp,

n N

nomerler

ushın

xn b

teńsizlik orınlı

boladı.

N max(N , N )

dep

a

alsaq,

n N nomerler ushın hám

xn

teńsizlik, hám

xn b

teńsizlik orınlı

boladı.

Nátiyjede izbe-izliktiń

n N nomerli elementleri bir waqıtta

hám U (a) dógerekke,

hám U

(b)

dógerekke derek. Bul

Ø

shártke

qaramaqarsı. ▲

2-teorema. Jıynaqlı izbe-izlik shegaralanǵan.

Dálillew. Meyli,

lim x

n

a

bolsın. Izbe-izliktiń anıqlaması

n

boyınsha 0

san ushın

N N ( ) nomer tabılıp,

n N

nomerler ushın

xn a

, yaǵnıy

a

xn

a teńsizlik

orınlı.

a

,

a

,

x1

,

x1

, ,

xN

sanlardıń eń úlkenin

M dep belgilesek, n nomer ushın

xn

M

teńsizlik orınlı

bolmaǵanda bazı bir nomerden baslap)

xn p

(xn q)

teńsizlikti qanaatlandırsa, onda bul izbe-izliktiń

a

limiti

de usı

teńsizlikti qanaatlandıradı: a p

(a q) .

Dálillew. Meyli, xn izbe-izliktiń hámme

elementleri (eń

bolmaǵanda bazı bir

N nomerden baslap)

xn

p teńsizlikti

qanaatlandırsın hám

lim xn a bolsın, biz bul izbe-izliktiń a

n

limiti ushın a p teńsizlik orınlı bolatuǵının kórsetemiz.

Teoremanı kerisinen dálilleymiz. Meyli,

a p bolsın. Onda

izbe-izliktiń limitiniń anıqlaması boyınsha

p a san ushın

N N ( ) nomer

tabılıp(bul

nomerdi

N nomerden

úlken

bolatuǵın

qılıp alamız),

n N

nomerler ushın

xn a

,

yaǵnıy

xn a

p a

teńsizlik orınlı.

Bul

teńsizlik

( p a) xn a p a

teńsizliklerge

ekvivalent.

Bul

bolmaǵanda bazı bir nomerden baslap) xn p

(xn q) qatal

teńsizlikti qanaatlandırsa, onda bul izbe-izliktiń

a limiti de

a p

(a q) qatal teńsizlikti qanaatlandırıwı shárt emes.

Mına teorema da 3- teoremaday dálillenedi.

4-teorema.

Eger

jıynaqlı

izbe-izliktiń

a

limiti

a p

(a q)

teńsizlikti qanaatlandırsa,

onda

bul

izbe-

nomerden baslap) oń (teris) sanlar boladı.

5-teorema. Eger jıynaqlı xn hám

yn izbe-izliklerdiń

xn yn

( xn yn )

teńsizlikti qanaatlandırsa, onda bul izbe-

izliklerdiń

limitleri

de usı teńsizlikti qanaatlandıradı:

orınlanǵanda a b bolsın.

Onda a c b bolatuǵın c san bar.

Demek, lim xn a hám

a c . 4- teorema boyınsha

eń

n

bolmaǵanda N nomer tabılıp, n N nomerler ushın xn

c .

Sonıń menen birge lim yn b hám b c . 4- teorema boyınsha

n

eń bolmaǵanda N nomer tabılıp,

n N

nomerler ushın

yn c . Eger N max(N , N ) dep

alsaq,

n N nomerler

ushın hám xn c , hám

yn c

teńsizlik orınlı boladı. Bunnan

n N nomerler ushın

xn yn

bolatuǵını kelip shıǵadı. Bul

jıynaqlı izbe-izlikler bolsın. Eger

zn izbe-izliktiń hámme

elementleri

(eń bolmaǵanda bazı

bir

nomerden baslap)

xn zn yn

teńsizliklerdi qanaatlandırsa,

onda zn izbe-izlik

lim xn a 0 N N ( )

n N

xn a

,

n

yn a 0 N N ( )

n N

yn a

.

lim

n

Eger

N max(N , N ) dep alsaq, onda

n N

nomerler

ushın hám

a xn a ,

hám

a yn a

teńsizlikler

orınlı

boladı.

Teoremanıń

shártinen

a xn zn yn a teńsizliklerge

iye bolamız. Bul

teńsizliklerden

a zn

a , yaǵnıy

zn

a

teńsizlik

kelip shıǵadı. Demek lim zn a boladı eken. ▲

n

№ 2.

n

qn

(

q

1) izbe-izliktiń sheksiz kishi izbe-izlik

ekenin kórsetiń.

Sh e sh i w.

q

1 teńsizlikten

1

1

(q

0)

teńsizlik kelip

q

shıǵadı. Bunnan

1

1

( 0)

hám

1

(1 )n

(n N )

n

q

q

dep jazıwımız múmkin. (1 )n

1 n

Bernulli teńsizliginen

paydalanıp,

q

n

1

1

teńsizlikke iye bolamız.

1 n

n

Endi

0

san ushın izbe-izliktiń limitiniń

anıqlaması

boyınsha

n N nomerler ushın

q

n

bolatuǵın

N N ( )

nomerdi

kórsetiwimiz

kerek. Bunıń ushın

1

teńsizlikten

n

n

1

teńsizlikti alamız hám

N ( ) [

1

] 1 [

q

] 1

dep

1

q

alıw jetkilikli.

Izbe-izliktiń limitiniń anıqlamasınan paydalanıp mına

teoremanı dálillew qıyın emes.

7-teorema. Eki sheksiz kishi izbe-izliktiń qosındısı (ayırması)

sheksiz kishi izbe-izlik.

Saldar. Shekli sandaǵı sheksiz

kishi izbe-izliklerdiń

algebralıq qosındısı sheksiz kishi izbe-izlik.

8-teorema. Shegaralanǵan izbe-izliktiń

sheksiz

kishi izbe-

izlikke kóbeymesi sheksiz kishi izbe-izlik.

Sheksiz kishi izbe-izlik anıqlaması boyınsha

0 san alınsa

da

A 0

san ushın N nomer tabılıp, n N nomerler ushın

n

A

teńsizlik orınlı. Kóbeymeniń

moduli moduller

kóbeymesine

teń

ekenin

esapqa alıp, n N nomerler ushın

A

x

n

n

x

n

n

teńsizlik

orınlı

bolatuǵının

kóremiz. Al

bul

xn An izbe-izlik sheksiz kishi izbe-izlik

ekenin bildiredi. ▲

Saldar. Sheksiz kishi izbe-izliklerdiń kóbeymesi sheksiz kishi

izbe-izlik.

9-teorema. xn

izbe-izliktiń limiti a

sanǵa

(shekli) teń

bolıwı ushın n xn

a izbe-izlik sheksiz kishi izbe-izlik bolıwı

zárúr hám jetkilikli.

Haqıyqattan

da,

meyli,

lim xn a

bolsın.

Izbe-izliktiń

n

limitiniń anıqlaması boyınsha

san ushın N N ( )

nomer

tabılıp, n N nomerler ushın

xn

a

teńsizlik orınlı. Eger

n : xn

a dep belgilesek,

onda

n

bolıp,

bul

n -

sheksiz kishi izbe-izlik bolatuǵının bildiredi.

Endi, meyli, xn

izbe-izlik

hám

a

san

berilgen

bolıp,

n

xn

a izbe-izlik sheksiz kishi izbe-izlik bolsın. Onda

san

ushın

N N ( )

nomer tabılıp,

n N

nomerler

ushın

n

yaǵnıy

xn a

teńsizlik

orınlı.

Bul xn

izbe-

izliktiń limiti a sanǵa teń bolatuǵının bildiredi. ▲

Solay etip, limiti a sanǵa (shekli) teń jıynaqlı izbe-izliktiń xn

elementin

xn a n

arnawlı

kóriniste

jazıw múmkin, bul

jerde n

bazı bir n sheksiz kishi izbe-izliktiń elementi.

3.2. Jıynaqlı izbe-izlikler ústinde arifmetikalıq ámeller.

10-teorema. Jıynaqlı xn

hám

yn

izbe-izliklerdiń

qosındısı jıynaqlı izbe-izlik bolıp,

limiti

xn

hám

yn izbe-

izliklerdiń limitleriniń qosındısına teń.

Dálillew. Meyli, lim xn a

hám

lim yn b

bolsın. Bul

n

n

jıynaqlı

izbe-izliklerdiń

elementlerin arnawlı

kóriniste

jazıp

alamız:

xn a n hám

yn

b n , bul jerde

n hám n -

sáykes

túrde

bazı bir n

hám n

sheksiz

kishi izbe-

izliklerdiń

elementleri.

Bul

teńliklerden

(xn yn ) (a b) n

n teńligi

kelip shıǵadı. Eki

sheksiz

kishi

izbe-izliktiń

qosındısı sheksiz kishi izbe-izlik

11-teorema. Jıynaqlı

xn

hám

yn

izbe-izliklerdiń

ayırması jıynaqlı izbe-izlik bolıp, limiti

xn

hám

yn izbe-

izliklerdiń limitleriniń ayırmasına teń.

12-teorema. Jıynaqlı

xn

hám

yn

izbe-izliklerdiń

kóbeymesi jıynaqlı izbe-izlik bolıp, limiti xn hám

yn izbe-

izliklerdiń limitleriniń kóbeymesine teń.

Dálillew. Meyli, lim xn a

hám

lim yn b

bolsın. Bul

n

n

alamız: xn a n hám yn

b n , bul jerde n hám n -

sáykes túrde bazı bir n

hám n sheksiz kishi izbe-

izliklerdiń

elementleri.

Bul

teńliklerden

( xn yn )

(a b) a n b n n n

teńligi kelip

boyınsha xn hám yn izbe-izliklerdiń xn

yn

kóbeymesi

jıynaqlı izbe-izlik bolıp, limiti a b kóbeymege

teń

bolatuǵını

kelip shıǵadı. ▲

Saldar. Jıynaqlı xn izbe-izliktiń c R sanǵa kóbeymesi

jıynaqlı izbe-izlik bolıp, limiti xn izbe-izliktiń limitiniń c

sanǵa

kóbeymesine teń.

1-lemma. Eger yn izbe-izliktiń limiti b

(b 0)

sanǵa

yn izbe-izliklerdiń qatnası

bolǵan

1

izbe-izlik

anıqlanǵan

yn

hám bul izbe-izlik shegaralanǵan.

Dálillew. b 0 ekenin esapqa alıp,

b

dep alamız. Izbe-

2

izliktiń

limitiniń

anıqlaması

boyınsha

usı

0

san ushın

N N ( )

nomer tabılıp,

n N

nomerler

ushın

y

n

b

,

yaǵnıy

teńsizlik

orınlı.

b (b yn ) yn

birdeylikten

y

n

b

b

2

b

b yn

yn

b

yn

teńsizlikke

iye bolamız. Bul

teńsizlikten

2

teńsizlik kelip shıǵadı. Bul teńsizlik

n N nomerler ushın

yn

b

2

bolatuǵının hám usı nomerden baslap 1

izbe-izlikti qaraw

yn

múmkin ekenin bildiredi. Bul teńsizlikten jáne

1

2

teńsizlikti

yn

b

alıw múmkin. Al bul N nomerden baslap alınǵan

1

izbe-izlik

yn

anıqlanǵan jıynaqlı izbe-izlik bolıp, limiti xn hám

yn izbe-

izliklerdiń limitleriniń qatnasına teń.

Dálillew. Meyli, lim xn a hám

lim yn b 0 bolsın.

n

n

elementleri nolden ózgeshe bolıp,

1

izbe-izlik anıqlanǵan hám

yn

bul izbe-izlik shegaralanǵan. Biz

xn

a

izbe-izlik sheksiz

yn

b

izbe-izlik

ekenin

kórsetiwimiz

jetkilikli.

Bunıń

ushın

xn

a

xn b yn a

teńlikten

paydalanamız. xn hám yn

yn

b

yn b

izbe-izliklerdiń elementlerin arnawlı

kóriniste

jazıp

alamız:

xn a n

hám

yn b n .

Nátiyjede

xn b yn a (a n ) b (b n ) a b n a n

teńlikke iye

bolamız. Demek,

xn

a 1

(b

n

a

n

) . Endi

yn

b

yn

1

izbe-izlik shegaralanǵan izbe-izlik, al

b

a

izbe-

n

n

yn

Bunnan lim

xn

a

teńlik kelip shıǵadı. ▲

n y

n

b

3.3. Sheksiz úlken izbe-izlikler. 9-anıqlama. A 0 san

ushın (bul

san

qanday úlken san bolsa da)

N N ( A)

nomer

tabılıp, n N

nomerler ushın

x

n

A teńsizlik orınlı bolsa, onda

bunday xn izbe-izlik sheksiz úlken izbe-izlik dep ataladı.

Qolaylılıq

ushın xn sheksiz úlken

izbe-izliktiń

limiti

sheksiz, yaǵnıy lim xn

dep jazıladı.

n

Eger A 0 san ushın (bul san qanday úlken san bolsa da)

N N ( A)

nomer

tabılıp,

n N

nomerler

ushın

xn A

( xn A)

teńsizlik orınlı bolsa,

onda bunday xn

izbe-izliktiń limiti

ke ( ke) teń

dep alınadı hám

lim xn

(lim xn ) dep jazıladı.

n

n