Matematikaliq analiz
.pdf
|
|
|
|
|
f (xn ) f (a) |
f ( n ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
g(xn ) g(a) |
g ( n ) |
|
|
|
|
|||||||
teńlik orınlı |
boladı. |
|
Biziń |
|
tolıqtırıp anıqlawımız |
boyınsha |
|||||||||||
f (a) g(a) 0 |
ekenin esapqa alıp, bul teńlikti |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
f (xn ) |
|
f ( n ) |
|
(33) |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
g(xn ) |
g ( n ) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
kóriniste jazamız. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(33) |
teńlikte n da |
limitke ótemiz, |
sonda |
xn a. |
|||||||||||||
Kosha teoremasınıń tastıyıqlawı boyınsha n |
noqat a hám xn |
||||||||||||||||
noqatlar |
arasında jatqanlıqtan |
n a. |
Teoremanıń |
shárti |
|||||||||||||
boyınsha |
lim |
f (x) |
limit bar |
bolǵanlıqtan |
(33) teńliktiń oń |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tárepindegi bólshek |
|
|
Geyne |
|
anıqlaması boyınsha |
lim |
f (x) |
|
|||||||||
|
|
|
g (x) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
||
shamaǵa teń limitke iye. xn - a noqatqa jıynaqlı qálegen izbeizlik bolǵanlıqtan hám Geyne anıqlaması boyınsha (33) teńliktiń
shep tárepindegi bólshektiń |
lim |
f (x) shamaǵa teń limitke iye |
||||
|
|
|
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
x a |
||
bolıwı |
lim |
f (x) limittiń de usı shamaǵa teń ekenin bildiredi. |
||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
||
Solay etip, n da (32) teńlikti alamız. ▲
1- Eskertiw. Lopital` qaǵıydası hámme waqıtta da durıs bola bermeydi, yaǵnıy funkciyalardıń qatnasınıń limiti tuwındılardıń qatnası limitke iye bolmaǵan jaǵdaylarda da bar bolıwı múmkin.
Mısalı, |
f (x) x |
2 |
|
1 |
|
hám |
|
g(x) sin x |
funkciyalardıń x 0 |
||||||
|
|
cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
noqattaǵı limitleri nolge teń hám |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 cos |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
lim |
x |
lim |
x |
lim x cos |
1 |
0 |
||||||
|
|
||||||||||||||
|
g(x) |
sin x |
|
sin x |
x |
||||||||||
|
x 0 |
x 0 |
|
x 0 |
|
x 0 |
|
||||||||
203
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Biraq, f (x) |
|
2x cos |
|
|
sin |
|
|
bólshek x 0 noqatta limitke |
|||||||||
|
x |
x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|
cos x |
|
|
|
|
|
|||||||
iye emes, sebebi, |
|
y sin |
1 |
funkciya x 0 noqatta limitke iye |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
emes. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2- Eskertiw. Eger 14- |
teoremanıń shártlerine |
f (x) hám |
|||||||||||||||
g (x) tuwındılardıń |
a |
noqatta úzliksiz bolıw |
shárti qosılsa, |
|||||||||||||||
onda |
g (a) 0 |
|
teńsizlik |
|
|
orınlanǵanda |
(32) |
teńlikti |
||||||||||
lim |
f (x) |
|
|
f (a) |
|
kóriniste jazıw múmkin. |
|
|
||||||||||
g(x) |
g (a) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
3- Eskertiw. Eger |
|
f (x) |
hám g (x) tuwındılar |
f ( x) hám |
|||||||||||||
g (x) funkciyalarǵa |
qoyılǵan talaplarǵa juwap berse, onda |
|||||||||||||||||
Lopital` qádesinen tákirarlap paydalanıw múmkin, yaǵnıy f (x) hám g(x) funkciyalardıń birinshi tártipli tuwındılarınıń
qatnasınıń limitin bul funkciyalardıń ekinshi tártipli tuwındılarınıń qatnasınıń limitine almastırıw múmkin. Nátiyjede
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
|
g(x) |
g (x) |
g (x) |
||||
x a |
x a |
x a |
teńliklerge iye bolamız.
Mısallar. 1) lim |
1 cos x |
lim |
sin x |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
x 0 |
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
2) |
lim |
x sin x |
|
lim |
1 cos x |
lim |
sin x |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
x3 |
x 0 |
|
|
|
|
x 0 6x |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
3) |
lim |
|
|
x4 |
|
|
lim |
|
|
4x3 |
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
12x2 |
lim |
24x |
12. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 x2 |
2cosx 2 |
x 0 2x 2sin x |
|
x 0 2 |
2cosx |
|
x 0 |
2sin x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4) |
lim |
x |
lim |
x 1 |
|
|
|
lim |
x 1 |
(1 x) 0. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 0 ln(1 x) |
|
|
x 0 0 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
5) |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
lim |
4 |
arctg(1 |
x ) |
lim |
|
1 (1 x ) |
|
lim |
1 (1 x ) |
|
|
1 |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
s in |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
cos |
1 |
|
|
|
x |
cos |
1 |
|
|
|
2 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
204
6) lim |
xn |
lim |
n xn 1 |
lim |
n (n 1) xn 2 |
lim |
n ! |
|
0. |
|
ex |
ex |
|
||||||
x ex |
x |
x |
x ex |
|
|||||
Bul jerde Lopital` qaǵıydasınan n mártebe paydalandıq.
|
|
7.2. |
|
kórinistegi |
|
|
|
anıq |
emesliklerdi |
ashıw. |
Eger |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim f (x) |
( , |
), |
|
|
|
lim f (x) |
( , |
) |
|
bolsa, |
||||||||||||||||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
onda |
a |
noqat |
dógereginde |
anıqlanǵan |
|
f (x) |
hám |
g(x) |
||||||||||||||||||
funkciyalardıń f (x) |
qatnası |
x a da |
|
kórinisindegi anıq |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
emeslik dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
15-teorema ((Lopitaldıń |
ekinshi qádesi). Meyli, |
U0 |
(a) |
a |
||||||||||||||||||||
noqattıń oyılǵan |
dógeregi, |
f (x) hám |
g (x) |
funkciyalar |
||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
dógerekte |
anıqlanǵan |
hám differenciallanıwshı, |
g (x) |
|||||||||||||||||||
U (a) |
|
|||||||||||||||||||||||||
tuwındı U0 |
(a) dógerekte nolden ózgeshe hám |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
lim f (x) |
|
|
( , |
), |
lim f (x) |
( , |
) |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bolsın. Onda, |
eger |
lim |
f (x) |
limit (shekli, sheksiz) |
bar |
bolsa, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
|
f (x) limit te bar hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) |
lim |
f (x) |
(33) |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g (x) |
g(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
teńlik orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
Eskertiw. 14-teorema |
da, |
15-teorema |
da |
tómendegi |
||||||||||||||||||||
jaǵdaylardıń hár birewinde orınlı: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
1) bul teoremalarda U0 |
(a) dógerek sıpatında (a, a ) |
|||||||||||||||||||||||
intervalı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
( (a , a) |
|
|
intervalı), |
al |
limitler x a 0 |
da |
( |
|||||||||||||||||
x a 0 da) alınadı;
205
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2) U (a) dógerek sıpatında sanlar kósheriniń [ , |
] |
|||||||
kesindiden sırtqı bólegi, al limitler |
x da alınadı. |
|
|
|
|
|
||
0 |
|
( , ) yarım tuwrı sızıǵı ( |
||||||
3) U (a) dógerek sıpatında |
||||||||
( , ) |
yarım tuwrı sızıǵı), al limitler |
x da ( |
||||||
x da) alınadı; |
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3. Basqa kórinistegi anıq emesliklerdi ashıw. |
|
0 |
|
hám |
||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
kórinistegi |
anıq emesliklerden tısqarı 0 , |
, |
1 , |
00 , |
0 |
|||
kórinistegi anıq emeslikler de jiyi ushırasadı. Bul anıq emeslikler algebralıq túrlendiriwler járdeminde joqarıda qaralǵan eki anıq emesliklerdiń birewine alıp kelinedi.
Mısallar.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||
1) |
lim |
|
|
x ln x (0 ) lim |
( |
) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 x 1 2 |
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
x |
3 2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2 |
lim |
|
|
x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
) |
||||||||
2) |
lim |
x x (00 ) lim |
ex ln x (0 ) lim |
e 1 x |
( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
lim e 1 x2 lim |
e x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
0 |
|
||||
3) lim (1 x2 ) ex 1 x (1 ) lim[(1 x2 ) x2 ]ex 1 x lim eex 1 x |
( |
) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
|
|
|
2 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
lim eex 1 |
lim eex e2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
8-§. Teylor formulası
Bul paragrafta biz ilim hám texnikanıń júdá kóp tarawlarında keń qollanılatuǵın matematikalıq analizdiń áhmiyetli formulalarınıń birewin anıqlaymız.
206
8.1. |
Teylor teoreması. 16-teorema (Teylor). Meyli, f (x) |
funkciya |
a noqattıń bazı bir dógereginde n 1 tártipli |
tuwındıǵa iye, x - qaralıp atırǵan dógerektiń qálegen noqatı, p
qálegen |
oń |
san bolsın. Onda a hám x |
noqatları arasında |
||||||||||||||||
jatıwshı noqat tabılıp, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
f (a) f (a)(x a) |
f (a) |
(x a)2 |
|
|||||||||||||
|
|
(34) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (n) (a) |
(x a)n R |
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
n ! |
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
formula orınlı, bul jerde |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
Rn 1 (x) ( |
x a |
) |
p |
(x )n 1 |
|
f |
(n 1) |
( ). |
(35) |
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
n ! p |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Eskertiw. noqat a hám x noqatları arasında jatqanı |
||||||||||||||||||
sebepli |
x a |
|
bólshek oń anıqlanǵan, sonlıqtan p 0 san ushın |
||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
p |
dáreje anıqlanǵan. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
( |
x |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(34) formula orayı a noqat bolǵan Teylor formulası dep, al
(x) ańlatpa Teylor formulasınıń qaldıq aǵzası dep ataladı. Teylor formulasınıń qaldıq aǵzası tek (35) kóriniste emes, basqa kóriniste de jazılıwı múmkin. (35) kóriniste jazılǵan qaldıq
aǵza ulıwma formadaǵı qaldıq aǵza dep ataladı. |
|
|
||||
Dálillew. (34) teńliktiń oń tárepindegi |
n dárejeli |
|||||
kópaǵzalını ( x, a) dep belgileymiz: |
|
|
|
|||
(x, a) f (a) f (a)(x a) |
f (a) |
(x a)2 |
|
f (n) (a) |
(x a)n . |
|
2 ! |
n ! |
|||||
|
|
|
|
|||
|
(36) |
|
|
|
|
|
207
Soń |
f (x) |
funkciya |
menen |
( x, a) |
kópaǵzalınıń |
|||||
ayırmasın Rn 1 (x) dep belgileymiz: |
|
|
|
|||||||
|
R |
|
(x) f (x) (x, a) . (37) |
|
|
|||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eger Rn 1 (x) |
ayırma (35) formula menen anıqlanatuǵının |
|||||||||
kórsecek teorema dálillenedi. |
|
|
|
|
|
|
||||
Teoremada kórsetilgen dógerekten x noqat saylap alamız, |
||||||||||
anıqlıq |
ushın x a dep |
esaplaymız. Ózgeriw |
oblastı [a, x] |
|||||||
kesindi bolǵan ózgeriwshini |
t dep belgileymiz hám tómendegi |
|||||||||
kórinistegi járdemshi funkciyanı qaraymız: |
|
|
||||||||
|
(t) f (x) (x, t) (x t) p Q(x), |
(38) |
|
|||||||
bul jerde |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q(x) |
Rn 1 (x) . |
(39) |
|
|
|||
|
|
|
(x a) p |
|
|
|
|
|||
Járdemshi funkciyanı |
|
|
|
|
|
|
||||
(t) f (x) f (t) f (t)(x t) |
f (t) |
(x t)2 |
|
|||||||
|
(40) |
|||||||||
|
|
|
|
|
2 ! |
|
|
|||
|
f (n) (t) |
(x t)n (x t) p Q(x) |
|
n ! |
|||
|
|
kóriniste jazıw múmkin. Biziń maqsetimizkiritilgen járdemshi(x) funkciyanıń qásiyetlerinen paydalanıp Q(x) funkciyanı
ańlatıw.
(40)formuladan hám f (x) funkciyaǵa qoyılǵan shártlerden
(t) funkciya [a, x] kesindide úzliksiz hám bul kesindiniń hámme ishki noqatlarında differenciallanıwshı. (a) (x) 0
bolatuǵının kórsetemiz. (38) formulada t a dep alıp hám (39) teńlikti itibarǵa alıp, (a) f (x, a) ()x, a) Rn 1 (x) teńlikke
208
iye bolamız. Bunnan (37) teńlik tiykarında (a) 0 teńlikti alamız.(x) 0 teńlik (40) formuladan kelip shıǵadı.
Solay etip, (t) funkciya ushın [a, x] kesindide Roll teoremasınıń shártleri orınlanǵan. Bul teorema boyınsha [a, x] kesindiniń ishki noqatı tabılıp,
( ) 0 (41)
teńlik orınlı boladı. (40) teńlikti differenciallap, (t) funkciyanıń tuwındısı ushın
(t) f (t) f (t) |
f (t)(x t) |
f (t) |
2 (x t) |
|
|||||
|
(42) |
||||||||
2 ! |
|||||||||
|
f (n) (t) |
n (x t)n 1 |
|
f (n 1) (t) |
(x t)n p (x t) p 1 |
Q(x) |
|||
n ! |
n ! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
teńlikke iye bolamız. (42) teńliktiń keyingi eki aǵzasınan
basqaları ózara jesip ketetuǵının kóriw qıyın emes. Solay etip,
(t) f (n 1) (t) (x t)n p (x t) p 1 Q(x) . n !
Bul teńlikte t dep alıp hám (41) teńlikten paydalanıp,
Q(x) (x )n p 1 f (n 1) ( ) n ! p
teńlikti alamız. Alınǵan bul teńlikten hám (39) teńlikten paydalanıp,
|
|
x a |
|
(x )n 1 |
|
R |
(x) (x a) p Q(x) ( |
|
) p |
|
f (n 1) ( ) |
|
|
||||
n 1 |
|
x |
|
n ! p |
|
|
|
|
|||
teńlikke iye bolamız. Solay etip, Rn 1 (x) ayırma (35) formula
menen anıqlanadı eken. ▲
Eń ápiwayı funkciyanıń- n dárejeli algebralıq kópaǵzalınıńTeylor formulası boyınsha jikleniwin qaraymız.
Meyli,
P(x) an xn an 1xn 1 a1x a0
209
kópaǵzalı |
berilgen bolsın. |
|
|
P(n 1) (x) 0 bolǵanlıqtan qaldıq |
|||||
aǵza Rn 1 ( x) 0 hám (34) Teylor formulası |
|
|
|||||||
P(x) P(a) P (a)(x a) |
|
P (a) |
(x a)2 |
P(n) (a) |
(x a)n |
||||
2 ! |
n ! |
||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
kóriniste jazıladı, bul jerde |
|
a noqat sıpatında sanlar kósheriniń |
|||||||
qálegen noqatın alıw |
múmkin. Solay etip, Teylor |
formulası |
|||||||
qálegen kópaǵzalını x a |
(a qálegen san) ayırmanıń dárejesi |
||||||||
boyınsha kópaǵzalı kórinisinde jazıwǵa múmkinshilik beredi. |
|||||||||
Meyli, |
f (x) |
Teylor |
teoremasınıń |
shártlerin |
|||||
qanaatlandırıwshı bazı bir funkciya bolsın. Bul funkciya ushın Teylor formulasında qatnasatuǵın (x, a) kópaǵzalı qanday
qásiyetlerge iye bolatuǵının anıqlaymız. (n) (x, a) simvolı menen
bul kópaǵzalınıń |
n tártipli tuwındısın |
belgileymiz. |
(36) |
||||||||
formulanı |
x ózgeriwshi |
boyınsha |
differenciallap hám keyin |
||||||||
x |
a dep alıp, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a, a) f (a), |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(a, a) f (a), |
|
(43) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
(a, a) f (a), |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n) (a, a) f (n) (a) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńliklerdi alamız. Solay |
etip, f (x) |
funkciya ushın |
Teylor |
||||||||
formulasında qatnasatuǵın |
( x, a) kópaǵzalı |
mına qásiyetke |
|||||||||
iye: bul kópaǵzalınıń ózi hám onıń |
n |
tártipke |
deyingi |
||||||||
tuwındıları |
x a noqatta, sáykes túrde, f (x) |
funkciyanıń hám |
|||||||||
bul |
funkciyanıń |
n |
tártipke |
deyingi |
tuwındılarınıń |
usı |
|||||
noqattaǵı mánislerine teń. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
8.2. Lagranj, |
Koshi |
hám Peano formasındaǵı |
qaldıq |
|||||||
aǵzalar. Joqarıda biz ulıwma formadaǵı qaldıq aǵzalı Teylor formulasın anıqladıq. Endi basqa formadaǵı qaldıq aǵzalardı da
210
qaraymız. Olardıń dáslepki ekewi ulıwma formadaǵı qaldıq aǵzanıń dara jaǵdayı sıpatında alınıwı múmkin.
Dáslep qaldıq aǵza ushın (35) formulanı túrlendirip jazamız.
noqat a |
|
hám |
x |
noqatlar arasında |
jatqanlıqtan |
|||||||||||
a (x a) |
|
teńlik |
orınlı bolatuǵın |
(0,1) |
noqat |
bar. |
||||||||||
Bunnan |
|
a (x a) |
hám |
x (1 ) (x a) |
||||||||||||
teńlikler kelip shıǵadı. Solay etip, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
R |
(x) |
(x a)n 1 |
(1 )n p 1 |
f (n 1) [a (x a)] |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
n 1 |
|
|
|
n ! p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
kóriniste jazıw múmkin. |
Bul |
formulanıń |
eki áhmiyetli |
dara |
||||||||||||
jaǵdayın qaraymız. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
1) |
p n 1. Bul jaǵdayda Lagranj formasındaǵı |
qaldıq |
||||||||||||||
aǵza dep atalatuǵın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
R |
|
|
(x) |
(x a)n 1 |
f (n 1) [a (x a)] |
(0 1) |
|
|
|||||||
|
n 1 |
(n 1)! |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
formulanı alamız. Bul qaldıq aǵza Teylor |
formulasınıń |
kelesi |
||||||||||||||
aǵzasın esletedi, biraq funkciyanıń |
(n 1) |
tuwındısı |
a |
|||||||||||||
noqatta |
emes, |
|
a hám |
x |
noqatlar |
arasında |
jatatuǵın |
|||||||||
a (x a) noqatta esaplanadı.
2)p 1. Bul jaǵdayda Koshi formasındaǵı qaldıq aǵza dep atalatuǵın
|
|
(x a)n 1 (1 )n |
|
||
R |
(x) |
|
|
f (n 1) [a (x a)] |
(0 1) |
|
|
||||
n 1 |
|
n! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
formulanı alamız. |
|
|
|
||
Lagranj hám Koshi |
formasındaǵı qaldıq aǵzalar p |
||||
ózgeriwshiniń hár qıylı mánislerine sáykes keletuǵınlıǵı, al ózgeriwshi p sanǵa ǵárezli bolǵanlıqtan, ózgeriwshiniń
Lagranj hám Koshi formasındaǵı qaldıq aǵzalar formulalarındaǵı mánisleri, ulıwma aytqanda, hár qıylı. Ayırım funkciyalardı
211
bahalaw ushın Koshi forması Lagranj formasına qaraǵanda abzalıraq boladı. Eki formadaǵı qaldıq aǵzalar, ádette, x ózgeriwshiniń a noqattan ózgeshe birdey mánislerinde f (x)
funkciyanıń mánislerin juwıq esaplaw talap etiletugın jaǵdaylarda qollanıladı.
f (x) funkciyanı (x, a) kópaǵzalı menen juwıq
almastırıw hám bunda jol qoyılǵan qátelikti bahalaw tábiyiy másele. Usınıń menen bir qatarda kórsetilgen qáteliktiń sanlı shaması emes, tek onıń x a sheksiz kishi shamaǵa qarata tártibi qızıqtıratuǵın máseleler de ushırasadı. Bul maqset ushın basqa formadaǵı (Peano formasındaǵı) qaldıq aǵza júdá qolaylı boladı.
Meyli, |
f (x) funkciya |
a |
noqattıń |
bazı bir dógereginde |
||||
(n 1) |
mártebe differenciallanıwshı, |
a noqattıń ózinde shekli |
||||||
n |
tártipli tuwındıǵa |
iye |
bolsın. |
(36) |
formula |
penen |
||
anıqlanǵan |
(x, a) kópaǵzalını |
qaraymız. |
(33) |
Teylor |
||||
formulasınıń Rn 1 (x) f (x) (x, a) qaldıq aǵzası ushın
R |
(x) o [(x a)n ] |
(44) |
n 1 |
|
formula orınlı bolatuǵının dálilleymiz. Ádette, bul formula Peano formasındaǵı qaldıq aǵza dep ataladı.
(x, a) kópaǵzalınıń (43) teńlikler |
menen |
ańlatılatuǵın |
|||||
qásiyetlerinen paydalanıp, |
|
|
|
||||
R |
|
(a) 0, |
R |
(a) 0, |
, R(n) |
(a) 0 |
(45) |
n 1 |
|
n 1 |
|
n 1 |
|
|
|
teńliklerdi |
alamız. |
Endi (45) |
teńliklerden |
(44) formula kelip |
|||
shıǵatuǵının dálillewimiz kerek. Bunı matematikalıq indukciya usılı menen orınlaymız.
Dáslep, |
|
n 1 bolsa |
(45) teńliklerden (44) formula kelip |
|
shıǵatuǵının |
|
kórsetemiz. |
Bul jaǵdayda (45) teńlikler |
|
R (a) 0, |
R |
(a) 0 eki teńlik kórinisinde bolıp, bul teńliklerden |
||
2 |
|
2 |
|
|
212