Matematikaliq analiz

2- Eskertiw. Teoremada

y f ( x),

x (t)

kórinisindegi quramalı funkciyanı

qaradıq, yaǵnıy

x simvolı

ózgertiriw múmkin. Kóbinese

x simvolı

menen sońǵı

ózgeriwshini belgilew, yaǵnıy

y f [ (x)]

kórinisindegi

onıń tuwındısı nol`den ózgeshe bolsın. Onda sáykes y f ( x)

noqattıń bazı bir

dógereginde

berilgen funkciyaǵa keri

x f 1 ( y)

funkciya

bar

bolıp,

bul

keri funkciya sáykes

y f ( x)

noqatta

differenciallanıwshı

hám bul

noqattaǵı

tuwındısı

1

f 1

( y)

f (x)

(10)

formula menen esaplanadı.

Dálillew.

y f ( x)

funkciya

x

noqattıń

bazı bir

keri funkciyanıń úzliksizligi

haqqındaǵı teorema

boyınsha

x f 1 ( y)

keri

funkciya sáykes

y f ( x) noqattıń

bazı bir

dógereginde qatal monoton hám úzliksiz.

Bul keri funkciyanıń argumentine kórsetilgen

y

noqatta

qálegen jetkilikli dárejede kishi nolden ózgeshe

y ósim

beremiz.

Bul

ósimge keri funkciyanıń sáykes

y f ( x)

x

1

(11)

y

y

x

birdeylikti jazıw huqıqın beredi.

Endi, meyli, (11) birdeylikte y ósim nolge umtılsın. Onda

x f 1 ( y) keri funkciyanıń sáykes

y f ( x) noqatta

teńliktiń oń tárepindegi bólshek x 0 da 1

f (x) bólshekke

teń limitke iye bolatuǵının dálillew kerek.

x f 1 ( y),

x f 1 ( y y) f 1 ( y)

bolǵanlıqtan

x x f 1 ( y y),

yaǵnıy

y y f (x x)

hám

y f (x x) y f (x x) f (x).

Bunnan (11) teńliktiń oń tárepin

1

1

y

f (x x) f (x)

x

x

kóriniste jazıw múmkinligi kelip shıǵadı. Bul

teńlikten f (x)

tuwındınıń anıqlaması hám f (x) 0 shártinen

x 0 da (11)

Meyli, M noqat

y f ( x) funkciyanıń grafiginde argumenttiń

berilgen

x mánisine juwap beretuǵın noqat bolsın (5-súwret). Onda

tuwındı

funkciyanıń grafigine M noqatta júrgizilgen

f (x)

al keri funkciyanıń

sáykes

y f ( x)

noqattaǵı

f 1

( y)

tuwındısı col urınbanıń Oy kósheri menen jasaǵan

múyeshiniń

tangensine teń,

hám

múyeshleriniń

qosındısı

ge

teń

2

1

ańlatadı:

bolsa, onda tg

teńlik orınlı.

2

tg

5- súwret

2.6. Birinshi

differencial

formasınıń invariantlıǵı.

Differenciallanıwshı

y f ( x) funkciyanıń x argumenti erikli

ózgeriwshi bolǵan jaǵdayda bul funkciyanıń differencialı

dy f (x) dx

(12)

x argumenti bazı bir erikli t

ózgeriwshiniń x (t) kórinistegi

differenciallanıwshı funkciyası bolsın. Bul jaǵdayda

y f ( x)

funkciyanı

t

ózgeriwshiniń

y f [ (t)] quramalı

funkciyası

sıpatında qaraw múmkin.

Bul

t

ózgeriwshi

erikli

ózgeriwshi

bolǵanlıqtan

kórsetilgen

y f [ (t)] quramalı

funkciya hám

x (t) funkciya ushın differenciallar (12) kóriniste jazıladı:

dx (t)dt .

(13)

dy f [ (t)] dt,

Quramalı funkciyanı differenciallaw qádesi boyınsha

f [ (t)] f (x) (t)dt . (14)

(14)

teńlikten

hám

(13)

teńliklerdiń

birinshisinen

dy f (x) (t)dt , al

ekinshisinen paydalanıp,

dy

f ( x)dx

ekvivalent aytılıwın da beriw

múmkin:

differenciallanıwshı

y f ( x) funkciyanıń tuwındısı

x argument erikli ózgeriwshi

bolǵan jaǵdayda da, bazı bir t

erikli ózgeriwshiniń

differenciallanıwshı x (t) funkciyası bolǵan jaǵdayda da bul

[u(x) v(x)] u (x) v (x),

[u(x) v(x)] u (x) v(x) u(x) v (x),

[

u(x)

]

u (x) v(x) u(x) v (x)

(v(x) 0)

v(x)

v2 (x)

formulalar orınlı.

Dálillew.

Qosındı (ayırma), kóbeyme

hám

bólshek

jaǵdayların daradara qaraymız.

10. Meyli,

y(x) u(x) v(x) .bolsın.

u(x), v(x), y(x)

funkciyalardıń

argumenttiń

x noqattaǵı

x

ósimine

sáykes

ósimlerin, sáykes

túrde,

u, v, y

simvolları

menen

y

u

v

(15)

x

x x .

Endi x 0 da (15) teńlikte limitke ótemiz. u(x) hám

v(x) funkciyaları x noqatta

differenciallanıwshı bolǵanlıqtan

(15) teńliktiń oń tárepiniń u (x) v (x)

qosındıǵa (ayırmaǵa) teń

limiti bar. Demek, bul teńliktiń shep

tárepiniń

de limiti bar.

tuwındıǵa teń

Tuwındınıń anıqlaması boyınsha bul limit y (x)

hám biz talap etilip atırǵan

y ( x) u ( x) v ( x) teńlikke

kelemiz.

y u(x x) v v(x) u .

x

x

x

(16)

Endi x 0 da (15)

teńlikte limitke ótemiz. u(x) hám

v(x) funkciyaları

x noqatta differenciallanıwshı bolǵanlıqtan

(16) teńliktiń oń tárepindegi

u hám

v

bólsheklerdiń, sáykes

x

x

túrde, u ( x) hám

v ( x)

tuwındılarǵa

teń limitleri bar u(x)

úzliksiz, sonlıqtan lim u(x x) u(x).

x 0

Demek, (16) teńliktiń shep tárepiniń de limiti bar. Tuwındınıń

anıqlaması boyınsha bul limit

y ( x) tuwındıǵa teń hám biz talap

etilip atırǵan y (x) u (x) v(x) u(x) v (x)

teńlikti alamız.

30. Meyli, y(x)

u(x)

bolsın. Onda v(x)

funkciya

x noqatta

v(x)

differenciallanıwshı hám

v(x) 0 bolǵanlıqtan

úzliksiz

jetkilikli dárejede kishi x

ushın v(x x) 0 hám

y y(x x) y(x)

u(x x)

u(x)

u(x x) v(x) v(x x) u(x)

v(x x)

v(x)

v(x x) v(x)

[u(x x) v(x) u(x) v(x)] [v(x x) u(x) u(x) v(x)]

v(x x) v(x)

v(x) [u(x x) u(x)] u(x) [v(x x) v(x)]

v(x) u u(x) v

.

v(x x) v(x)

v(x x) v(x)

u

v

lim

u (x),

lim

v(x),

lim v(x x) v(x).

x

x

x 0

x 0

x 0

atırǵan y (x)

v(x) u (x) u(x) v (x)

teńlikke iye bolamız. ▲

v2 (x)

1- Saldar. Eger Eger u(x) hám v(x) funkciyaları x noqatta

differenciallanıwshı bolsa, onda bul

funkciyalardıń qosındısı,

d (u v) du dv,

d (u v) v du u dv,

d (

u

)

n du u dv

v

v2

teńlikler orınlı.

2- Saldar.

Eger

f (x)

funkciya x noqatta differencia-

llanıwshı bolsa, onda c turaqlı

san ushın

c f (x) funkciya

x

noqatta differenciallanıwshı hám (c f (x)) c

f (x)

teńlik orınlı.

3- Saldar. Eger

f1 ( x), f 2 ( x), , f n ( x)

funkciyalar

x

noqatta differenciallanıwshı

bolsa,

onda

c1, c2 , , cn turaqlı

sanlar ushın c

f (x) c

2

f

2

(x) c

n

f

n

(x)

funkciya da

x

1

1

noqatta

differenciallanıwshı

hám

y

y(x x) y(x)

(x x)

x

x

x

x

(1 x ) 1

x 1

x

.

x

x

Bul

teńlikte x 0

da

limitke ótip,

(x ) x 1

teńlikke iye bolamız.

20. Kórsetkishli funkciyanıń tuwındısı. Meyli,

y a x

bolsın,

bul jerde a 0,

a 1,

x R. Onda

y

y(x x) y(x)

a x x a x

a

x a x 1

.

x

x

x

x

Bul teńlikte

x 0 da limitke ótip, (a x ) a x ln a teńlikti

alamız.

Dara jaǵdayda, (e x ) e x .

30.

Logarifmlik

funkciyanıń

tuwındısı.

Meyli,

y log

a

x

(a 0,

a 1,

x 0)

bolsın. Onda

y

y(x x) y(x)

log a (x x) log a x

x

x

x

1

(1 x )

1

x

(1 x )

1

[(1 x )

x

log

log

log

].

a

a

a

x

x

x

x

x

x

x

x

Bul

teńlikte

x 0

da

limitke

ótip,

(loga x)

1

loga e

1

teńlikke iye bolamız.

x

x ln a

Dara jaǵdayda, (ln x)

1

.

x

40. Trigonometriyalıq funkciyalardıń tuwındıları. a) Meyli,

y sin x

( x R)

bolsın. Onda

y

y(x x) y(x)

sin(x x) sin x

x

x

x

x

x

x

2cos(x 2 ) sin

2

cos(x

x )

sin 2

.

x

2

x

2

Bul teńlikte x 0

da limitke ótip, (sin x) cos x

teńlikke

iye bolamız.

b) Meyli, y cos x

(x R) bolsın. Onda

y

y(x x) y(x)

cos( x x) cos x

x

x

x

2sin( x

x

x

x

2

) sin 2

sin( x x )

sin 2

.

x

2

x

2

Bul

teńlikte x 0

da

limitke ótip,

(cos x) sin x

teńlikti alamız.

c)

Meyli,

bolsın.

y tgx

(x 2

k ,

k Z )

Differenciallanıwshı

funkciyalardıń

qatnasın

differenciallaw

qádesi boyınsha

(tgx) (

sin x

)

(sin x) cos x sin x (cos x)

cos x

cos2 x

cos2 x sin

2 x

1

.

cos2 x

cos2

x

d)

Meyli,

y ctgx

(x k ,

k Z )

bolsın.

Differenciallanıwshı

funkciyalardıń

qatnasın

differenciallaw

qádesi boyınsha

(tgx) (

cos x

)

(cos x) sin x cos x (sin x)

sin x

sin2 x

sin2 x cos2 x

1

.

sin2 x

sin2

x

50. Keri trigonometriyalıq

funkciyalardıń

tuwındıları. a)

( 1,1)

intervalda anıqlanǵan

y arcsin x

funkciya

(

, )

2

2

intervalda anıqlanǵan

x sin y funkciyaǵa keri funkciya boladı.

x sin y funkciya ushın

y ( ,

) noqattıń dógereginde

2

2

1

1

1

(18)

(arcsin x)

(sin y)

cos y

1 sin2 y

formula

orınlı

( y (

,

) noqatta cos y 0 bolǵanlıqtan

2

2

túbir aldında «+» belgi aldıq).

sin y x

bolǵanlıqtan

(18)

teńlikten

(arcsin x)

1

x2

1

formulanı alamız.

b) ( 1,1) intervalda anıqlanǵan

y arcsin x funkciya

(0, )

intervalda anıqlanǵan

x cos y

funkciyaǵa keri

funkciya

boladı.

x cos y

funkciya

ushın y (0, )

noqattıń

y arccos x

funkciya

x cos y

noqatta

differenciallanıwshı hám onıń tuwındısı ushın

(arccos x)

1

1

1

(19)

(cos y)

sin y

1 cos2 y

formula

orınlı

( y (0, )

noqatta sin y 0

bolǵanlıqtan

túbir

aldında «-» belgi aldıq).

cos y x bolǵanlıqtan (19)

teńlikten

(arccos x)

1

1 x2

formulaǵa iye bolamız.

c)

Pútkil

sanlar

kósherinde

anıqlanǵan

y arctgx

funkciya ( ,

)

intervalda anıqlanǵan x tgy

funkciyaǵa

2

2

,

)

keri funkciya

boladı.

x tgy

funkciya

ushın

y (

2

2