Matematikaliq analiz
.pdfshıǵadı. ax1 a , a a |
hám |
a ax2 |
teńsizliklerden a x1 a x2 |
teńsizlikti alamız. Bul |
y a x |
kórsetkishli funkciya a 1 bolsa |
|
pútkil sanlar kósherinde qatal ósiwshi funkciya ekenin bildiredi.
▲
4-teorema. y a x |
(a 1) kórsetkishli funkciya sanlar |
kósheriniń hár bir noqatında úzliksiz. |
|
Dálillew. Meyli, x qálegen haqıyqıy san, al xn x |
|
sanǵa jıynaqlı qálegen izbe-izlik bolsın. Funkciyanıń úzliksizliginiń Geyne anıqlaması boyınsha sáykes a xn izbe-izlik
a x sanǵa |
jıynaqlı bolatuǵının, yaǵnıy |
0 |
ushın |
||||
N N ( ) |
nomer |
tabılıp, n N |
nomerler |
ushın |
|||
|
a xn a x |
|
|
teńsizlik |
orınlı bolatuǵının, |
kórsetiw jetkilikli. |
|
|
|
||||||
0 hám bul sanǵa sáykes x hám a |
a |
|
|||||
bolatuǵın hám racional sanlardı saylap alamız. xn |
x |
||||||
sanǵa |
jıynaqlı |
izbe-izlik hám x |
bolǵanlıqtan N |
||||
nomer |
tabılıp, |
n N nomerler ushın x |
n |
|
teńsizlikler |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
orınlı boladı. Kórsetkishli funkciya monoton ósiwshi bolǵanlıqtan
a a x |
a hám n N |
nomerler ushın a |
a xn a |
||||||||||
teńsizlikler orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Solay |
etip, |
a x |
hám |
a xn |
sanlar |
n N |
nomerler |
ushın |
|||||
ayırması |
sannan kishi a |
hám |
a sanlar arasında jaylasqan. |
||||||||||
Bunnan |
n N |
nomerler |
ushın |
|
a xn |
a x |
|
teńsizlik |
orınlı |
||||
bolatuǵını |
kelip |
shıǵadı. Bul |
y a x |
kórsetkishli funkciya x |
|||||||||
noqatta úzliksiz ekenin bildiredi.▲ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1- |
Saldar. |
y a x |
(a 1) |
kórsetkishli funkciya |
sanlar |
||||||||
kósheride oń anıqlanǵan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2- Saldar. y a x |
(a 1) |
kórsetkishli funkciya ushın |
|
||||||||||
143
|
|
lim a x 0, |
lim a x |
|
|
||||
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
teńlikler orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3- Saldar. |
y a x |
(a 1) |
kórsetkishli funkciyanıń mánisleri |
||||||
y 0 oń yarım kósherdi tolıq toltıradı. |
|
|
|
||||||
4- Saldar. x , x |
2 |
R sanlar ushın |
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(a x1 )x2 a x1x2 , |
a x b x (ab)x |
(x R), |
a x1 a x2 a x1 x2 . |
||||||
teńlikler orınlı boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
||
1- súwrette |
y a x |
|
kórsetkishli funkciyanıń |
grafigi |
a 1 |
||||
(1- a súwret) |
hám 0 a 1 |
(1- |
b súwret) |
jaǵlaylar |
ushın |
||||
súwretlengen. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eskertiw. Kórsetkishli funkciyanı málim shártlerdi qanaatlandırıwshı bazı bir funkcionallıq teńlemeniń sheshimi sıpatında anıqlaw múmkin. Pútkil sanlar kósherinde anıqlanǵan
hám tómendegi úsh shártti qanaatlandırıwshı |
f (x) |
funkciya bar |
||||||||
hám ol jalǵız birew ekenin dálillew múmkin: |
|
|
|
|
|
|||||
10. x , x |
2 |
R sanlar ushın f (x |
x |
2 |
) f (x ) f (x |
2 |
). |
|||
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|||
20. |
f (0) 1, |
f (1) a. |
|
|
|
|
|
|
||
30. |
f (x) |
funkciya x 0 noqatta úzliksiz. |
|
|
|
|||||
Bul funkciya biz joqarıda qurǵan kórsetkishli funkciya boladı.
a) |
b) |
1- súwret
3.2. Logarifmlik funkciya. Logarifmlik funkciyanı kórsetkishli funkciyaǵa keri funkciya sıpatında anıqlaymız.
144
Meyli, [c, d ] sanlar kósheriniń qálegen kesindisi bolsın. Bul
kesindide y a x |
(a 1) kórsetkishli funkciya ósiwshi hám |
úzliksiz. Sonıń ushın keri funkciyanıń úzliksizligi haqqındaǵı
teorema |
boyınsha |
y f (x) a x funkciya |
[ac , ad ] |
kesindide |
||||||
ósiwshi |
hám úzliksiz |
x f 1 ( y) |
keri |
funkciyaǵa |
iye, |
bul |
||||
funkciya |
lografimlik |
funkciya |
dep |
ataladı |
hám |
|||||
x f 1 ( y) log |
a |
y |
dep |
belgilenedi. Bul |
jerde |
argument |
hám |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
funkciyanıń belgileniwleriniń orınların almastırıp, bul funkciyanı bizge úyrenshikli y log a x kóriniste jazamız.
0 a 1 jaǵday usıǵan uqsas qaraladı. Logarifmlik funkciyanıń qásiyetleri:
1)Logarifmlik funkciya argumenttiń oń mánislerinde anıqlanǵan.
Haqıyqatında da, logarifmlik funkciyanıń argumenti
kórsetkishli funkciyanıń mánisleri bolıp, tek oń mánisler boladı hám x 0 yarım kósherdi tolıq toltıradı.
2)Logarifmlik funkciya x 0 yarım kósherde a 1 bolsa
úzliksiz hám ósiwshi, al 0 a 1 bolsa úzliksiz hám kemiwshi bolıp,
a 1: lim |
log a x , |
lim |
log a x , |
x 0 0 |
x |
||
0 a 1: |
lim log a x , |
lim log a x |
|
x 0 0 |
|
x |
|
teńlikler orınlı.
3) |
x1 , x2 |
oń sanlar ushın loga (x1 x2 ) loga x1 |
loga x2 |
||
teńlik orınlı. |
|
|
|
|
|
Eskertiw. y log |
e |
x : ln x funkciya natural |
logarifm |
||
|
|
|
|
|
|
dep ataladı. |
|
|
|
|
|
2- |
súwrette |
y log a x logarifmlik funkciyanıń grafigi |
|||
a 1 |
(2- a súwret) hám |
|
0 a 1 (2- b súwret) jaǵlaylar ushın |
||
súwretlengen.
145
a) |
|
|
b) |
|
|
|
2- súwret |
|
|
3.3. Dárejeli funkciya. R kórsetkishli dárejeli |
||||
funkciyanı |
logarifmlik |
hám |
kórsetkishli |
funkciyanıń |
superpoziciyası (quramalı funkciyası) sıpatında anıqlaymız. Meyli, x 0 bolsın. Onda ulıwma dárejeli funkciya
y x (aloga x ) a loga x
kóriniste anıqlanadı, bul jerde a qálegen san, anıqlıq ushın a 1 dep alamız.
Usı anıqlama boyınsha hám a 1 bolsa logarifmlik funkciya
x 0 |
yarım kósherde, al kórsetkishli funkciya pútkil sanlar |
|||||||||
kósherinde ósetuǵınlıǵınan |
y x |
dárejeli funkciya |
x 0 |
|||||||
yarım |
kósherde |
0 |
bolsa ósetuǵını, |
al |
0 |
bolsa |
||||
kemeyetuǵını kelip shıǵadı. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dárejeli funkciyanıń qásiyetleri: |
|
|
|
|
|
|||||
1) |
Eger |
0 bolsa, |
lim |
x 0, |
al |
0 |
bolsa, |
|||
|
|
|
|
|
x 0 0 |
|
|
|
|
|
lim |
x teńlik orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|||
x 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Dárejeli |
funkciya |
x 0 |
yarım |
kósherdiń hár |
bir |
||||
noqatında úzliksiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Eskertiw. |
Eger dárejeli |
funkciyanıń kórsetkishi bólimi |
taq |
|||||||
san bolǵan mn racional bólshek bolsa, onda dárejeli funkciyanı x 0 mánisler ushın
146
|
|
x |
|
|
|
, |
n 2k, |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||
y x |
|
|
|
|
|
|
|
(k 1, 2, ) |
|
|
, |
|
|||||||
|
x |
n 2k 1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dep alıp, pútkil sanlar kósherinde anıqlaw múmkin.
a) |
b) |
c) |
d) |
|
3- súwret |
3- súwrette y x |
dárejeli funkciyanıń dáreje |
kórsetkishiniń hár qıylı mánisleri ushın grafikleri súwretlengen.
3.4. Trigonometriyalıq funkciyalar. Biz joqarıda
hám |
y cos x funkciyalardı kórgizbeli |
geometriyalıq |
pikirlewler járdeminde anıqlaǵanda bazı |
bir logikalıq |
|
kemshiliklerdiń payda bolatuǵını haqqında aytıp óttik. Bul funkciyalardı logikalıq kemshiliklersiz bazı bir funkcionallıq teńlemeler sistemasınıń sheshimi sıpatında anıqlaw múmkin.
147
Tómendegi tastıyıqlaw orınlı: mánislerinde anıqlanǵan qanaatlandırıwshı f (x) hám
bul juplıq jalǵız birew:
x argumenttiń hámme haqıyqıy hám tómendegi shártlerdi g (x) funkciyalar juplıǵı bar hám
1) |
f (x1 x2 ) f (x1 ) g(x2 ) g(x1 ) f (x2 ), |
|
||||||||||||
g(x x |
2 |
) g(x ) g(x |
2 |
) f (x ) f (x |
2 |
), |
|
|||||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
||||
|
f 2 (x) g 2 (x) 1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2) |
f (0) 0, |
|
g(0) 1, |
f ( ) 1, |
g( ) 0; |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
3) |
argumenttiń |
|
|
|
|
|
teńsizlikti |
qanaatlandırıwshı |
||||||
0 |
x 2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
mánislerinde 0 f (x) x |
|
f (x) |
teńsizlikler orınlı boladı. |
|||||||||||
|
g(x) |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Kórsetilgen |
1)-3) shártlerden |
y sin x |
hám y cos x |
|||||||||||
funkciyalardıń bizge málim basqa qásiyetlerin de keltirip shıǵarıw múmkin. Bul 1)- 3) shártler jalǵız bir f (x) hám g(x)
funkciyalar juplıǵın anıqlaytuǵınlıǵınan hám kórgizbeli geometriyalıq pikirlewler járdeminde kiritilgen hám
g ( x) cos x funkciyalar bul úsh qásiyetke iye bolatuǵınlıǵınan
kelip shıǵadı. |
|
Mısal sıpatında 1)- 3) shártler járdeminde f (x) sin x hám |
|
g ( x) cos x |
funkciyalardıń úzliksizligin dálillew hám olardıń |
monotonlıq aralıqların anıqlaw ushın kerek |
bolatuǵın bir neshe |
||||||||||
qásiyetlerin keltiremiz. |
|
|
|
|
|
|
|||||
a) |
1) |
shárttiń |
|
sin 2 x cos2 x 1 |
teńliginen |
||||||
sin 2 x 1, |
cos 2 x 1, yaǵnıy |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
sin x |
|
1, |
|
cos x |
|
1 (4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńsizlikler kelip shıǵadı.
b) 1) hám 2) shártlerdiń dáslepki eki teńliklerinen
148
cos( x) cos x, |
|
sin( x) sin x (5) |
|||||||||||||||
teńliklerdi alamız, yaǵnıy |
|
f (x) sin x |
taq |
|
funkciyanı, al |
||||||||||||
g ( x) cos x jup funkciyanı anıqlaydı. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
c) 1) shártten |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
sin(x1 x2 ) sin x1 cos x2 |
cos x1 sin x2 |
, |
(6) |
||||||||||||||
cos(x1 x2 ) cos x1 cos x2 |
sin x1 sin x2 |
||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
teńlikler kelip shıǵadı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
d) 1) shártten hám alınǵan (6) teńliklerdiń birinshisinen |
|||||||||||||||||
sin x |
|
sin x |
2sin |
x1 |
x2 |
|
cos |
x1 |
x2 |
, |
|
(7) |
|||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
sin x |
|
sin x |
2 cos |
x1 |
x2 |
sin |
x1 |
x2 |
|
|
|
||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
teńlikler kelip shıǵadı.
e) (6) teńliklerdiń birinshisinen hám 2) shárttiń sońǵı eki teńliginen
|
|
(8) |
|
sin( |
2 x) cos x |
||
|
teńlik kelip shıǵadı.
f) 1) shárttiń dáslepki eki teńliginen x1 x2 x bolǵan jaǵdayda
sin 2x 2sin x cos x, |
cos2x cos2 x sin2 x |
|
(9) |
||||
teńlikler |
kelip |
shıǵadı. |
Sonıń |
menen |
birge |
||
sin(x 2 ) sin x, |
cos(x 2 ) cos x |
teńlikler |
de |
orınlı |
|||
boladı, yaǵnıy y sin x |
hám y cos x funkciyalar |
2 |
periodlı |
||||
funkciyalar. |
|
|
|
|
|
|
|
g) x R ushın |
|
|
|
|
|
|
|
149
|
sin x |
|
|
|
x |
|
(10) |
|
|
|
|
teńsizlik orınlı.
y sin x hám y cos x funkciyalardıń qásiyetleri:
10. sin x hám |
cos x funkciyalar sanlar kósheriniń hár |
||||||||
bir noqatında úzliksiz. |
|
|
|
|
|
|
|
||
Dálillew. |
Tek |
f (x) sin x |
funkciyanıń |
x |
noqatta |
||||
úzliksizligin |
|
dálillew |
jetkilikli, |
sebebi |
g ( x) cos x |
||||
funkciyanıń |
x noqatta |
úzliksizligi (8) |
teńlik |
hám |
quramalı |
||||
funkciyanıń úzliksizligi haqqındaǵı teoremadan kelip shıǵadı. |
|||||||||
Dáslep |
sin x |
funkciyanıń |
x 0 |
noqatta |
úzliksizligin |
||||
dálilleymiz. |
2) |
shárttiń |
birinshi teńligi |
boyınsha |
sin 0 0 |
||||
bolǵanlıqtan funkciyanıń úzliksizliginiń Geyne anıqlaması boyınsha xn sheksiz kishi izbe-izlik ushın sáykes sin xn izbe-izlik te sheksiz kishi izbe-izlik bolatuǵının dálillew jetkilikli.
(10) teńsizlikten |
hám |
|
sin x |
|
0 |
shártten |
0 |
|
sin x |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
kelip shıǵadı. Demek, |
0 |
|
sin xn |
|
|
|
xn |
|
. Bul |
teńsizlikler |
|
izbe- |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
izlikler ushın eki jaqlap shegaralaw principi boyınsha |
|
sin xn |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
izbe-izlik, demek, sin xn |
|
izbe-izlik |
|
sheksiz |
kishi |
izbe-izlik |
|||||||||||||||||||||
ekenin bildiredi. sin x funkciyanıń x 0 noqatta úzliksizligi dálillendi.
Endi sin x funkciya sanlar kósheriniń |
x |
noqatında |
|||||
úzliksizligin dálilleymiz. Meyli, xn |
x noqatqa jıynaqlı |
||||||
qálegen izbe-izlik bolsın. Sáykes |
|
sin xn |
izbe-izlik sin x |
||||
noqatqa jıynaqlı bolatuǵının dálillew jetkilikli. |
|
|
|
||||
(6) teńliklerdiń ekinshisinde |
x2 xn , |
x1 |
x dep |
||||
alsaq, |
|
|
|
|
|
|
|
sin xn sin x 2cos |
xn x |
sin |
xn x |
|
(11) |
|
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
|
|
|
|||
150
teńlikke iye bolamız. Bul teńliktiń oń tárepinde sheksiz kishi izbe-
izlik elementi turǵanın kórsetiw |
|
jetkilikli, |
al |
bul |
|
sin x |
|||||||||||
funkciyanıń |
|
x 0 |
noqatta |
úzliksizligi boyınsha |
|
|
xn x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
izbe-izlik sheksiz kishi izbe-izlik |
ekeninen |
hám |
(4) |
teńsizlik |
|||||||||||||
boyınsha |
|
|
xn x |
izbe-izlik |
shegaralanǵan |
izbe-izlik |
|||||||||||
2cos |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ekeninen kelip shıǵadı. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
20. sin x funkciya [ |
|
2k , |
2k ] kesindilerdiń hár |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
birewinde |
|
ósedi |
|
hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
[ 2 |
(2k 1) , 2 (2k 1) ] |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
kesindilerdiń |
hár |
birewinde kemeyedi; |
cos x |
funkciya |
|||||||||||||
[2k , 2k ] kesindilerdiń |
hár |
|
birewinde |
kemeyedi |
hám |
||||||||||||
[ 2k , |
2k ] |
kesindilerdiń hár birewinde ósedi (bul jerde |
|||||||||||||||
k 0, 1, 2, ). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Dálillew. |
Dálillewdi |
|
sin x |
funkciyası |
ushın |
júrgiziw |
|||||||||||
jetkilikli, sebebi bul funkciyanıń monotonlıq aralıqların tapqannan
soń |
cos x |
funkciyanıń monotonlıq aralıqları (8) teńlikten |
|||||||||||||||
paydalanıp tabılıwı múmkin. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
sin x funkciyası |
2 |
periodlı funkciya bolǵanlıqtan onıń |
|||||||||||||
bir |
periodı |
shegarasındaǵı, |
yaǵnıy, |
mısalı, |
|
|
|
|
|||||||||
[ 2 , |
2 2 ] |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
kesindidegi, monotonlıq aralıqların tabıw jetkilikli. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
Dáslep |
sin x |
funkciyası |
[0, |
] |
kesindide ósetuǵınlıǵın |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
dálilleymiz. |
Meyli, |
|
x1 |
hám |
x2 |
x2 x1 |
|
|
teńsizlikti |
||||||||
qanaatlandırıwshı usı kesindi noqatları bolsın. Onda |
|
x1 x2 |
hám |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
x2 x1 |
noqatlar (0, |
) |
intervalǵa |
derek |
bolıp, (7) |
|
teńliklerdiń |
|||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ekinshisi boyınsha
151
sin x2 |
sin x1 |
2cos |
x1 x2 |
sin |
x2 |
x1 |
. |
(12) |
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
bul teńliktiń oń tárepindegi ańlatpa oń anıqlanǵanın dálillew, al bunıń ushın x (0, 2 ) noqatta sin x hám cos x funkciyaları
oń mánislerdi qabıl qılatuǵınlıǵına isenim arttırıw, jetkilikli.
sin x funkciyası ushın bul 3) qásiyetinen, al |
cos x funkciyası |
||||||||||||||||||||
ushın (8) teńlikten kelip shıǵadı. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
Solay |
etip, |
sin x funkciyası [0, ] |
kesindide |
ósetuǵınlıǵı |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dálillendi. |
sin x |
|
funkciyasınıń |
taqlıǵınan |
bul |
funkciyanıń |
|||||||||||||||
[ |
, 0] kesindide |
ósetuǵınlıǵı |
kelip shıǵadı. Nátiyjede |
sin x |
|||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
funkciyası |
|
|
|
|
|
kesindide |
ósetuǵınlıǵı |
dálillendi, |
Bul |
||||||||||||
[ 2 |
, 2 ] |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
funkciyanıń [ , ] |
kesindidegi xarakterin anıqlaw qaladı. Biz |
||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
e) punktte |
sin 0 hám |
cos 1 bolatuǵının kórdik, al |
|||||||||||||||||||
bul |
teńliklerden |
|
|
hám |
1) |
|
|
shártti |
birinshi |
|
teńliginen |
||||||||||
sin( x ) sin x |
|
bolatuǵını |
kelip shıǵadı. Bul |
teńlik sin x |
|||||||||||||||||
funkciyası |
|
|
|
|
|
kesindide |
|
ósetuǵınlıǵınan |
bul |
funkciya |
|||||||||||
[ 2 |
, 2 ] |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
kesindide |
kemeyedi |
degen |
juwmaq |
shıǵarıwǵa |
|||||||||||||||
[ 2 , 2 ] |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
múmkinshilik beredi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
sin x |
hám |
cos x funkciyalarınıń |
monotonlıq |
aralıqların |
||||||||||||||||
izertlew usı menen tamamlanadı. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
tgx |
sin x |
hám |
ctgx |
|
cos x |
formulalardan |
hám úzliksiz |
|||||||||||||
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
funkciyalar ústinde ámeller haqqındaǵı teorema boyınsha |
tgx |
||||||||||||||||||||
152