Matematikaliq analiz
.pdfshepten |
úzliksiz, |
sebebi |
lim |
f (x) lim x cos |
1 |
0 f (0). Biraq |
||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 0 |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
bul funkciya |
x 0 noqatta oń limitke iye emes, sebebi |
y sin |
1 |
|
||||||||||||||
x |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
funkciya |
|
x 0 noqatta limitke iye emes. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
№ |
|
2. |
f ( x) tgx |
funkciya |
xn |
|
n |
(n Z ) |
||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
noqatlardıń |
hár |
birewinde ekinshi túr |
úzitliske iye, sebebi |
|||||||||||||||
lim tgx , |
|
lim |
tgx . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x xn 0 |
|
|
|
|
x xn 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
№ 3. |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
funkciya |
x 0 noqatta ekinshi |
||||||||
f (x) |
sin |
|
, |
x |
0, |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1, |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
túr úziliske iye, sebebi funkciya bul noqatta shep limitke de, oń limitke de iye emes.
№ 4. D(x) – Dirixle funkciyası noqatta ekinshi túr
úziliske iye, sebebi funkciya bul noqatlardıń hesh birewinde shep limitke de, oń limitke de iye emes.
Solay etip, óz anıqlanıw oblastınıń limit noqatında funkciya ushın tómendegi jaǵdaylardıń birewi orınlı:
1)úzliksiz;
2)saplastırılatuǵın úziliske iye;
3)birinshi túr úziliske iye;
4)ekinshi túr úziliske iye.
Matematikada hám onıń qollanıwlarında jiyi ushırasatuǵın bólek úzliksiz funkciya túsinigin kiritemiz.
[a, b] kesindide anıqlanǵan, bul kesindiniń birinshi túr úziliske
iye bolǵan shekli sandaǵı noqatlarınan basqa hámme ishki noqatlarında úzliksiz, a noqatta ońnan, al b noqatta shepten
úzliksiz bolǵan funkciya [a, b] kesindide bólek úzliksiz funkciya dep ataladı.
Eger funkciya intervalǵa (tuwrı sızıqqa) derek hár bir kesindide bólek úzliksiz bolsa, onda bunday funkciya intervalda
(tuwrı sızıqta) bólek úzliksiz dep ataladı.
123
Mısalı, f (x) [x] funkciya pútkil sanlar kósherinde hám
sanlar kósherine derek hár bir kesindide bólek úzliksiz.
1.5. Monoton funkciyanıń úzliksizligi hám úzilis noqatları.
Meyli, |
f ( x) |
funkciya x R kóplikte anıqlanǵan bolsın. |
4-teorema (monoton funkciyanıń úzliksizligi haqqındaǵı). |
||
Eger |
f ( x) |
funkciya x R kóplikte monoton funkciya bolsa, |
onda ol bul kópliktiń qálegen noqatında yaki úzliksiz boladi, yaki tek I túr úziliske iye boladı.
Dálillew. Meyli, f ( x) |
funkciya x R kóplikte ósiwshi |
|||||||
(qatal |
ósiwshi) |
funkciya |
bolsin. |
x |
kóplikten |
|||
(a , |
a ) X |
bolatuǵınday |
a x noqat tańlap |
|||||
alamız. |
Shárt |
boyınsha |
x (a , a) |
noqatta |
||||
f ( x) f (a) , |
al |
|
x (a, a ) |
noqatta |
||||
f ( x) f (a) |
teńsizlik orınlı. |
Demek, |
f ( x) |
funkciya |
||||
(a , a) intervalda |
joqarıdan, |
al |
(a, a ) |
intervalda |
||||
tómennen shegaralanǵan. Monoton funkciyanıń limiti haqqındaǵı teorema boyınsha
|
lim |
f (x) f (a 0) |
f (a), |
|
|
|
||||
|
x |
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
f (x) f (a 0) |
f (a) |
|
|
|
||||
|
x |
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
boladı. Eger |
f (a 0) |
f (a) f (a 0) |
|
bolsa, |
||||||
f ( x) |
funkciya |
a x |
|
noqatta |
úzliksiz, al |
eger |
||||
f (a 0) f (a 0) |
bolsa, I |
túr úziliske iye. Eger |
a |
noqat |
||||||
x kópliktiń shetki noqatı bolsa, onda funkciya bul noqatta bir |
||||||||||
tárepli limitke iye |
ekenin kórsetiw jetkilikli. |
f ( x) |
funkciya |
|||||||
x R |
kóplikte kemiwshi |
(qatal kemiwshi) |
funkciya |
bolǵan |
||||||
jaǵdayda da dálillew usınday júrgiziledi. ▲ |
|
|
|
|||||||
5-teorema. Eger f ( x) |
funkciya |
x R |
kóplikte |
|||||||
monoton funkciya bolıp, onıń y f (x) : |
x x mánisler kópligi |
|||||||||
bazı bir |
tutas aralıq bolsa, |
onda bul |
funkciya x |
kóplikte |
||||||
úzliksiz.
124
Dálillew. Anıqlıq ushın, meyli, f ( x) funkciya x
kóplikte ósiwshi bolsın. Teoremanıń shártlerin qanaatlandırıwshı f ( x) funkciya x kópliktiń bazı bir a noqatında úziliske iye
bolsın. Onda bul funkciya 4- teorema boyınsha a noqatta birinshi
túr úziliske iye boladı, yaǵnıy |
f (a 0) f (a 0) boladı (eger |
||||||
a noqat x kópliktiń shetki noqatı bolsa, yaki f (a 0) f (a) ), |
|||||||
yaki |
f (a) f (a 0) |
teńsizlik orınlanadı). Nátiyjede |
x a |
||||
bolsa, |
f (x) f (a 0) , |
al x a bolsa, |
f (x) f (a 0) |
bolıp, |
|||
f ( x) |
funkciya |
( f (a 0), |
f (a 0)) |
intervaldaǵı |
f (a) |
||
mánisten basqa |
mánislerdi |
hesh bir x x noqatta |
qabıl |
||||
qılmaydı. Bul funkciyanıń y f (x) : x x mánisler kópligi bazı bir tutas aralıq ekenligine qarama-qarsı. Demek, f ( x) funkciya a noqatta birinshi túr úziliske iye bola almaydı. ▲
1.6. Funkciyanıń limitin esaplaǵanda úzliksizliginen
paydalanıw. |
y f ( x) funkciya x R kóplikte anıqlanǵan, |
||||||||||
a noqat |
bul |
kópliktiń |
limit noqatı bolsın. z ( y) |
funkciya |
|||||||
y f ( x) |
funkciyanıń |
mánisler |
kópligi |
|
bolǵan |
||||||
y f (x) : |
x x |
kóplikte |
anıqlanǵan |
bolsın. |
Onda bul |
||||||
funkciyalardan x kóplikte anıqlanǵan |
z ( f (x)) |
quramalı |
|||||||||
funkciya dúziw múmkin. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Eger |
|
lim f (x) y0 |
bolıp, |
z ( y) |
|
funkciya |
y0 |
noqatta |
|||
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
úzliksiz |
bolsa, onda |
lim ( f (x)) ( y |
0 |
) |
teńlik orınlı boladı. |
||||||
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Haqıyqatında da, lim f (x) y0
x a
quramalı funkciyanıń limiti
lim ( f (x)) lim ( y) ( y0 ). |
|
x a |
y y0 |
hám lim ( y) ( y |
0 |
) , sonlıqtan |
y y0 |
|
|
|
|
haqqındaǵı teorema boyınsha
Bul teńliklerden úzliksiz funkciyalar ushın funkciya belgisi astında limitke ótiw formulası kelip shıǵadı:
125
lim ( f (x)) (lim f (x)). Dara jaǵdayda, eger |
f (x) x |
|
x a |
x a |
|
funkciya a R noqatta úzliksiz hám lim (x) (lim x) |
|
x a |
x a |
bolsa, bul
(a).
Logarifmlik, kórsetkishli hám dárejeli funkciyalardıń úliksizliginen paydalanıp tómendegi mısallardı sheshemiz.
|
Mısallar. № 1. |
lim |
loga (1 x) |
loga e |
(a 0, |
a 1) |
teńlikti |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dálilleymiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Haqıyqatında |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
da, |
|||||||||||||||
lim |
loga (1 x) |
|
lim loga (1 x)1 x loga e. |
|
Bul |
|
jerde |
biz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim(1 x)1 x e ájayıp limitten paydalandıq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Dara jaǵdayda, lim |
ln(1 x) |
1 teńlik orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
№ 2. |
lim |
a x |
1 |
ln a |
|
|
(a 0, |
a 1) |
teńlikti |
dálilleymiz. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Bunıń |
ushın a x |
1 : t |
|
dep |
belgilesek, |
x log |
a |
(1 t) |
hám |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
|
da |
|
|
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
ekenin |
|
|
esapqa |
|
alıp, |
||||||||||||||||||||||||||
lim |
a x |
1 |
lim |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
ln a teńlikke iye bolamız. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
(1 t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
x |
t 0 log |
a |
|
|
log |
a |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Dara jaǵdayda, lim |
e x |
1 |
|
1 teńlik orınlı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
№ 3. |
lim |
(1 x) 1 |
|
teńlikti dálilleymiz. Bunıń ushın |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 x) 1 ;t |
dep belgilesek, |
ln(1 t) |
|
hám x 0 da |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1 x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t 0 ekenin esapqa alıp, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
lim |
(1 x) 1 |
lim |
|
|
t |
lim |
|
|
t |
|
|
|
ln(1 t) ln(1 x) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
x 0 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 0 x |
|
|
|
x 0 ln(1 t) ln(1 x) |
|
x |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
teńlikke iye bolamız.
126
2-§. Úzliksiz funkciyalardıń lokal hám global qásiyetleri
Funkciyanıń anıqlanıw oblastınıń bazı bir noqatınıń jeterli dárejede kishi dógereginde orınlı bolatuǵın qásiyetleri funkciyanıń lokal qásiyetlerine kiredi. Bul qásiyetler argumenttiń izertlenip atırǵan noqatqa umtılǵandaǵı xarakterin anıqlaydı. Mısalı, funkciyanıń óz anıqlanıw oblastınıń bazı bir noqatındaǵı úzliksizligi bul funkciyanıń lokal qásiyeti boladı.
Funkciyanıń pútkil anıqlanıw oblastı menen baylanıslı bolǵan qásiyetleri onıń global qásiyetleri boladı. Mısalı, funkciyanıń kesindidegi monotonlıǵı onıń global qásiyeti.
2.1. Lokal qásiyetleri. Meyli, f (x) funkciya
kóplikte anıqlanǵan bolıp, a noqat x kópliktiń limit noqatı
bolsın.
6-teorema. Noqatta úzliksiz funkciya usı noqattıń bazı bir dógereginde shegaralanǵan.
Bul teorema noqatta shekli limitke iye funkciya usı noqattıń bazı bir dógereginde shegaralanǵanlıǵı qásiyetinen tikkeley kelip shıǵadı.
7-teorema (Noqatta úzliksiz funkciyanıń belgisiniń saqlanıwı
haqqındaǵı). Meyli, |
f (x) funkciya |
x kóplikte |
anıqlanǵan |
|||
bolıp, a x noqatta úzliksiz hám |
f (a) 0 |
( f (a) 0) |
||||
bolsın. Onda 0 |
san tabılıp, x B x U |
|
(a) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
noqatta f ( x) 0 |
( f ( x) 0) boladı. |
|
|
|
|
|
Basqasha aytkanda, noqatta úzliksiz funkciya usı noqattıń bazı bir dógereginde óz belgisin saqlaydı (2- súwret).
Dálillew. Funkciyanıń noqatta úzliksizliginiń Koshi anıqlaması boyınsha 0 san ushın ( ) 0 san tabılıp,
argumenttiń |
a noqattıń |
dógereginen alınǵan mánisleri |
||||||||||||
ushın |
|
f (x) f (a) |
|
, |
yaǵnıy |
|
|
f (a) f (x) f (a) |
||||||
|
|
|
||||||||||||
teńsizlikler |
orınlı |
boladı. |
Eger |
|
|
f (a) |
|
dep |
alsaq, |
onda |
||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
f (a) |
hám |
f (a) sanlardıń ekewi de |
f (a) 0 |
bolsa |
||||||||||
127
oń, |
al |
f (a) 0 |
bolsa |
teris |
boladı. |
Sonlıqtan |
|
f (a) f (x) f (a) teńsizlikler |
argumenttiń a |
noqattıń |
|||||
|
dógereginen |
alınǵan |
mánisleri |
ushın f (x) |
funkciya |
||
f (a) 0 bolsa |
oń, al |
f (a) 0 |
bolsa |
teris anıqlanǵan bolatuǵının |
|||
bildiredi. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
2- súwret
Bul teoremanı f (x) funkciya a noqatta ońnan yaki shepten
úzliksiz bolǵan jaǵday ushın mına kóriniste aytıw múmkin. 7*-teorema. Meyli, f ( x) funkciya x kóplikte anıqlanǵan
bolıp, |
a x |
noqatta ońnan (shepten )úzliksiz hám |
f (a) 0 |
bolsın. |
Onda |
0 san tabılıp, f (x) funkciyanıń |
|
B x U (a) |
(B x U (a)) kópliktegi belgisi |
f (a) |
|
sannıń belgisindey boladı.
Eskertiw. Berilgen noqatta úzliksiz funkciyalardıń qosındısınıń, ayırmasınıń, kóbeymesiniń hám qatnasınıń usı noqatta úzliksizligi, sondayaq, quramalı funkciyanıń berilgen noqatta úzliksizligi funkciyanıń lokal qásiyetlerine jatadı.
2.2. Global qásiyetleri. 8-teorema (Bol`canoKoshidiń birinshi teoreması). Eger funkciya kesindide úzliksiz bolıp, kesindiniń shetki noqatlarında hár qıylı belgidegi mánislerge iye
bolsa, onda kesindiniń kem degende bir ishki noqatındaǵı funkciyanıń dara mánisi nol`ge teń.
128
Bul teoremanı 3- súwret penen túsindiriw múmkin. Teoremanıń shártin qanaatlandıratuǵın funkciyanıń grafigi keminde bir noqatta (súwrette noqatı) abscissalar kósherin kesip ótiwi kerek.
|
|
3- súwret |
|
|
|
|
|
|
Dálillew. Ulıwmalıqtı sheklemesten, |
f (a) 0, |
f (b) 0 |
||||||
dep esaplaw múmkin. Meyli, X x [a,b] : f (x) 0 |
bolsın, bul |
|||||||
kóplik bos |
emes (bul |
kóplikte keminde a noqat bar) hám |
||||||
joqarıdan shegaralanǵan |
(mısalı, |
b sanı menen). Demek, |
bul |
|||||
kópliktiń dál joqarǵı |
shegarası |
bar, |
bul noqattı |
|
dep |
|||
belgileymiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
noqat- [a, b] |
kesindiniń ishki |
noqatı, sebebi f ( x) |
||||||
funkciyanıń |
[a, b] |
kesindide |
úzliksizliginen |
hám |
||||
f (a) 0, |
f (b) 0 |
teńsizliklerden |
a |
noqattıń |
sonday |
oń |
||
yarım dógeregi tabılıp, bul dógerekte |
f ( x) 0 |
hám |
b |
|||||
noqattıń sonday shep yarım dógeregi tabılıp, bul dógerekte
f ( x) 0 boladı. |
|
|
|
||
Endi |
f ( ) 0 bolatuǵınına isenim arttıramız. Eger bulay |
||||
bolmasa, |
|
noqattıń sonday ( , ) dógeregi tabılıp, |
|||
bul dógerekte |
f ( x) |
funkciya óz belgisin saqlaydı. Biraq bunday |
|||
bolıwı múmkin emes, |
sebebi X kópliktiń dál shegarasınıń |
||||
anıqlaması |
boyınsha |
x ( , ] X |
noqatta |
||
f ( x) 0 |
hám |
x ( , ) noqatta |
f ( x) 0 |
||
129
boladı. Alınǵan qaramaqarsılıqtan f ( ) 0 bolatuǵını kelip shıǵadı. ▲
9-teorema (Bol’canoKoshidiń II teoreması). Meyli, f ( x) funkciya [a, b] kesindide úzliksiz, f (a) A, f (b) B bolsın.
Onda A hám B sanları arasındaǵı qálegen C sanı ushın sonday(a, b) noqat tabılıp, f ( ) C teńlik orınlı boladı.
Basqasha aytqanda, kesindide úzliksiz funkciya usı kesindide
hámme aralıq mánislerdi qabıl etedi. |
|
Dálillew. Tek A B jaǵdaydı qaraymız (keri jaǵdayda |
|
A B C hám a yaki b dep alıw múmkin). |
|
Ulıwmalıqtı sheklemesten, A B, |
A C B dep |
esaplaw múmkin. ( x) : f ( x) C |
funkciyanı qaraymız. |
Bul funkciya [a, b] kesindide úzliksiz hám kesindiniń shetki
noqatlarında hár |
qıylı belgidegi mánislerge iye: |
(a) : A C 0, |
(a) : B C 0 . BolcanoKoshidiń I |
teoreması boyınsha |
(a, b) noqat tabılıp, ( ) 0 |
teńlik orınlı. Bunnan ( ) : f ( ) C 0 f ( ) C. ▲
10-teorema (Veyershtrasstıń birinshi teoreması). Kesindide
úzliksiz funkciya usı kesindide shegaralanǵan.
Dálillew . Meyli, f ( x) |
funkciya [a, b] kesindide úzliksiz |
|||
bolsın. |
f ( x) |
funkciya |
[a, b] |
kesindide joqarıdan |
shegaralanǵanın dálilleymiz (tómennen shegaralanǵanlıǵı da
usınday dálillenedi). |
|
|
|
|
|
Keriden |
dálilleymiz, |
meyli, |
f ( x) |
funkciya [a, b] |
|
kesindide |
joqarıdan |
shegaralanbaǵan |
bolsın. |
Onda |
|
n (n 1, 2, ) natural san ushın f (xn ) n teńsizlik orınlı bolatuǵın keminde bir xn [a,b] noqat tabıladı. [a, b] kesindiniń bul noqatlarınan funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgenf ( xn ) izbe-izlik sheksiz úlken izbe-izlik bolatuǵın xn izbeizlik dúziw múmkin. BolcanoVeyershtrass teoreması boyınsha
130
izbe-izlikten bazı bir noqatqa jıynaqlı xnk úles izbeajıratıp alıw múmkin. xn izbe-izliktiń hámme elementleri
[a, b] kesindiniń noqatları bolǵanlıqtan, [a, b] . f ( x) funkciya [a, b] kesindide úzliksiz, demek, bul funkciya
noqatta da úzliksiz. Funkciyanıń noqatta úzliksizliginiń Geyne anıqlaması boyınsha f ( xnk ) izbe-izlik f ( ) mániske jıynaqlı
bolıwı kerek. Biraq bul sheksiz úlken izbe-izliktiń qálegen úles izbe-izligi sheksiz úlken izbe-izlik bolatuǵınlıǵına qaramaqarsı keledi. Bul qarama-qarsılıq teoremanı dálilleydi. ▲
Eskertiw. Bul teorema kesindi ushın orınlı bolıp, sanlar kósheriniń basqa kóplikleri (interval, yarım kesindi) ushın, ulıwma aytqanda, orınlı emes, yaǵnıy funkciyanıń intervalda (yarım kesindide) úzliksizliginen bul funkciyanıń usı kóplikte
úzliksizligi |
kelip |
shıqpaydı. |
Mısalı, |
|
|
1 |
funkciya |
(0, 1) |
|||||
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
intervalda |
( (0, 1] |
yarım kesindide) |
úzliksiz, |
biraq bul kóplikte |
|||||||||
shegaralanǵan emes. Haqıyqatında da, |
x |
n |
1 |
(n 1, 2, ) izbe- |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
izliktiń elementleri |
(0, 1] |
yarım |
kesindige derek, biraq |
||||||||||
funkciyanıń sáykes |
dara mánislerinen |
dúzilgen f (xn ) n |
izbe- |
||||||||||
izlik sheksiz úlken izbe-izlik. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x R kóplikte shegaralanǵan |
f ( x) funkciya usı kóplik- |
||||||||||||
tegi óziniń dál joqarǵı (dál tómengi) shegarasına hámme waqıt
erisedime, |
yaǵnıy |
f (x*) sup f (x) |
( f (x* ) inf |
f (x)) |
bolatuǵın |
|
|
|
|||
|
|
x x |
x x |
|
|
x* x |
(x x ) noqat hárdayım |
tabıla beredime?,– degen |
|||
|
* |
|
|
|
|
soraw tuwıwı tábiyiy.
Tómendegi mısal berilgen kóplikte shegaralanǵan funkciya usı kópliktegi dál shegaralarına erisiwi shárt emesligin kórsetedi.
kesindide anıqlanǵan
131
|
|
x2 , |
0 x 1 |
|
1 |
|
|
f (x) |
, |
x 0, x 1 |
|
|
|
||
|
2 |
|
|
funkciya |
usı |
kesindide |
shegaralanǵan |
hám |
sup f (x) 1, |
inf p f (x) 0 . Biraq |
[0, 1] kesindiniń hesh |
bir |
|
x x |
x x |
|
|
|
noqatında funkciyanıń mánisi nolge hám birge teń bolmaydı. |
|
|||
Bul funkciya [0, 1] |
kesindide úzliksiz emes. Bul shárt úlken |
|||
áhmiyetke iye.
11-teorema (Veyershtrasstıń ekinshi teoreması). Kesindide
úzliksiz funkciya usı kesindide óziniń eń úlken hám eń kishi mánislerine erisedi.
Dálillew. Veyershtrasstıń I teoreması boyınsha f ( x) funkciya [a, b] kesindide shegaralanǵan, demek, onıń bul kesindide M dál joqarǵı hám m dál tómengi shegaraları bar.
f ( x) funkciya [a, b] kesindide |
M dál joqarǵı shegarasına |
|||||||||
erisiwin kórsetemiz |
( m dál |
tómengi |
shegarasına |
erisiwi de |
||||||
usınday dálillenedi). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Meyli, |
f ( x) funkciya |
[a, b] |
kesindide M dál joqarǵı |
|||||||
shegarasına |
erise |
almasın, |
yaǵnıy |
x [a, b] noqatta |
||||||
f (x) M |
bolsın. |
Onda |
biz |
|
(x) : |
|
1 |
|
funkciyanı |
|
|
|
|
|
|
M f (x) |
|
||||
qarawımız múmkin. Bul funkciya [a, b] |
kesindide úzliksiz hám |
|||||||||
qatal oń anıqlanǵan. Demek, Veyershtrasstıń I teoreması boyınsha
bul |
funkciya |
[a, b] |
kesindide |
shegaralanǵan, yaǵnıy |
||||||
|
A 0 san tabılıp, |
x [a, b] noqatta |
( x) A |
|||||||
teńsizlik |
orınlı |
boladı. |
M f ( x) funkciya [a, b] kesindide |
|||||||
úzliksiz |
hám |
qatal |
oń |
anıqlanǵan |
funkciya |
bolǵanlıqtan |
||||
|
|
1 |
A teńsizlik |
|
1 |
|
teńsizlikke |
ekvivalent, al |
||
|
|
f (x) M |
|
|
||||||
|
|
|
A |
|||||||
|
M f (x) |
|||||||||
bul |
M sanı |
f ( x) funkciyanıń [a, b] kesindidegi dál joqarǵı |
||||||||
132