Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Matematikaliq analiz

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
10.08.2024
Размер:
4.64 Mб
Скачать

f x hám g (x) funkciyalardıń óz limitlerine umtılıw

qásiyetlerine qarap joqarıdaǵı ańlatpalardıń xarakterin anıqlaw anıq emesliklerdi ashıw dep ataladı.

2.8. Funkciyanıń limitke iye bolıwınıń Koshi kriteriysi.

Meyli,

f x

 

funkciya

x R kóplikte anıqlanǵan, a noqat bul

kópliktiń limit noqatı bolsın.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20-anıqlama. Eger 0 san

ushın ( ) 0 san

tabılıp,

argumenttiń

0

 

x a

 

,

 

0

 

x a

 

 

 

 

teńsiz-

 

 

 

 

liklerdi

qanaatlandırıwshı

 

 

 

x , x x

mánisleri

 

 

ushın

 

f (x ) f (x )

 

teńsizlik orınlı bolsa, onda

f x funkciya a

 

 

noqatta Koshi shártin qanaatlandıradı dep aytıladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Mısal. f (x) x sin

 

 

 

funkciya x

0 noqatta Koshi shártin

 

x

qanaatlandıratuǵının kórsetemiz. Haqıyqattan da,

0 san

ushın

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

dep

 

alsaq,

 

 

 

 

 

 

argumenttiń

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

0

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizliklerdi

qanaatlandırıwshı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , x x mánisleri ushın

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x ) f (x )

 

 

 

1

x sin

1

 

 

 

x sin

1

 

x sin

 

1

 

 

 

x

 

 

 

x

 

 

 

 

 

x sin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

x

x

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul anıqlama boyınsha berilgen funkciya

x 0

noqatta

Koshi shártin qanaatlandıratuǵının bildiredi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eger 0

san alınsa

da 0 san hám argumenttiń

0

 

x a

 

,

 

0

 

x a

 

 

 

 

 

teńsizliklerdi

qanaatlandırıwshı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x , x x mánisleri tabılıp,

 

f (x ) f (x )

 

 

teńsizlik orınlı

 

 

 

bolsa,

onda

 

 

 

 

 

f x

 

 

 

funkciya

ushın

a

noqatta

 

 

 

Koshi

 

 

shárti

orınlanbaydı dep aytıladı.

103

Mısal.

1

funkciya ushın x 0

noqatta Koshi

 

 

f (x) cos x

 

 

 

shárti orınlanbaydı. Haqıyqattan da, 0 san alǵanımızda da

0 2 san hám

 

 

x

1

,

x

 

1

noqatlar ushın (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2k

 

(2k 1)

 

 

 

k [

1

 

] bolǵanda

 

x

 

 

,

 

 

x

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x ) f (x )

 

 

 

cos 2k cos(2k 1)

 

2

 

 

 

 

 

 

boladı. Bul anıqlama

 

 

boyınsha

berilgen

funkciya ushın x 0

noqatta Koshi shárti orınlanbaytuǵının bildiredi.

9-teorema. Funkciya noqatta shekli limitke iye bolıwı ushın bul noqatta Koshi shártin qanaatlandırıwı zárúr hám jetkilikli.

Dálillew. a) Zárúrligi. Meyli, lim f (x) b bolsın. 0

x a

sandı saylap alamız. Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi

anıqlaması

boyınsha 2

san

ushın

0

san

tabılıp,

arngumenttiń

0

 

x a

 

,

0

 

x a

 

 

shártlerdi

 

 

 

 

qanaatlandırıwshı

x , x

mánisleri

ushın,

sáykes

túrde,

 

f ( x ) b

 

 

 

 

 

f ( x ) b

 

 

 

 

teńsizlikler orınlı boladı. Bunnan

 

 

 

 

 

 

 

 

2 ,

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f (x ) f (x ) ( f (x ) b) (b f (x )) f (x ) b f (x ) b teńsizlik kelip shıǵadı. Al bul f x funkciya a noqatta Koshi

shártin qanaatlandıratuǵının bildiredi.

b) Jetkilikligi. Meyli, f (x) funkciya a noqatta Koshi shártin qanaatlandırsın. f (x) funkciya a noqatta shekli limitke iye bolatuǵının dálillewimiz kerek. Meyli, xn - argumenttiń a noqattan ózgeshe mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı qálegen izbe-izlik bolsın. Bunıń ushın funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne anıqlaması boyınsha funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen f ( xn ) izbe-izlik bazı bir b sanǵa jıynaqlı hám bul san hámme a noqattan ózgeshe noqatlardan

104

f ( xn )

dúzilgen,

a noqatqa jıynaqlı

xn izbe-izlikler ushın

birdey

ekenin dálillew jetkilikli.

 

 

 

Dáslep,

argumenttiń a

noqattan

ózgeshe mánislerinen

dúzilgen,

a

noqatqa jıynaqlı

qálegen

xn izbe-izlik

ushın

sáykes funkciyanıń mánislerinen dúzilgen f ( xn ) izbe-izlik

bazı bir b sanǵa jıynaqlı bolatuǵının dálilleymiz. 0 san

hám Koshi shárti boyınsha usı

sanǵa sáykes ( ) 0 san

saylap alamız. xn izbe-izlik

a

noqatqa jıynaqlı hám

xn a

bolǵanlıqtan usı

0 san ushın

N nomer tabılıp,

n N

nomerler ushın

0

 

xn a

 

 

teńsizlikler

orınlı boladı. p

 

 

 

 

 

natural san hám n N nomerler ushın

0

xn p a

 

teńsizlikler de orınlı bolatuǵını anıq. Solay etip, p natural san

hám n N

nomerler ushın 0

 

x

n

a

 

,

0

x

n p

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizlikler orınlı boladı eken. Usı eki teńsizlikten hám Koshi

shártinen p natural san hám

n N

nomerler

ushın

 

f (xn p ) f (xn )

 

teńsizlikti

alamız.

Bul f

( xn ) -

 

 

fundamental izbe-izlik ekenin bildiredi, al fundamental izbe-izlik jıynaqlı bolǵanlıqtan izbe-izlik bazı bir b sanǵa jıynaqlı.

Endi argumenttiń a noqattan ózgeshe mánislerinen dúzilgen,

a noqatqa jıynaqlı qálegen eki x

n

hám x izbe-izlik ushın

 

 

 

 

 

 

 

n

f ( xn ) hám

funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen

f ( x )

izbe-izlikler

birdey

b sanǵa jıynaqlı

bolatuǵının

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dálilleymiz. Meyli,

f ( x

 

) hám

 

f ( x

) izbe-izlikler, sáykes

 

 

 

n

 

 

 

n

 

 

 

túrde, b hám b sanǵa jıynaqlı bolsın. Argumenttiń

a noqattan

ózgeshe mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı jańa

x1 ,

 

x2 ,

 

 

,

xn ,

 

 

x1 ,

 

x2 ,

xn ,

izbe-izlikti qaraymız. Joqarıda dálillegenimiz boyınsha funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen

105

f (x ),

f (x ),

f (x

2

),

f (x ),

 

,

f (x

n

),

f (x ),

 

1

1

 

 

2

 

 

 

 

 

n

 

izbe-izlik bazı bir

b sanǵa

jıynaqlı. Bul

izbe-izliktiń

qálegen úles izbe-izligi de b sanǵa jıynaqlı.

Demek,

taq

nomerli

 

 

 

 

elementlerden

 

 

 

dúzilgen

f (x1 ),

f (x2 ),

,

 

f (xn ),

úles

izbe-izlik

te,

jup

nomerli

 

 

 

 

elementlerden

 

 

 

dúzilgen

f (x ),

f (x ),

,

f (x ),

úles

izbe-izlik

te

b

1

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

sanǵa jıynaqlı boladı. Bunnan b b b bolatuǵını kelip shıǵadı. ▲

Eskertiw. a

noqattaǵı

bir

tárepli

limitler,

x ,

x ,

x

daǵı

limitler

ushın da

Koshi shárti hám Koshi kriteriysi joqarıdaǵıǵa uqsas aytıladı hám dálillenedi.

 

 

 

2.9.

Bazı

 

bir

 

ájayıp limitler. 10-teorema.

f (x)

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

funkciya

x 0

noqatta shekli limitke iye hám bul limit 1 ge teń,

yaǵnıy lim

sin x

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Dálillew. Argumenttiń

 

0 x

 

mánislerinde

sin x x tgx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

teńsizlikler

orınlı

ekeni málim.

sin x 0

bolǵanlıqtan

bul

teńsizliklerdi 1

x

 

 

1

 

kóriniste jazıp alıw múmkin. Bunnan

 

 

 

 

sin x

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

cos x

sin x

1

(1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizliklerdi

alamız.

(1)

teńsizliklerdiń

 

argumenttiń

 

 

 

 

 

 

 

mánisleri

ushın

 

orınlı

bolıwınan

bul

teńsizliklerdiń

0 x 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 0

mánisler ushın da orınlı ekeni kelip shıǵadı, sebebi

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin x hám cos x

 

funkciyalar jup

funkciyalar. Solay etip, (1)

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

106

teńsizlikler

 

 

 

 

mánisler

ushın, yaǵnıy

2 x

 

(x 0)

 

2

 

 

 

 

0

 

 

 

 

 

f ( x) cos x

 

x U 2 (0)

noqatta

orınlı

boladı eken.

hám

g(x) 1 funkciyalar

x 0

noqatta 1

ge

teń limitke

iye.

Funkciyalar ushın eki jaqlap shegaralaw principi (shekli limitke

iye funkciyalardıń 40- qásiyeti) boyınsha h(x)

sin x

funkciya da

 

 

 

 

x

 

x 0 noqatta shekli limitke iye hám bul limit 1 ge teń. ▲

 

11-teorema. f (x) (1 x)1 x funkciya x 0 noqatta

shekli

limitke iye hám bul limit e sanına teń.

 

 

 

 

Dálillew. f (x) (1 x)1 x

funkciya x 0 noqatta hám shep,

hám oń limitlerge iye hám

bul limitler e

sanına teń

ekenin

dálillew jetkilikli.

 

 

 

 

 

1) Dáslep f (x) (1 x)1 x

funkciya x 0

noqatta shekli oń

limitke iye bolıp, bul limit e sanına teń ekenin dálilleymiz. Bunıń ushın funkciyanıń noqattaǵı oń limitiniń Koshi

anıqlaması boyınsha

 

0

ushın

( ) 0

san tabılıp,

0 x shártti qanaatlandırıwshı x noqatta

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1 x)1 x e

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizlik orınlı bolatuǵının dálillew jetkilikli.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0

 

san

saylap

alamız hám

 

an (1

 

 

1

 

 

)n

 

hám

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n 1

 

 

bn (1

1

)n 1

izbe-izliklerdi alamız. Bul eki izbe-izlik

e sanına

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jıynaqlı. Haqıyqatında da,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1

1

 

)n 1

lim (1

 

1

 

 

)n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

e

 

lim an

lim (1

 

)

n

lim

 

 

 

 

n 1

 

 

n

1

 

 

 

 

 

e,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

n

 

 

n

 

n 1

 

n

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim (1

 

)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

n

 

n

1

 

 

 

 

 

lim b

lim (1

1

)n 1

lim (1

1

)n lim (1

1

) e 1 e

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

n

 

n

 

n

 

 

n

 

n

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

107

Eki an hám

 

bn izbe-izlik

 

te e

sanına

jıynaqlı

bolǵanlıqtan saylap

 

alınǵan

0

 

san

ushın N1 , N 2

nomerler tabılıp, n N1 nomerler ushın

 

an e

 

hám

n N 2

 

 

nomerler ushın

 

bn e

 

 

teńsizlikler

orınlı.

Meyli,

 

 

N max N1, N2 bolsın. Onda

 

n N nomerler ushın bir waqıtta

 

 

 

 

 

a

n

e

 

,

 

b

e

 

 

(3)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizlikler orınlı boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Endi dálillewdi aqırına jetkeriw ushın eger

1

 

dep alsaq,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

onda argumenttiń

0 x

1

shártti qanaatlandırıwshı mánislerinde

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2) teńsizlik orınlı bolatuǵının dálilleymiz.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Haqıyqatında

 

da,

meyli,

 

 

x

argumenttiń 0 x

1

shártti

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qanaatlandırıwshı qálegen mánisi bolsın. Onda 1

. Endi

1

 

n : [

 

]

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

dep belgilep, birinshiden, n N dep, al ekinshiden

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

n 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńsizlikler orınlı dep aytıwımız múmkin. Bul teńsizliklerden

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

hám 1

 

 

1

x 1

 

 

(5)

 

 

 

 

n 1

 

 

 

 

 

n

 

n 1

n

 

 

 

 

 

 

 

teńsizlikler

kelip

 

shıǵadı.

(4)

hám

(5)

teńsizliklerdiń

ekinshisin salıstırıp, tiykarı 1 den úlken kórsetkishli funkciyanıń

ósiwshiliginen

paydalanıp,

(1

 

1

 

)n (1 x)1 x (1

1

)n 1 yaki

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

a

n

(1 x)1 x b

teńsizliklerdi alamız.

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solay etip,

argumenttiń

0 x

 

1

 

shártti

qanaatlandırıwshı

 

 

 

 

 

 

N

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

qálegen

x mánisi ushın n N nomerlerde

an (1 x)1 x bn

demek,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

108

a

n

e (1 x)1 x e b

e

(6)

 

n

 

 

teńsizlikler orınlı boladı eken. (6) teńsizlikti

n N nomerler

ushın orınlı bolǵan (3) teńsizlikler menen salıstırıp, argumenttiń

1

shártti

qanaatlandırıwshı mánislerinde (2) teńsizlik

0 x

 

N

 

 

orınlı bolatuǵınına isenim arttıramız.

2) f (x) (1 x)1 x funkciya x 0 noqatta shekli shep limitke

iye bolıp, bul limitte e sanına teń ekenin dálilleymiz.

Funkciyanıń

noqattaǵı shep limitiniń Geyne anıqlaması

boyınsha terns sanlardan dúzilgen qálegen sheksiz kishi xn

izbe-izlikke

 

sáykes

funkciyanıń

 

dara

 

mánislerinen

 

dúzilgen

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 xn

izbe-izlik

 

 

sanına

jıynaqlı

bolatuǵının

f (xn ) (1 xn )

 

e

dálillew jetkilikli.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Meyli,

 

xn - teris sanlardan dúzilgen qálegen sheksiz kishi

izbe-izlik bolsın. Bul izbe-izlikti

 

hámme

x

n

 

elementler

moduli

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boyınsha 1 den úlken bolatuǵın N nomerden baslap qaraymız.

 

y

 

 

 

xn

 

dep belgileymiz,

demek

 

x

 

 

 

 

 

yn

 

. Onda

 

 

 

n

 

1 xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

1

yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn .oń sanlardan dúzilgen sheksiz kishi izbe-izlik bolıp,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

1

 

(

 

1)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

1 x

 

 

 

n

y

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

y

f (x

 

) (1 x

 

)

 

n (1

 

 

)

 

n

(

 

 

 

 

)

 

 

n

 

 

 

(1

y

 

) n

n

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 yn

 

 

 

 

 

1 yn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńlik orınlı. Solay etip,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

lim f (x

n

) lim (1 y

n

)1 yn lim (1 y

n

).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

n

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yn

 

 

sanlardan

 

dúzilgen

sheksiz

 

kishi

 

izbe-izlik

bolǵanlıqtan joqarıda dálillengeni boyınsha

lim (1 y

n

)1 yn e ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

al lim(1 yn ) 1.

 

Demek,

f ( xn )

 

izbe-izlik

 

e

sanına

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

jıynaqlı.▲

109

2.10. Sheksiz kishi hám sheksiz úlken funkciyalar. 21- anıqlama. Noqattaǵı limiti nolge teń funkciya usı noqatta sheksiz

kishi funkciya dep ataladı.

 

 

 

 

Mısalı

(x) (x a)n

(n N ) funkciya

a

noqatta

sheksiz kishi funkciya boladı.

 

 

 

 

Eger f ( x) funkciyanıń

a noqattaǵı limiti b sanına teń

bolsa, onda

( x) : f ( x) b funkciya

a noqatta

sheksiz

kishi funkciya.

 

 

 

 

Eger f (x) funkciyanıń

a noqattaǵı

limiti b

sanına teń

bolsa, onda

bul funkciyanı

f (x) b (x) kórinisinde jazıw

múmkin, bul jerde (x) a noqatta sheksiz kishi funkciya.

22-anıqlama. Noqattaǵı limiti sheksiz funkciya usı noqatta sheksiz úlken funkciya dep ataladı.

Argumenttiń a sanınan úlken (kishi) mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı xn izbe-izlikke sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen A( xn ) izbe-izlik bazı bir nomerden baslap hámme elementi yaki oń, yaki teris sanlar bolǵan sheksiz

úlken izbe-izlik bolsa,

onda A( x) funkciya a

noqatta ońnan

(shepten) sheksiz

úlken funkciya dep

ataladı hám

lim f (x) ( lim

f (x) )

yaki

x a 0

 

x a 0

 

lim

f (x)

( lim f (x) ) dep jazıladı. Geyde

x a 0

 

x a 0

 

 

A(a 0)

( A(a 0) ) yaki

A(a 0) ( A(a 0) )

simvollarınan da paydalanıladı.

Sheksiz kishi hám sheksiz úlken funkciyalar da sheksiz kishi hám sheksiz úlken izbe-izliklerdiń qásiyetlerine uqsas qásiyetlerge iye boladı.

110

10. Noqatta sheksiz kishi funkciya bolǵan shekli sandaǵı funkciyalardıń qosındısı hám kóbeymesi usı noqatta sheksiz kishi funkciya.

20. Noqattıń bazı bir dógereginde shegaralanǵan funkciyanıń usı noqatta sheksiz kishi funkciyaǵa kóbeymesi usı noqatta sheksiz kishi funkciya.

30. Eger ( x) funkciya a noqattıń bazı bir dógereginde anıqlanǵan, usı dógerek noqatlarında nolden ózgeshe, sheksiz

kishi funkciya bolsa, onda

 

1

 

funkciya a noqatta sheksiz úlken

 

 

 

 

(x)

 

 

 

funkciya.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

40. Eger

A( x) funkciya

a noqatta sheksiz úlken funkciya

bolsa, onda

1

 

funkciya

a

noqatta sheksiz kishi

funkciya

 

A(x)

 

 

 

 

 

 

 

boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Berilgen

a

noqatta

sheksiz

kishi

eki funkciyanı

salıstırıw

metodikasına toqtalamız. Meyli, ( x)

hám (x) funkciyalar a

noqattıń bazı bir dógereginde anıqlanǵan hám a noqatta sheksiz kishi funkciyalar bolsın.

1) Eger lim

(x)

0

bolsa, onda ( x)

funkciya a noqatta

 

 

x a

(x)

 

 

 

 

 

(x)

funkciyaǵa qaraǵanda joqarı tártipli sheksiz kishi funkciya

dep

ataladı

hám

( x) o( ( x))

( x a)

dep

jazıladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

2) Eger

lim

(x) c

(c 0, c 1)

bolsa, onda

(x)

 

 

x a

(x)

 

 

 

 

hám (x) funkciyalar a

noqatta birdey tártiptegi sheksiz kishi

funkciyalar dep ataladı.

 

 

 

 

111

 

3)

Eger

lim

(x)

1

bolsa, onda ( x)

hám

(x)

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

funkciyalar a noqatta

 

ekvivalent sheksiz kishi funkciyalar dep

ataladı hám (x) ~ (x)

(x a)

dep jazıladı.

 

 

 

 

12-teorema.

Eger

 

 

( x) ~ 1 (x)

(x a)

hám

(x) ~

(x)

(x a)

bolıp,

 

lim

1 (x)

shekli limit

bar bolsa, onda

1

 

 

 

 

 

 

 

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x a

 

 

 

 

 

 

lim

(x)

limit

te

bar

 

 

hám lim

(x)

lim

1 (x)

teńlik

orınlı

x a

(x)

 

 

 

 

 

 

 

x a

(x)

x a

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Berilgen a noqatta sheksiz úlken hám ońnan (yaki shepten)

sheksiz úlken funkciyalar da usılay salıstırıladı.

 

 

 

 

Meyli,

A( x) hám

 

B( x) funkciyalar argumenttiń birdey

mánislerinde anıqlanǵan funkciyalar hám anıqlıq ushın

 

 

 

 

 

 

lim A(x) ,

lim

B(x)

 

 

 

 

 

 

x a 0

 

 

 

 

x a 0

 

 

 

 

 

bolsın.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1).

Eger

A(x)

funkciya a

noqatta ońnan

sheksiz

úlken

 

 

 

 

B(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

funkciya

bolsa,

onda

 

 

A( x) funkciya

a

noqatta

B( x)

funkciyaǵa salıstırǵanda joqarı ósiw tártibine iye dep ataladı.

2). Eger A(x)

funkciyanıń a

noqattaǵı oń

limiti

nolden

 

B(x)

 

 

 

 

ózgeshe shekli sanǵa teń bolsa,

onda A( x)

hám

B( x)

funkciyalardıń a noqattaǵı ósiw tártibi birdey dep ataladı. Sheksiz kishi jáne sheksiz úlken funkciyalardı salıstırıw

mısalların keltiremiz.

 

 

 

Mısallar.

1) (x) x3

x5

hám (x) 5 x3

x4

funkciyalar

x 0 noqatta

birdey

tártiptegi sheksiz

kishi

funkciyalar, sebebi

112