
Matematikaliq analiz
.pdf
f x hám g (x) funkciyalardıń óz limitlerine umtılıw
qásiyetlerine qarap joqarıdaǵı ańlatpalardıń xarakterin anıqlaw anıq emesliklerdi ashıw dep ataladı.
2.8. Funkciyanıń limitke iye bolıwınıń Koshi kriteriysi.
Meyli, |
f x |
|
funkciya |
x R kóplikte anıqlanǵan, a noqat bul |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kópliktiń limit noqatı bolsın. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
20-anıqlama. Eger 0 san |
ushın ( ) 0 san |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tabılıp, |
argumenttiń |
0 |
|
x a |
|
, |
|
0 |
|
x a |
|
|
|
|
teńsiz- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
liklerdi |
qanaatlandırıwshı |
|
|
|
x , x x |
mánisleri |
|
|
ushın |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x ) f (x ) |
|
teńsizlik orınlı bolsa, onda |
f x funkciya a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
noqatta Koshi shártin qanaatlandıradı dep aytıladı. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mısal. f (x) x sin |
|
|
|
funkciya x |
0 noqatta Koshi shártin |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
qanaatlandıratuǵının kórsetemiz. Haqıyqattan da, |
0 san |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ushın |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dep |
|
alsaq, |
|
|
|
|
|
|
argumenttiń |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
teńsizliklerdi |
qanaatlandırıwshı |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x , x x mánisleri ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f (x ) f (x ) |
|
|
|
1 |
x sin |
1 |
|
|
|
x sin |
1 |
|
x sin |
|
1 |
|
|
|
x |
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
x |
x |
x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Bul anıqlama boyınsha berilgen funkciya |
x 0 |
noqatta |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Koshi shártin qanaatlandıratuǵının bildiredi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Eger 0 |
san alınsa |
da 0 san hám argumenttiń |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
x a |
|
, |
|
0 |
|
x a |
|
|
|
|
|
teńsizliklerdi |
qanaatlandırıwshı |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x , x x mánisleri tabılıp, |
|
f (x ) f (x ) |
|
|
teńsizlik orınlı |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
bolsa, |
onda |
|
|
|
|
|
f x |
|
|
|
funkciya |
ushın |
a |
noqatta |
|
|
|
Koshi |
|
|
shárti |
orınlanbaydı dep aytıladı.
103

Mısal. |
1 |
funkciya ushın x 0 |
noqatta Koshi |
||
|
|
||||
f (x) cos x |
|||||
|
|
|
shárti orınlanbaydı. Haqıyqattan da, 0 san alǵanımızda da
0 2 san hám |
|
|
x |
1 |
, |
x |
|
1 |
noqatlar ushın ( |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2k |
|
(2k 1) |
|
|
|
||||||
k [ |
1 |
|
] bolǵanda |
|
x |
|
|
, |
|
|
x |
|
) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
f (x ) f (x ) |
|
|
|
cos 2k cos(2k 1) |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
boladı. Bul anıqlama |
|
|
boyınsha |
berilgen |
funkciya ushın x 0 |
noqatta Koshi shárti orınlanbaytuǵının bildiredi.
9-teorema. Funkciya noqatta shekli limitke iye bolıwı ushın bul noqatta Koshi shártin qanaatlandırıwı zárúr hám jetkilikli.
Dálillew. a) Zárúrligi. Meyli, lim f (x) b bolsın. 0
x a
sandı saylap alamız. Funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Koshi
anıqlaması |
boyınsha 2 |
san |
ushın |
0 |
san |
tabılıp, |
||||||||||||||||
arngumenttiń |
0 |
|
x a |
|
, |
0 |
|
x a |
|
|
shártlerdi |
|||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
qanaatlandırıwshı |
x , x |
mánisleri |
ushın, |
sáykes |
túrde, |
|||||||||||||||||
|
f ( x ) b |
|
|
|
|
|
f ( x ) b |
|
|
|
|
teńsizlikler orınlı boladı. Bunnan |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 , |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x ) f (x ) ( f (x ) b) (b f (x )) f (x ) b f (x ) b teńsizlik kelip shıǵadı. Al bul f x funkciya a noqatta Koshi
shártin qanaatlandıratuǵının bildiredi.
b) Jetkilikligi. Meyli, f (x) funkciya a noqatta Koshi shártin qanaatlandırsın. f (x) funkciya a noqatta shekli limitke iye bolatuǵının dálillewimiz kerek. Meyli, xn - argumenttiń a noqattan ózgeshe mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı qálegen izbe-izlik bolsın. Bunıń ushın funkciyanıń noqattaǵı limitiniń Geyne anıqlaması boyınsha funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen f ( xn ) izbe-izlik bazı bir b sanǵa jıynaqlı hám bul san hámme a noqattan ózgeshe noqatlardan
104
dúzilgen, |
a noqatqa jıynaqlı |
xn izbe-izlikler ushın |
birdey |
||
ekenin dálillew jetkilikli. |
|
|
|
||
Dáslep, |
argumenttiń a |
noqattan |
ózgeshe mánislerinen |
||
dúzilgen, |
a |
noqatqa jıynaqlı |
qálegen |
xn izbe-izlik |
ushın |
sáykes funkciyanıń mánislerinen dúzilgen f ( xn ) izbe-izlik
bazı bir b sanǵa jıynaqlı bolatuǵının dálilleymiz. 0 san |
|||||||||||
hám Koshi shárti boyınsha usı |
sanǵa sáykes ( ) 0 san |
||||||||||
saylap alamız. xn izbe-izlik |
a |
noqatqa jıynaqlı hám |
xn a |
||||||||
bolǵanlıqtan usı |
0 san ushın |
N nomer tabılıp, |
n N |
||||||||
nomerler ushın |
0 |
|
xn a |
|
|
teńsizlikler |
orınlı boladı. p |
||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|||||||||
natural san hám n N nomerler ushın |
0 |
xn p a |
|
teńsizlikler de orınlı bolatuǵını anıq. Solay etip, p natural san
hám n N |
nomerler ushın 0 |
|
x |
n |
a |
|
, |
0 |
x |
n p |
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńsizlikler orınlı boladı eken. Usı eki teńsizlikten hám Koshi
shártinen p natural san hám |
n N |
nomerler |
ushın |
|||
|
f (xn p ) f (xn ) |
|
teńsizlikti |
alamız. |
Bul f |
( xn ) - |
|
|
fundamental izbe-izlik ekenin bildiredi, al fundamental izbe-izlik jıynaqlı bolǵanlıqtan izbe-izlik bazı bir b sanǵa jıynaqlı.
Endi argumenttiń a noqattan ózgeshe mánislerinen dúzilgen, |
||||||||||
a noqatqa jıynaqlı qálegen eki x |
n |
hám x izbe-izlik ushın |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
f ( xn ) hám |
||
funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen |
||||||||||
f ( x ) |
izbe-izlikler |
birdey |
b sanǵa jıynaqlı |
bolatuǵının |
||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dálilleymiz. Meyli, |
f ( x |
|
) hám |
|
f ( x |
) izbe-izlikler, sáykes |
||||
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
túrde, b hám b sanǵa jıynaqlı bolsın. Argumenttiń |
a noqattan |
|||||||||
ózgeshe mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı jańa |
||||||||||
x1 , |
|
x2 , |
|
|
, |
xn , |
|
|
||
x1 , |
|
x2 , |
xn , |
izbe-izlikti qaraymız. Joqarıda dálillegenimiz boyınsha funkciyanıń sáykes dara mánislerinen dúzilgen
105
f (x ), |
f (x ), |
f (x |
2 |
), |
f (x ), |
|
, |
f (x |
n |
), |
f (x ), |
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
||
izbe-izlik bazı bir |
b sanǵa |
jıynaqlı. Bul |
izbe-izliktiń |
||||||||||
qálegen úles izbe-izligi de b sanǵa jıynaqlı. |
Demek, |
taq |
|||||||||||
nomerli |
|
|
|
|
elementlerden |
|
|
|
dúzilgen |
||||
f (x1 ), |
f (x2 ), |
, |
|
f (xn ), |
úles |
izbe-izlik |
te, |
jup |
|||||
nomerli |
|
|
|
|
elementlerden |
|
|
|
dúzilgen |
||||
f (x ), |
f (x ), |
, |
f (x ), |
úles |
izbe-izlik |
te |
b |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
sanǵa jıynaqlı boladı. Bunnan b b b bolatuǵını kelip shıǵadı. ▲
Eskertiw. a |
noqattaǵı |
bir |
tárepli |
limitler, |
|
x , |
x , |
x |
daǵı |
limitler |
ushın da |
Koshi shárti hám Koshi kriteriysi joqarıdaǵıǵa uqsas aytıladı hám dálillenedi.
|
|
|
2.9. |
Bazı |
|
bir |
|
ájayıp limitler. 10-teorema. |
f (x) |
sin x |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
funkciya |
x 0 |
noqatta shekli limitke iye hám bul limit 1 ge teń, |
||||||||||||||||||||||
yaǵnıy lim |
sin x |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Dálillew. Argumenttiń |
|
0 x |
|
mánislerinde |
sin x x tgx |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
teńsizlikler |
orınlı |
ekeni málim. |
sin x 0 |
bolǵanlıqtan |
bul |
|||||||||||||||||||
teńsizliklerdi 1 |
x |
|
|
1 |
|
kóriniste jazıp alıw múmkin. Bunnan |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
sin x |
cos x |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x |
sin x |
1 |
(1) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
teńsizliklerdi |
alamız. |
(1) |
teńsizliklerdiń |
|
argumenttiń |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
mánisleri |
ushın |
|
orınlı |
bolıwınan |
bul |
teńsizliklerdiń |
|||||||||||
0 x 2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
x 0 |
mánisler ushın da orınlı ekeni kelip shıǵadı, sebebi |
|||||||||||||||||||||
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x hám cos x |
|
funkciyalar jup |
funkciyalar. Solay etip, (1) |
||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
106

teńsizlikler |
|
|
|
|
mánisler |
ushın, yaǵnıy |
||
2 x |
|
(x 0) |
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|||
0 |
|
|
|
|
|
f ( x) cos x |
|
|
x U 2 (0) |
noqatta |
orınlı |
boladı eken. |
hám |
||||
g(x) 1 funkciyalar |
x 0 |
noqatta 1 |
ge |
teń limitke |
iye. |
Funkciyalar ushın eki jaqlap shegaralaw principi (shekli limitke
iye funkciyalardıń 40- qásiyeti) boyınsha h(x) |
sin x |
funkciya da |
|||
|
|||||
|
|
|
x |
|
|
x 0 noqatta shekli limitke iye hám bul limit 1 ge teń. ▲ |
|
||||
11-teorema. f (x) (1 x)1 x funkciya x 0 noqatta |
shekli |
||||
limitke iye hám bul limit e sanına teń. |
|
|
|
|
|
Dálillew. f (x) (1 x)1 x |
funkciya x 0 noqatta hám shep, |
||||
hám oń limitlerge iye hám |
bul limitler e |
sanına teń |
ekenin |
||
dálillew jetkilikli. |
|
|
|
|
|
1) Dáslep f (x) (1 x)1 x |
funkciya x 0 |
noqatta shekli oń |
limitke iye bolıp, bul limit e sanına teń ekenin dálilleymiz. Bunıń ushın funkciyanıń noqattaǵı oń limitiniń Koshi
anıqlaması boyınsha |
|
0 |
ushın |
( ) 0 |
san tabılıp, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
0 x shártti qanaatlandırıwshı x noqatta |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 x)1 x e |
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
teńsizlik orınlı bolatuǵının dálillew jetkilikli. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
0 |
|
san |
saylap |
alamız hám |
|
an (1 |
|
|
1 |
|
|
)n |
|
hám |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|||||
bn (1 |
1 |
)n 1 |
izbe-izliklerdi alamız. Bul eki izbe-izlik |
e sanına |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jıynaqlı. Haqıyqatında da, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1 |
1 |
|
)n 1 |
lim (1 |
|
1 |
|
|
)n 1 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
e |
|
|||||||||||||||||
lim an |
lim (1 |
|
) |
n |
lim |
|
|
|
|
n 1 |
|
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
e, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
||||||||||||||
n |
|
|
n |
|
n 1 |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim (1 |
|
) |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
n |
1 |
|
|
|
|
|
||||||
lim b |
lim (1 |
1 |
)n 1 |
lim (1 |
1 |
)n lim (1 |
1 |
) e 1 e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
n |
|
n |
|
|
n |
|
n |
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
107

Eki an hám |
|
bn izbe-izlik |
|
te e |
sanına |
jıynaqlı |
||||
bolǵanlıqtan saylap |
|
alınǵan |
0 |
|
san |
ushın N1 , N 2 |
||||
nomerler tabılıp, n N1 nomerler ushın |
|
an e |
|
hám |
n N 2 |
|||||
|
|
|||||||||
nomerler ushın |
|
bn e |
|
|
teńsizlikler |
orınlı. |
Meyli, |
|||
|
|
N max N1, N2 bolsın. Onda |
|
n N nomerler ushın bir waqıtta |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
n |
e |
|
, |
|
b |
e |
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
teńsizlikler orınlı boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Endi dálillewdi aqırına jetkeriw ushın eger |
1 |
|
dep alsaq, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
||
onda argumenttiń |
0 x |
1 |
shártti qanaatlandırıwshı mánislerinde |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(2) teńsizlik orınlı bolatuǵının dálilleymiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
Haqıyqatında |
|
da, |
meyli, |
|
|
x |
argumenttiń 0 x |
1 |
shártti |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
N |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qanaatlandırıwshı qálegen mánisi bolsın. Onda 1 |
. Endi |
1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
n : [ |
|
] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
dep belgilep, birinshiden, n N dep, al ekinshiden |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
(4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
teńsizlikler orınlı dep aytıwımız múmkin. Bul teńsizliklerden |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
hám 1 |
|
|
1 |
x 1 |
|
|
(5) |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
n 1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
teńsizlikler |
kelip |
|
shıǵadı. |
(4) |
hám |
(5) |
teńsizliklerdiń |
ekinshisin salıstırıp, tiykarı 1 den úlken kórsetkishli funkciyanıń
ósiwshiliginen |
paydalanıp, |
(1 |
|
1 |
|
)n (1 x)1 x (1 |
1 |
)n 1 yaki |
|||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
||||
a |
n |
(1 x)1 x b |
teńsizliklerdi alamız. |
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Solay etip, |
argumenttiń |
0 x |
|
1 |
|
shártti |
qanaatlandırıwshı |
||||
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
qálegen |
x mánisi ushın n N nomerlerde |
an (1 x)1 x bn |
|||||||||||
demek, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
108

a |
n |
e (1 x)1 x e b |
e |
(6) |
|
n |
|
|
|
teńsizlikler orınlı boladı eken. (6) teńsizlikti |
n N nomerler |
ushın orınlı bolǵan (3) teńsizlikler menen salıstırıp, argumenttiń
1 |
shártti |
qanaatlandırıwshı mánislerinde (2) teńsizlik |
|
0 x |
|
||
N |
|
|
|
orınlı bolatuǵınına isenim arttıramız. |
|||
2) f (x) (1 x)1 x funkciya x 0 noqatta shekli shep limitke |
|||
iye bolıp, bul limitte e sanına teń ekenin dálilleymiz. |
|||
Funkciyanıń |
noqattaǵı shep limitiniń Geyne anıqlaması |
boyınsha terns sanlardan dúzilgen qálegen sheksiz kishi xn
izbe-izlikke |
|
sáykes |
funkciyanıń |
|
dara |
|
mánislerinen |
|
dúzilgen |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 xn |
izbe-izlik |
|
|
sanına |
jıynaqlı |
bolatuǵının |
|||||||||||||||||||||||||
f (xn ) (1 xn ) |
|
e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dálillew jetkilikli. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Meyli, |
|
xn - teris sanlardan dúzilgen qálegen sheksiz kishi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
izbe-izlik bolsın. Bul izbe-izlikti |
|
hámme |
x |
n |
|
elementler |
moduli |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
boyınsha 1 den úlken bolatuǵın N nomerden baslap qaraymız. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
xn |
|
dep belgileymiz, |
demek |
|
x |
|
|
|
|
|
yn |
|
. Onda |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
n |
|
1 xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
yn |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
yn .oń sanlardan dúzilgen sheksiz kishi izbe-izlik bolıp, |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
( |
|
1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
n |
y |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
y |
||||||||||||||||
f (x |
|
) (1 x |
|
) |
|
n (1 |
|
|
) |
|
n |
( |
|
|
|
|
) |
|
|
n |
|
|
|
(1 |
y |
|
) n |
||||||||||||||
n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 yn |
|
|
|
|
|
1 yn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
teńlik orınlı. Solay etip, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
lim f (x |
n |
) lim (1 y |
n |
)1 yn lim (1 y |
n |
). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
yn |
|
oń |
|
sanlardan |
|
dúzilgen |
sheksiz |
|
kishi |
|
izbe-izlik |
|||||||||||||||||||||||||||||
bolǵanlıqtan joqarıda dálillengeni boyınsha |
lim (1 y |
n |
)1 yn e , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
al lim(1 yn ) 1. |
|
Demek, |
f ( xn ) |
|
izbe-izlik |
|
e |
sanına |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
jıynaqlı.▲
109
2.10. Sheksiz kishi hám sheksiz úlken funkciyalar. 21- anıqlama. Noqattaǵı limiti nolge teń funkciya usı noqatta sheksiz
kishi funkciya dep ataladı. |
|
|
|
|
|
Mısalı |
(x) (x a)n |
(n N ) funkciya |
a |
noqatta |
|
sheksiz kishi funkciya boladı. |
|
|
|
|
|
Eger f ( x) funkciyanıń |
a noqattaǵı limiti b sanına teń |
||||
bolsa, onda |
( x) : f ( x) b funkciya |
a noqatta |
sheksiz |
||
kishi funkciya. |
|
|
|
|
|
Eger f (x) funkciyanıń |
a noqattaǵı |
limiti b |
sanına teń |
||
bolsa, onda |
bul funkciyanı |
f (x) b (x) kórinisinde jazıw |
múmkin, bul jerde (x) a noqatta sheksiz kishi funkciya.
22-anıqlama. Noqattaǵı limiti sheksiz funkciya usı noqatta sheksiz úlken funkciya dep ataladı.
Argumenttiń a sanınan úlken (kishi) mánislerinen dúzilgen, a noqatqa jıynaqlı xn izbe-izlikke sáykes funkciyanıń dara mánislerinen dúzilgen A( xn ) izbe-izlik bazı bir nomerden baslap hámme elementi yaki oń, yaki teris sanlar bolǵan sheksiz
úlken izbe-izlik bolsa, |
onda A( x) funkciya a |
noqatta ońnan |
(shepten) sheksiz |
úlken funkciya dep |
ataladı hám |
lim f (x) ( lim |
f (x) ) |
yaki |
x a 0 |
|
x a 0 |
|
lim |
f (x) |
( lim f (x) ) dep jazıladı. Geyde |
|
x a 0 |
|
x a 0 |
|
|
A(a 0) |
( A(a 0) ) yaki |
A(a 0) ( A(a 0) )
simvollarınan da paydalanıladı.
Sheksiz kishi hám sheksiz úlken funkciyalar da sheksiz kishi hám sheksiz úlken izbe-izliklerdiń qásiyetlerine uqsas qásiyetlerge iye boladı.
110
10. Noqatta sheksiz kishi funkciya bolǵan shekli sandaǵı funkciyalardıń qosındısı hám kóbeymesi usı noqatta sheksiz kishi funkciya.
20. Noqattıń bazı bir dógereginde shegaralanǵan funkciyanıń usı noqatta sheksiz kishi funkciyaǵa kóbeymesi usı noqatta sheksiz kishi funkciya.
30. Eger ( x) funkciya a noqattıń bazı bir dógereginde anıqlanǵan, usı dógerek noqatlarında nolden ózgeshe, sheksiz
kishi funkciya bolsa, onda |
|
1 |
|
funkciya a noqatta sheksiz úlken |
||||||
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|||
funkciya. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40. Eger |
A( x) funkciya |
a noqatta sheksiz úlken funkciya |
||||||||
bolsa, onda |
1 |
|
funkciya |
a |
noqatta sheksiz kishi |
funkciya |
||||
|
A(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Berilgen |
a |
noqatta |
sheksiz |
kishi |
eki funkciyanı |
salıstırıw |
||||
metodikasına toqtalamız. Meyli, ( x) |
hám (x) funkciyalar a |
noqattıń bazı bir dógereginde anıqlanǵan hám a noqatta sheksiz kishi funkciyalar bolsın.
1) Eger lim |
(x) |
0 |
bolsa, onda ( x) |
funkciya a noqatta |
|||||
|
|
x a |
(x) |
|
|
|
|
|
|
(x) |
funkciyaǵa qaraǵanda joqarı tártipli sheksiz kishi funkciya |
||||||||
dep |
ataladı |
hám |
( x) o( ( x)) |
( x a) |
dep |
||||
jazıladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) Eger |
lim |
(x) c |
(c 0, c 1) |
bolsa, onda |
(x) |
||||
|
|
x a |
(x) |
|
|
|
|
||
hám (x) funkciyalar a |
noqatta birdey tártiptegi sheksiz kishi |
||||||||
funkciyalar dep ataladı. |
|
|
|
|
111
|
3) |
Eger |
lim |
(x) |
1 |
bolsa, onda ( x) |
hám |
(x) |
||||||||
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
funkciyalar a noqatta |
|
ekvivalent sheksiz kishi funkciyalar dep |
||||||||||||||
ataladı hám (x) ~ (x) |
(x a) |
dep jazıladı. |
|
|
|
|||||||||||
|
12-teorema. |
Eger |
|
|
( x) ~ 1 (x) |
(x a) |
hám |
(x) ~ |
||||||||
(x) |
(x a) |
bolıp, |
|
lim |
1 (x) |
shekli limit |
bar bolsa, onda |
|||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
|
|
|
|
|
|
||
lim |
(x) |
limit |
te |
bar |
|
|
hám lim |
(x) |
lim |
1 (x) |
teńlik |
orınlı |
||||
x a |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
x a |
(x) |
x a |
(x) |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Berilgen a noqatta sheksiz úlken hám ońnan (yaki shepten) |
|||||||||||||||
sheksiz úlken funkciyalar da usılay salıstırıladı. |
|
|
|
|||||||||||||
|
Meyli, |
A( x) hám |
|
B( x) funkciyalar argumenttiń birdey |
||||||||||||
mánislerinde anıqlanǵan funkciyalar hám anıqlıq ushın |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
lim A(x) , |
lim |
B(x) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
x a 0 |
|
|
|
|
|
||
bolsın. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1). |
Eger |
A(x) |
funkciya a |
noqatta ońnan |
sheksiz |
úlken |
|||||||||
|
|
|
|
B(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
funkciya |
bolsa, |
onda |
|
|
A( x) funkciya |
a |
noqatta |
B( x) |
funkciyaǵa salıstırǵanda joqarı ósiw tártibine iye dep ataladı.
2). Eger A(x) |
funkciyanıń a |
noqattaǵı oń |
limiti |
nolden |
|
|
B(x) |
|
|
|
|
ózgeshe shekli sanǵa teń bolsa, |
onda A( x) |
hám |
B( x) |
funkciyalardıń a noqattaǵı ósiw tártibi birdey dep ataladı. Sheksiz kishi jáne sheksiz úlken funkciyalardı salıstırıw
mısalların keltiremiz. |
|
|
|
|
Mısallar. |
1) (x) x3 |
x5 |
hám (x) 5 x3 |
x4 |
funkciyalar |
x 0 noqatta |
birdey |
tártiptegi sheksiz |
kishi |
funkciyalar, sebebi
112