Matematikaliq analiz

2) Meyli,

b sanı f ( x) funkciyanıń

a noqattaǵı Geyne

anıqlaması boyınsha limiti bolsın. Usı

b sanı f (x)

funkciyanıń a

noqattaǵı Koshi anıqlaması

boyınsha da limiti

0 hám

jetkilikli

dárejede kishi 0

san ushın

0

x a

shártti

qanaatlandırıwshı keminde bir

x x

noqat tabılıp,

f (x) b

teńsizlik orınlı boladı.

Solay etip, biz

n

1

(n 1, 2, ) sanlardan dúzilgen izbe-

n

izlik alıwımız hám bul sanlardıń hár biri ushın 0

xn a

n

shártti

qanaatlandırıwshı

keminde

bir x

n

x noqat tabılıp,

f (xn ) b

teńsizlik

orınlı

boladı

dep

tastıyıqlawımız

múmkin eken.

0

xn a

n

teńsizlikler

xn izbe-izlik

elementleri

a noqattan ózgeshe, biraq a noqatqa jıynaqlı izbe-

izlik

ekenin

bildiredi.

Geyne

anıqlaması boyınsha

sáykes

f ( xn )

izbe-izlik b

san a jıynaqlı bolıwı

kerek, al bu an

ǵ

ǵ

hámme n

nomerler ushın orınlı bolǵan

f (xn ) b

teńsizlik

qarama-qarsı keledi. Demek, b sanı

f (x)

funkciyanıń a

Meyli,

y f ( x) funkciyanıń anıqlanıw oblastı bolǵan x R

kóplik

0 ushın

a noqattıń

U (a) (a,

a ) oń (

U (a) (a , a)

shep)

dógereginde

keminde bir

elementke iye bolsın.

14-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı bir tárepli limitiniń

Geyne

anıqlaması). Eger argumenttiń a sanınan

úlken (kishi)

a

noqattaǵı

oń

(shep)

limiti

dep

ataladı

hám

lim

f (x) b

( lim

f (x) b) yaki f (a 0) b

( f (a 0) b)

dep

x a 0

x a 0

jazıladı.

15-anıqlama. (Funkciyanıń noqattaǵı bir tárepli limitiniń

Koshi

anıqlaması). Eger 0 can

ushın

( )

sanı

tabılıp, a x a

(a x a) shártin

qanaatlandırıwshı

x x noqatta

f (x) b

teńsizligi orınlı bolsa, onda b

hám Koshi anıqlamaları ekvivalent.

Mısal. y sgn x funkciya

x 0 noqatta hám oń, hám

shep limitke iye hám lim sgn x 1,

lim sgn x 1. Bul

x 0 0

x 0 0

4-teorema. lim f (x) b bolıwı

ushın

f (x)

funkciya

a

x a

noqatta bir

tárepli

lim

f (x) hám

lim

f (x)

limitlerge

iye

x a 0

x a 0

bolıp

lim

f (x) lim

f (x) b teńlikler

orınlı

bolıwı

zárúr

x a 0

x a 0

hám jetkilikli.

Bul teorema keltirilgen anıqlamalardan tikkeley kelip shıǵadı.

Funkciyanıń x daǵı limiti

túsinigin kiritemiz. Bunıń

ushın

y f ( x) funkciyanıń anıqlanıw oblastı bolǵan

x R

kópliktiń 0

ushın

[ , ] kesindiniń sırtında keminde

bir elementi bar bolıwın talap etemiz.

16-anıqlama. (Funkciyanıń x daǵı limitiniń

Geyne

anıqlaması).

Argumenttiń mánisleriniń qálegen sheksiz

úlken

xn

izbe-izligi ushın

funkciyanıń

sáykes

dara

mánisleriniń

f ( x

n

) izbe-izligi b sanına jıynaqlı bolsa, onda

b sanı

f (x) funkciyanıń x daǵı limiti dep ataladı

hám

lim f (x) b dep jazıladı.

x

17-anıqlama. (Funkciyanıń x daǵı limitiniń

Koshi

anıqlaması). Eger 0 can ushın

( ) sanı tabılıp,

x

shártin

qanaatlandırıwshı

x x noqatta

f (x) b

teńsizligi orınlı bolsa, onda

y f ( x)

funkciyanıń x daǵı limiti b sanına teń deymiz.

Funkciyanıń

argumenti málim

belgidegi

sheksizlikke

funkciyanıń anıqlanıw oblastı

bolǵan

x R kópliktiń

0 ushın noqattıń oń

tárepinde

( noqattıń

shep

tárepinde) keminde bir elementi bar bolıwın talap etemiz.

18-anıqlama. (Funkciyanıń

x

( x )

daǵı

onda b sanı f (x)

funkciyanıń

x

( x ) daǵı

limiti dep ataladı hám

lim

f (x) b

( lim f (x) b)

x

x

dep jazıladı.

19-anıqlama. (Funkciyanıń

x

( x ) daǵı

sanı tabılıp, x

( x )

shártin

qanaatlandırıwshı

x x

noqatta

f (x) b

teńsizligi

orınlı bolsa, onda

y f ( x)

funkciyanıń

x

( x ) daǵı limiti b

10. Eger lim f (x) b bolıp,

b p

(b q) bolsa, onda a

x a

noqattıń

0

dógeregi

tabılıp,

0

noqatta

U (a)

x U (a)

f (x) p

( f (x) q) teńsizlik orınlı boladı.

Dara jaǵdayda, eger lim f (x) b bolıp,

b 0

(b 0) bolsa,

x a

onda a

0

0

noqattıń U (a) dógeregi tabılıp,

x U (a)

noqatta

f ( x) 0

( f ( x) 0) teńsizlik orınlı boladı.

20. Eger

lim f (x) b bolsa, onda

a noqattıń

0

U (a)

x a

dógeregi

tabılıp, bul dógerekte f (x)

funkciya

shegaralanǵan

boladı.

Dálillew.

lim f (x) b bolsa, funkciyanıń noqattaǵı limitiniń

x a

0

Koshi anıqlaması

boyınsha

argumenttiń

U (a) dógerekten

alınǵan

mánislerinde

f (x) b

teńsizlik orınlı. Bul teńsizlik

b

f (x) b

teńsizliklerge

ekvivalent. Al bul f (x)

y sin

1

funkciya shegaralanǵan (dara jaǵdayda, x 0

x

30. Meyli,

f (x)

hám g (x) funkciyalar x R kóplikte

anıqlanǵan, a noqat x kópliktiń limit noqatı bolsın.

0

Eger

x U (a)

noqatta

f ( x) g ( x) teńsizlik orınlansa

hám f (x) hám g (x)

funkciyalar a noqatta shekli limitke iye

bolsa, onda lim f (x) lim g(x) teńsizlik orınlı boladı.

x a

x a

40.

0

Eger

x U (a)

noqatta f ( x) h( x) g ( x)

teńsizlikler orınlansa hám lim f (x) lim g(x) b bolsa, onda

x a

x a

lim h(x) b boladı.

x a

boyınsha n N ushın

f (xn ) h(xn ) g(xn ) teńsizlikler

orınlı. 3- baptıń 6- teoreması boyınsha h(xn ) izbe-izlik te b

sanǵa jıynaqlı boladı. Al

bul óz náwbetinde lim h(x) b

x a

lim[ f (x) g(x)] lim

f (x) lim g(x),

x a

x a

x a

lim[ f (x) g(x)] lim

f (x) lim g(x),

x a

x a

x a

f (x)

lim f (x)

lim

x a

( x U (a)

g(x) 0, lim g(x) 0)

x a

g(x)

lim g(x)

x a

x a

teńlikler orınlı.

Dálillew.

Meyli, lim f (x) b,

lim g(x) c

bolsın.

x a

x a

Elementleri

a

noqattan

ózgeshe, a

noqatqa jıynaqlı

qálegen

sáykes túrde,

b

hám

c sanlarǵa jıynaqlı. Jıynaqlı izbe-izlikler

ústinde arifmetikalıq

ámeller

haqqındaǵı

teorema

boyınsha

f (xn ) g(xn ,

f (xn ) g(xn ,

f (xn ) g(xn ,

f (xn ) g(xn )

izbe-izlikler, sáykes túrde,

b c,

b c,

b c,

b c (c 0)

sanlarǵa jıynaqlı. Al bul xn - elementleri

a noqattan ózgeshe,

a noqatqa

jıynaqlı

qálegen

izbe-izlik

bolǵanlıqtan Geyne

f (x) g(x),

f (x) g(x),

f (x) g(x), f (x) g(x)

funkciyalar

a

noqatta,

sáykes

túrde,

b c,

b c,

b c,

b c (c 0)

sanlarǵa teń limitke iye bolatuǵının

limitke iye bolıwı shárt

emes. Mısalı,

f (x) 1

sin

1

hám

x

1

funkciyalardıń qosındısı

f (x) g(x) 1

bolıp,

g(x) sin x

qálegen noqatta (dara jaǵdayda,

x 0 noqatta) 1 ge teń limitke

iye, biraq x 0 noqatta

f (x)

funkciya da, g (x)

funkciya da

t ( x) funkciya anıqlanǵan,

al

bul funkciyanıń t R

mánisler kópliginde y f (t)

funkciya anıqlanǵan bolıp, bul

funkciyalar járdeminde y f ( ( x))

quramalı funkciya dúzilgen

0

1) lim (x) c hám a noqattıń U (a)

dógeregi tabılıp,

x a

0

x U (a) noqatta (x) c bolsa;

2) c noqat t kópliktiń limit noqatı bolıp,

lim f (t) b bolsa,

t c

onda y f ( ( x)) quramalı funkciya

a noqatta limitke

iye hám lim f ( (x)) b teńlik orınlı boladı.

x a

Dálillew. Teoremanıń shárti boyınsha

lim f (t) b .

t c

0

ushın

( ) 0 tabılıp,

t U (c)

noqat ushın

f (t ) U

(b) boladı.

Endi teoremanıń shárti

boyınsha

lim (x) c

hám a

x a

noqattıń

U (a) dógeregi

tabılıp,

x U (a)

noqatta

0

ushın

( ) 0

tabılıp,

x U (a)

noqat

ushın

(x) U

0

0 ushın ( ) 0

(c) boladı. Solay etip,

0

0

tabılıp,

x U (a)

noqat ushın

t (x) U (c)

hám

f (t ) U

(b) boladı. Bul

lim f (t) lim f ( (x)) b

teńlik

t c

x a

orınlı bolatuǵının bildiredi. ▲

0

Eskertiw. Teoremadaǵı

a noqattıń U (a)

dógereginde

(x) c

bolıw shártin

f (t)

funkciya t c noqatta

anıqlanǵan hám lim f (t) f (c) b

teńlikler orınlı bolıw shárti

t c

f ( (x)) b

0

boladı. Solay etip, x U (a) noqat ushın

shegaralanǵan

funkciya bolsın. Onda funkciyanıń mánislerinen

dúzilgen

y f (x) :

x x

kóplik

joqarıdan

shegaralanǵan

bolıp, dál

joqarǵı

shegaraǵa iye

boladı:

x x

san ushın x x noqat

noqat ushın

f (x) b bolıp, 0

tabılıp,

f ( x ) b teńsizlik orınlı boladı.

f (x) funkciya x

kóplikte ósiwshi bolǵanlıqtan

x x teńsizlikti qanaatlandırıwshı

x x noqat

ushın

f (x) b

teńsizlik orınlı. Nátiyjede

b f (x) b b

teńsizliklerge

kelemiz. Al bul

b san

f (x) funkciyanıń limiti

ekenin bildiredi. Dálillew procesinde

eger a shekli san bolsa,

x a

( a x )

dep, al a sheksiz

bolsa, x M 0 dep alınıwı kerek.

Endi f (x) funkciya

x kóplikte ósiwshi hám joqarıdan

shegaralanbaǵan

funkciya

bolsın. M 0 san ushın (bul san

qanday úlken san bolsa da) x

x noqat tabılıp, f (x ) M

teńsizlik

orınlı

boladı.

x x

teńsizlikti

qanaatlandırıwshı

x x

noqat

ushın

f ( x)

f ( x )

teńsizlik

orınlı

bolǵanlıqtan, bunday noqatlar ushın

f ( x) M teńsizlik orınlı.

Bul lim f (x) bolatuǵının bildiredi. ▲

x a

x R kóplik berilgen bolıp,

a noqat (shekli yaki

)

bul kópliktiń limit noqatı bolıp,

x x ushın

x a

teńsizlik orınlı bolsın.

f (x)

funkciya x kóplikte anıqlanǵan

bolsın.

8-teorema. Meyli,

f (x)

funkciya x

kóplikte kemiwshi

yaki f (x)

g(x)

funkciyanıń

a noqattaǵı

limiti qaralǵanda

lim g(x) 0 bolsa, onda hár qıylı anıq emeslikler payda boladı.

x a

Meyli,

f x

hám g (x)

funkciyalar

x R kóplikte

1) Eger lim f (x) lim g(x) 0 bolsa, onda

f (x)

bólshek

0

0

x a

x a

g(x)

kórinisindegi anıq emeslik dep ataladı.

2)

Eger

f x hám g (x) funkciyalardıń hár birewiniń

a

noqattaǵı limiti sheksiz bolsa, onda f (x)

bólshek kórinisindegi

g(x)

anıq emeslik dep ataladı.

3)

Eger

lim f (x)

( ),

lim g(x)

( )

x a

x a

bolsa,

onda

f ( x) g ( x)

qosındı kórinisindegi

anıq

emeslik dep ataladı.

4)

Eger

lim f (x) 0,

lim g(x) bolsa, onda f (x) g(x)

x a

x a