Joqari matematika paninen lekciyalar

Sheshiliwi. Bul betti

f x

r 2 x2

r x r

r

2x

2

r

x2

S 2

r 2 x2

1

2 dx

2 r 2 x2 1

dx

r

2

x

r2

x2

r

2

r

r

r 2 x2

r

dx

2 r x

2 r r r 4 r2.

2

r

r

r

2

x

2

r

shekliligi h’ámde f x

funkciyanıń

úzliksiz bolıwı talap etildi.

Ayırım

jaǵdaylarda bul eki talaplardan biri yamasa ekewide orınlanbay qalıwı múmkin.

1. Sheksiz aralıq boyınsha integral

Meyli f x funkciya

a,

aralıqta úzliksiz bolsın.

Onda

A

f x dx

a A

a

integral bar bolıp, onıń mánisi A ǵa baylanıslı boladı.

Mına

A

lim

f

x dx

(1)

A

limit f x funkciyanıń a,

a

aralıq boyınsha menshiksiz integralı

delinedi

f x dx

a

(2)

kórinisinde belgilenedi:

A

lim

f x dx A f x dx .

a

a

x 2

Mısallar 1.

1

dx integralın tabıń.

1

1

Sheshiliwi. f x

funkciya 1, da úzliksiz h’ám

x2

A 1

A

x 2 1

A

1

A

1

x2 dx x 2dx

1

2 1

x

A

1

1

1

1

boladı. A da limitke ótip tabamız:

A

1

dx lim

1

lim

1

1.

A 1 x2

A

A

Demek,

1

dx 1.

x 2

1

2.

x3dx integraldı tabıń.

0

Sheshiliwi. Menshiksiz integral túsiniginen paydalanıp tabamız:

A

x

4

A

1

x3dx lim x3dx

lim

lim

A4 .

A

A 4

A 4

0

0

0

3.

cos xdx tabıń.

0

Sheshiliwi.

Bul f x cos x

funkciyanıń

0, aralıq boyınsha

menshiksiz integralı bar bolmaydı, sebebi

A

lim cos xdx

lim sin x

A lim sin A

A

A

0

A

x3dx,

cos xdx

0

0

menshiksiz integrallar taralıwshı boladı.

dx

a 0, 0 menshiksiz integraldı jıynaqlılıqqa tekseriń.

Mısal.

x

a

Sheshiliwi. Menshiksiz integral túsinigi boyınsha

1

lim A dx

lim A x d x

1

A

lim

1

1

dx

lim

x

x

A

x

A

A

1

1

1

A A

a

a

a

a

a

boladı.

Eger 1

bolsa

lim

1

1

1

1

1

A

A

1

a

a

bolıp,

dx

a

x

menshiksiz integral jıynaqlı boladı.

Eger

0 1 bolsa,

1

1

lim

1

1

A

A

a

bolıp,

dx

a

x

2. Shegaralanbaǵan funkciyanıń menshiksiz integralı

Meyli f x funkciya b noqatınıń

b , dógereginde

0

Bul funkciya a,b da úzliksiz h’ám

b

f x dx

a

integral ǵa baylanıslı boladı.

Mına

b

lim

f x dx

0

a

limit shegeralanbaǵan

f

x funkciyanıń

menshiksiz integralı delinedi h’ám

tómendegishe

b

f x dx

a

belgilenedi:

b

b

0 f x dx .

f

x

dx lim

a

a

1

dx

Mısallar. 1.

integralı tabılsın.

1 x

0

Sheshiliwi. Integral astındaǵı

f x

1

1 x

1

1

1

1

1

1

1

dx

1 x

2

1

1 x

d 1 x

2 1 x 2

2

1

1

x

0

0

1

0

2

0

1

1

1

2

1 1

2 1 0 2

2

2

1

2 2

boladı. 0

da limitke ótip tabamız:

1

dx

0

0

1 x

lim