Joqari matematika paninen lekciyalar

Meyli f

x hám

x t funkciyalar tómendegi shártlerdi orınlasın:

1)

f x

funkciya

a,b segmentke úzliksiz;

2)

x t funkciya

, da úzliksiz, úzliksiz

t tuwındıǵa

iye

bolıp, onıń mánisleri a,b nı payda etsin;

3) a, b

Onda

b

f x dx f t t dt

(2)

a

e

dx

1

x 1 ln 2 x

Sheshiliwi. Bul integralda

ln x t

dep alamız. Onda

e

dx

1

dt

1

1 t 2

x 1 ln2 x

arctg t

0

4

1

0

Meyli u u x hám

v v x funkciyalar a,b segmentte úzliksiz hám

úzliksiz

x hám

x tuwındılarǵa iye bolsın. Onda tómendegi bóleklep

u

v

b

b

udv uv

ba

vdu .

(3’)

a

a

dep alamız. Onda

dv dx,

v exdx ex

bolıp, (3’) formula boyınsha

2

2

2

2

2

e e

xe

x

dx x e

x

x

x e

x

e

x

e dx

2

2

2

1

1

1 2e

e e

1

1

boladı.

2. İntegraldı esaplań

1

arctg xdx .

0

Sheshiliwi. Bul integralda

u arctg x,

dv dx

b

b

S1 f1 x dx,

S2 f2 x dx

a

a

Maydanlar arqalı tómendegi

b

b

b

S

f2 x dx

f1 x

dx

f2

x f1 x dx

(2)

a

a

a

formula menen tabıladı.

Mısal. y x2 1

iymegi hám

x y 3

tuwrısı menen shegaralanǵan

figuranıń maydanın tabıń.

Sheshiliwi. y x2

1 parabola

hám

x y 3

tuwrıları

menen

shegaralanǵan figura 3-sızılmada súwretlengen

b

1

f 2

x dx.

(3)

a

formulası menen esaplanadı.

Mısal. Tómendegi funkciya grafigin ańlatıwshı doǵanıń uzınlıǵın tabıń:

f x

3

0 x 4 .

x

2

Sheshiliwi. a 0, b 4,

3 2

9

9

2

2

2

f

x x

x,

1 f x

1

x

4

4

bolıwın esapqa alıp, (3) formuladan paydalanib topamiz:

4

9

9

4

1

xdx

1

x

t, x

0 da t

1, x 4 da t 10, dx

dt

0

4

4

9

2 t 2 t dt

(5)

integralı járdeminde tabıladı.

Mısal.

t

a t sin t ,

0

t

t

a 1 cost

teńlemeler sisteması menen

anıqlanǵan doǵanıń (sikloidanıń)

uzunlıǵın

2 t 2 t

a2 1 cos t 2 a2 sin2 t a

2 1 cos t

boladı. Endi 0,

2 dep,

(5) formuladan paydalanıp, iymek sızıqtıń uzunlıǵın tabamız:

2

2

2

2

2

t

t

t dt

a

2 1 cost dt a

4 sin

2 dt

0

0