Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Joqari matematika paninen lekciyalar

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2024

Размер:

1.38 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

5 7x

x3 2x2 x 2

x 1

x 2

x 1 x 1 x 2

kóriniste jazamız. Bul

teńliktiń

hár

eki tárepin

x 1 x 1 x 2 ge

kóbeytemiz:

5 7x A x 1 x 2 B x 1 x 2 C x 1 x 1

A B C x2 A 3B x 2 A 2B C .

xtiń birdey dárejeleri aldındaǵı koeffitsientlerin teńlestirip nátiyjede

A B C 0 ,

A 3B 7 ,

2 A 2B C 5

teńlemeler sisteması payda boladı. Onı sheship, tómendegini tabamız:

A 1, B 2, C

3 .

Natiyjede

5 7x

x3 2x2 x 2

x 1

x 2

boladı.

x2 1

x3 x2

bólshek ápiwayı bólsheklerge jayılsın.

Sheshiliwi.

x2 1

x3 x2

x2 x 1

(2) teńlik boyınsha

x2 1

x2 x 1

x x2

x 1

bóladi. Keyingi teńlikten

x2 1 A x2 x B x 1 Cx2

hám

A C 1,

A B 0,

bolıwı kelip shıǵadı. Bul sistemanı sheship

A 1, B 1, C 2

hámde

x2 1

x2 x 1

x 1

bolıwın tabamız.

x2 2x 1

x 1 x2 1 bólshek ápiwayı bólsheklerge jayılsın.

Sheshiliwi. (2) qatnas boyınsha

x2 2x 1

Bx C

x2 1

x 1 x2

x 1

boladı. Bul teńlikten

x2 2x 1

A x2 1 Bx C x 1

A B x2 C B x A C

hám

A B 1,

C B 2 ,

A C

bolıwın tabamız. Sistemanıń sheshimi

A 1, B 0, C 2 bolıp,

x2 2x 1

x 1 x2 1

x 1

x2 1

boladı.

3x2 1

x 1 x2 1 2

bólshek ápiwayı bólsheklerge jayılsın.

Sheshiliwi. (2) teńlikten paydalanamız:

P1 x .

Q x

3x2 1

Bx C

Dx E

x 1 x2 1 2 2

x 1

x2 1

Keyingi teńlikte bólimnen

qutılıp,

tiń

birdey

dárejeleri aldındaǵı

koeffitsientlerdi teńlep tómendegi

A D 0 ,

E D 0 ,

2 A B E 3,

B C E D 0 ,

A C E 1

sistemaǵa kelemiz. Onı sheshemiz

A 1, B 1, C 1, D 1, E 1.

Demek,

3x2 1

x 1

x 1 x2 1

x 1

x2 1

3. Ratsional funkciyalardı integrallaw.

f x

P x

ratsional funkciyani qaraymız, bunda

P x hám

Q x – kópaǵzalılar.

Eger

P x

Q x

da alımındaǵı kópaǵzalınıń dárejesi bólimindegi kópaǵzalınıń dárejesinen úlken bolsa, onıń alımın bólimine bólip, pútin ratsional funkciya hámde durıs bólshekler

kórinisinde tómendegishe ańlatıladı:

P x R x

Q x

Onda

					P	x dx R x dx P1 x dx
						x dx R x dx P1 x dx
					Q x
					Q x			Q x
boladı, bunda	R x dx			– pútin ratsional funkciyanıń integralı sıpatında ańsat
		P x
esaplanıladı,		1	dx	– durıs bólshektiń			integralı, integral astındaǵı durıs
esaplanıladı,		Q x	dx	– durıs bólshektiń			integralı, integral astındaǵı durıs

bólshekti ápiwayı bólsheklerge jayıp esaplanıladı.

Mısallar. 1.

3x2

x3 4x2 4x

integralın esaplań.

Sheshiliwi. Integral

astındaǵı durıs

bólshekti ápiwayı

bólsheklerge

jayamız:

x3 4x2 4x x x2 4x 4 x x 2 2 ,

3x2 8

4x2

x 2

3x2 8

A B x2 4 A 2B C x 4 A ,

A B 3,

2B C 0,

A 2, B 1, C

10 ,

3x2 8

x x

2 .

Nátiyjede

x 2

x3 4x2

x 2 2

x 2

2 ln

ln x

x 2

d x 2

x 2

boladı.

x3 4x2 2x 1

integralın esaplań.

Sheshiliwi.

Integral

astındaǵı

durıs

bólshekti

ápiwayı bólsheklerge

jayamız:

x3 4x2 2x 1

Cx D

x x 1 x2 x 1 ,

x x 1 x2 x 1

x3 4x2 2x 1 A x3 1 Bx x2 x 1 Cx D x2 x

A B C x3 C D B x2 B D x A ,

A B C 1,

C D B 4 ,

B D

2 ,

A 1,

Bul sistemanı sheship

A 1, B 2, C 2, D 0 ,

x3 4x2 2x 1

Nátiyjede

x4 x

x x 1

x2 x 1 .

x 1

xdx

ln| x | 2ln| x 1|

x4 x

x 1

2 1 ln x2

x 1 2

arctg 2x 1 C

boladı, bunda

xdx

x 1

integraldı esaplaw ushın (1) qatnasınan paydalanıladı.

Trigonometriyalıq funkciyalardı integrallaw.

x 2arctgt

I. Meyli f x funkciya			sin x hám cos x			lar ústinde arifmetriyalıq
ámeller orınlanıwınan payda bolsın.
Máselen,
1				sin x cos x		f x	sin x 4cos x
f x		,	f x		,			.
	2sin x cos x 5			sin x cos x			sin2 x

Bunday funkciyalardı integrallaw

tg x t

orın almastırıwı menen ratsional funkciyalardı integrallawǵa keltiriledi. Bul orın almastırıw járdeminde sin x , cos x lar t nıń ratsional funkciyalarǵa aylanadı:

2sin

2 cos

2tg

sin x

sin

cos

1 t2

cos x

cos2

x sin2

1 tg2

1 t

sin

cos

dx d 2arctg t

dt .

1 t2

Mısallar 1. Tómendegi integraldı esaplań

3sin x 4cos x 5

Sheshiliwi. Bul integralda

almastırıwın orınlaymız. Onda

1 t2

sin x

cos x

1 t2

1 t 2

bolıp, integral

	2	dt	dt
dx	1 t2	dt	dt

						2t		4					5
3sin x 4cos x 5					3				1	t2						6t		4 1 t		2		5 1 t	2

									1	t		2
						1 t	2					2
							2

2			dt	2 t 3 2 d t 3									2		C			2			C .
2	t	2	6t 9	2 t 3 2 d t 3							t			3	C		3 tg		x		C .
	t		6t 9								t			3			3 tg
																			2

boladı.

2. Tómendegi integraldı esaplań

sin x.

Sheshiliwi. Bul integralda da tg x t almastırıwın orınlaymız. Nátiyjeje 2

dt ln

tg x

1 t2

sin x

1 t 2

bolıwın tabamız.

II. Ayırım jaǵdaylarda trigonometriyalıq funkciyalardı integrallaw

sin x t,

cos x

t, tgx

orın almastırıwları qolaylı boladı.

Mısal. Tómendegi integraldı esaplań

dx .

cos6 x

Sheshiliwi. Bul integralda

tgx t

almastırıwın alamız. Onda

d tgx

dx,

dx dt ,

cos2 x

1 t

1 tg x,

1 tg x

cos2 x

cos4 x

bolıp, integralımız

1 t2

cos6 x

cos4

cos2 x

1 2t

tg x 2 tg3 x 1 tg5x C

t dt

t 2

boladı.

III.

sin nxsin mxdx ,

cos nx cos mxdx

hám

sin nx cos mxdx kórinistegi

integrallardı esaplawda tómendegi

sin sin

cos

cos ,

cos cos

cos

cos ,

sin cos

sin sin

formulalarınan paydalanıladı.

Mısal. Tómendegi integraldı esaplań

sin nx sin mxdx .

Sheshiliwi. Joqarıdaǵı formuladan paydalanamız:

sin nx sin mxdx

cos n m cos n m dx

cos n

m dx cos n m dx .

a) Meyli n m bolsın. Onda

cos n m dx

cos n m d n m x

sin n m x C ,

n m

cos n m dx

sin n m x C

n m

bolıp,

sin nx sin mxdx

sin n m x

sin n m x C

n m

2 n

boladı.

b) Meyli n m bolsın. Onda

	cos n m xdx		dx		x C
cos n m xdx	cos 2nxdx	cos 2nxd 2nx				1	1 sin 2nx C
cos n m xdx	cos 2nxdx	cos 2nxd 2nx					1 sin 2nx C
						2n	2n
bolıp,
sin nx sin mxdx		1		1
			x		sin 2nx	C
			x		sin 2nx	C
				2n
		2		2n

boladı.

İrratsional funkciyalardı integrallaw

Kópshilik jaǵdaylarda irratsional hám trigonometriyalıq funkciyalardı

integrallaw ózgeriwshilerdi

almastırıw

menen ratsional funkciyalardı

integrallawǵa keltiriledi.

I. Meyli f x

funkciya

x hám onıń

hár

qıylı bólshek dárejeleri

ústinde arifmetikalıq ámeller orınlanıwınan payda bolsın. Máselen,

f x

1/ 2

1/ 3

f x 1

3 x

, f

x 1 5 x .

Bunday funkciyalardı integrallaw

x t

almastırıwı menen ratsional funkciyalardı integrallawǵa keltiriledi, bunda sanı

f x ańlatpadaǵı x

tıń dárejelerinde qatnasqan bólshekler

bólimleriniń eń

kishi ulıwma eseligi.

Mısallar 1.

integraldı esaplań.

Sheshiliwi. Integral astındaǵı funkciya

1 3 x

1 x

ańlatpasındaǵı x tıń dárejeleri 1

hám 1

bolıp, bul bólshek bólimleri 2 hám

3 lerdiń eń kishi ulıwma eseligi 6

ǵa

teń. Usı sebepli

x t6 almastırıwın

alamız. Onda dx 6t5dt

bolıp

6t5dt

1 t

t 2dt

1 t2 t2dt

6 t

arctg t C

1 t

arctg 6

C .

6 6 x

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 96 7 8 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб4Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб16Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб13Matematikaliq analiz.pdf
#
10.08.20246.32 Mб73Matematikani oqitiw metodikasi.pdf
#
10.08.20241.7 Mб4Tenlemeler ham tensizlikler.pdf