Joqari matematika paninen lekciyalar
.pdf
|
3) Giperbolalıq |
сilindr |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
1. |
|
|
Jasawshıları |
Oz |
kósherine |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
parallel, Oxu tegisligindegi baǵıtlawshısı - giperbola; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4) |
|
|
Parabolalıq |
сilindr |
|
|
|
|
|
|
y 2 2z . |
|
|
Jasawshıları |
Ox |
kósherine |
||||||||||||||||||||||||||||||||
parallel, Oxz tegisligindegi baǵıtlawshısı - parabola. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Aynalıw betleri: a) Ouz |
tegisliginde |
|
F y, z 0 |
|
|
teńlemesi menen |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
berilgen L sızıǵı n Ou kósher dógereginde aynaldirilǵanda payda bolǵanbet |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
teńlemesin alıw ushın bul sızıq teńlemesindegi z ózgeriwshisin |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 2 z 2 |
qa ózgertip, u ti ózgerissiz qaldiramiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
b) |
Oxz |
tegisligindegi |
|
|
|
|
|
|
sızıqtı |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ox |
|
|
kósheri |
dógereginde |
||||||||||||||||||||||||||
aynaldırıwdan payda bolǵan bet teńlemesin alıw ushın z ti |
|
|
|
у 2 |
z 2 |
qa |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ózgertip, x ti ózgerissiz qaldiramiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
v) |
Oxz |
tegisligindegi |
|
|
|
|
|
|
sızıqti |
|
|
|
|
|
|
Oz |
|
|
kósheri |
dógereginde |
||||||||||||||||||||||||||||
aynaldırıwdan payda bolǵan bet teńlemesin alıw ushınózgertip, z |
|
x 2 |
z 2 |
qa |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ti ózgerissiz qaldiramiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
g) Ouz tegisligindegi sızıqti Oz kósheri dógereginde aynaldırıwdan |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
payda bolǵan bet teńlemesi alıw ushın u ti |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
у 2 |
qa ózgertip, z ti |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ózgerissiz qaldıramiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Bulardı Ulıwmalastirip tabliсada kórsetiw múmkin: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
Iymekliktiń |
|
|
|
|
|
|
Aylaniw kósheri |
|
|
|
|
|
|
|
|
Aylanıw betiniń |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
teńlemesi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńlemesi |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
F x; y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x, |
y 2 z 2 0 |
||||||||||
|
|
|
|
z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ou |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x2 z 2 , y 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
F x; z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ox |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x, y 2 z 2 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x2 y 2 , z 0 |
|||||||||||
|
|
|
|
F y; z 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ou |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F y, x2 z 2 0 |
|
||||||||||
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oz |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x2 y 2 , z 0 |
|||||||||||
|
Misalı, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1) Aynalıw ellipsoidı. Oz dógereginde Oxz tegisligindegi ellipsti |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
z 2 |
|
|
|
x2 y 2 z2 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
aynaldirsaq kelip shıǵadı: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
a2 |
2 |
|
|
b2 2 |
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
Ulıwma ellipsoid |
|
|
|
|
y |
|
|
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a 2 |
|
|
b2 |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
2) Giperboloid. Ouz tegisligindegi |
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
z |
2 |
giperbolanı: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
c 2 |
|
|
|
|
x 2 y 2 |
|
|
z 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
Oz |
kósheri |
dógereginde aynaldırsaq, |
|
|
bir |
pálleli |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
y 2 |
|
|
z 2 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
giperboloidi kelip shıǵadı. Ulıwma túri |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
31
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
x2 |
z 2 |
|
||
Ou kósheri dógereginde |
aynaldırsaq |
eki |
|
pálleli |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||||||||
|
b2 |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
c 2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
giperboloids kelip shıǵadı. Ulıwma túri |
|
|
x2 |
y2 |
|
|
z 2 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) Paraboloid. Ouz tegisligindegi |
|
y 2 |
2 pz |
|
Parabolanı Oz kósheri |
|
|||||||||||||||||
dógereginde aynaldirip aynalıw |
|
|
|
|
|
x 2 y 2 2 pz |
paraboloidin alıw múmkin. |
|
|||||||||||||||
Elliptik paraboloid: |
|
x 2 |
|
|
y 2 |
2z, pz 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Giperbolıq paraboloid: |
x 2 |
|
|
y 2 |
2z . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3.Konuslıq betler.
4.sızıqlı betler. Tuwrı sızıqtıń xáreketleniwinen payda bolǵan bet sızıqlı bet dep, onda jatatuǵın tuwrı sızıqlar jasawshılar dep ataladı.
Ekinshi tártipli сilindrlik hám konuslıq betler, giperbloloidlar sızıqlı betlerdıń mısalı bolıp tabıladı.
MATEMATÍKALÍQ ANALIZGE KIRISIW
1. |
Elementar funkсiya |
Anıqlama: Eger x ózgeriwshisiniń qandayda bir D kopliginen alınǵan hár bir mánisine qandayda bir kopliginen alınǵan y ózxgeriwshisiniń birden – bir anıq manisi saykes qoyılǵan bolsa onda y ózgerıwshisi x ózgerıwshisiń funkсiyası delinedi hám
y f (x) , |
y (x) , y (x) |
túrinde belgilenedi. |
|
|
|
|
|
||
x |
ózgerıwshisinıń |
f (x) |
funkсiyası |
mániske |
iye bolatuǵın |
||||
mánisleri |
kópligi funkсiyanıń anıqlanıw oblastı |
|
delinedi. Ol |
D( f ) |
|||||
korinisinde belgilenedi. Dara jaǵdayda |
|
x x0 |
y0 f (x0 ) |
|
|||||
|
y |
x x 0 y0 . |
|||||||
Funkсiya qabıl e tetuǵın mánisleri |
kópligi |
onıń |
|
|
ózgeriw |
||||
oblastı dep ataladı hám ol |
( f ) |
korinisinde |
belgilenedi . |
|
|
|
|||
32
Eger |
u f (x) funkсiyası |
D( f ) |
oblastın |
|
( f ) oblastına oz ara |
||||||||||||||
bir mánisli |
sawlelendirse , onda x |
tı |
|
y arqalı bir mánisli ańlatıw |
|||||||||||||||
mumkin: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x ( y) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Payda bolǵan funkсiya |
|
u f (x) |
funkсiyasına |
keri |
funkсiya dep |
||||||||||||||
ataladi. |
u f (x) |
há |
x ( y) funkсiyaları oz ara keri funkсiyalar |
|
|
||||||||||||||
boladı. |
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Adette, |
keri |
|
x ( y) |
|
funkсiyası |
|
x |
hám |
y tıń orınların |
||||||||||
almastırıw nátiyjesinde |
standart |
koriniste jazıladı. |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Eger f (x) f (x) |
yamas |
f (x) f (x) teńlikler |
orınlı |
bolsa, onda |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) funkсiyası saykes turde |
taq yamasa jup |
funkсiya |
dep |
ataladi |
|
keri |
|||||||||||||
jaǵdayda funkсiya jup hám e mes taq hám emes boladı. |
|
|
|
|
|||||||||||||||
Eger |
T 0 |
turaqlı sanı |
bar |
bolıp, |
hár bir |
|
|
|
x D( f ) |
hám |
|
|
|||||||
(x T ) D( f ) |
ushın |
f (x T ) f (x) |
teńligi |
|
orrınlı |
|
bolsa, onda |
f (x) |
|||||||||||
funkсiyası T periodli funkсiya |
delinedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Tómendegi |
funkсiyalar |
tıyqarǵı |
|
elementar |
funkсiyalar |
dep |
|||||||||||||
ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a) |
y xa |
dárejeli |
|
funkсiya, bunda |
|
a R ; |
anıqlanıw oblastı |
||||||||||||
D( f ) hám mánisler oblastı |
|
E( f ) |
a ǵa baylanıslı boladı. |
|
|
|
|
||||||||||||
b) y ax |
korsetkichli |
|
funkсiyası, |
bunda |
a 0, a 1, |
D( f ) R , |
|||||||||||||
E( f ) (0, ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v) y loga x |
logarifmlıq |
|
funkсiya ,bunda |
|
|
a 0 , |
a 1, |
D( f ) (0, ), |
|||||||||||
E( f ) R . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
g) Trigonometriyalıq funkсiyalar: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
y cos x, |
D( f ) R , |
E( f ) 1; 1 , |
T0 |
2 , |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y sin x, |
D( f ) R , |
E( f ) 1; 1 , |
T0 |
2 |
, |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
33
y tgx, |
D( f ) x |
|
k; k Z , |
E( f ) R |
, T |
. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u f (x) funkсiyası bazı-bir kesindide ósiwshi (kemiwshi) dep ataladı, |
|
||||||||||||||
eger usı |
kesindige tiyisli |
bolǵan |
|
x1 x2 |
teńsizligin qanaatlandıwshı |
|
|||||||||
qálegen x1 , x2 |
tochkaları |
ushın, |
f (x1 ) f (x2 ) |
f (x1) f (x2 ) |
teńsizligi |
|
|||||||||
orınlı bolsa. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eger |
f (x) funkсiyası |
a; b kesindisinde |
úzliksiz hám |
qálegen |
|
||||||||||
a x b |
tochkasında |
|
f (x) 0 f (x) 0 teńsizligin qanaatlandırsa, onda |
|
|||||||||||
usı aralıqta funkсiya ósiwshi (kemeyiwshi) boladı. |
|
|
|
|
|
||||||||||
Eger |
x0 tochkasınıń |
sonday dógeregi bar |
bolıp, qálegen x x0 tochkası |
|
|||||||||||
ushın |
usı |
dógerekte |
|
|
|
f (x) f (x0 ) |
teńsizligi |
orınlı bolsa, |
onda |
x0 |
|||||
tochkası y f (x) |
funkсiyasınıń minimum tochkası, al |
f (x0 ) |
sanı- y f (x) |
||||||||||||
funkсiyasınıń minimumı dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Eger |
x1 tochkasınıń |
sonday |
dógeregi bar |
bolıp, |
qálegen x x1 tochkası |
|
|||||||||
ushın |
usı dógerekte |
|
|
|
f (x) f (x1 ) |
teńsizligi |
orınlı bolsa, |
onda |
x1 |
||||||
tochkası y f (x) |
funkсiyasınıń |
maksimum tochkası, al |
f (x1 ) sanı |
- |
|||||||||||
y f (x) |
funkсiyasınıń minimumı dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
Maksimum hám minimum tochkaları funkсiyanıń ekstremum tochkaları, al |
|||||||||||||||
funkсiyanıń maksimumı hám minimumı funkсiyanıń ekstremumı depataladı. |
|
||||||||||||||
Eger |
x0 tochkası |
|
|
f (x) funkсiyasınıń ekstremum tochkası bolsa, onda |
|
||||||||||
f (x0 ) 0 boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Bul shárt ekstremumnıń bar bolıwınıń zárúrli shárti dep ataladı.Ulıwma |
|
||||||||||||||
alǵanda bul tastıyıqlawǵa keri bolǵan tastıyıqlaw orınlı emes: |
|
|
|
||||||||||||
f (x0 ) 0 shárti |
|
|
orınlı |
bolatuǵın |
|
xo |
tochkası |
funkсiyanıń |
|||||||
ekstremum tochkası bola bermeydi. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
|
|
|
Izbe-izliktiń shegi. Funkсiya shegi. |
|
|
|
||||||||
34
|
|
Anıqlama: Natural sanlar kópliginde |
anıqlanǵan |
funkсiya |
sanlı |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
izbe-izlik delinedi hám |
xn |
koriniste belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Eger, sonday |
|
oń |
sanı bar |
|
|
|
|
bolıp, hár |
|
qanday |
|
n natural |
sanı |
|||||||||||||||||
ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xn |
|
M |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
teńsızligi orınlı |
bolsa |
|
xn sheǵaralanǵan |
|
izbe-izlik dep ataladı. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
xn 1 xn |
teńsizligi orınlı |
|
bolsa, |
|
xn |
osıwshı |
izbe-izlik |
dep |
|||||||||||||||||||||||
ataladı. Keri |
jaǵdayda |
|
xn 1 xn |
|
bolsa, |
kemeyıwshı |
|
izbe-izlik |
|
dep |
|||||||||||||||||||||||
ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Osıwshı |
yamasa kemeyiwshi |
izbe-izlik |
|
monoton izbe-izlik |
dep |
|||||||||||||||||||||||||
ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Eger |
0 |
sanı |
ushın |
sonday |
|
N N ( ) 0 |
sanı |
bar |
bolıp, |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
barlıq |
|
n N |
ler |
ushın |
|
xn a |
|
|
|
teńsızligi |
orınlı bolsa, |
|
|
|
a |
sanı |
|||||||||||||||||
x izbe-izliginiń |
shegi |
|
|
dep |
|
|
ataladı. |
|
|
|
lim |
xn a |
turınde |
||||||||||||||||||||
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
Eger |
xn |
izbe-izligi shekli |
|
|
|
|
|
shekke |
iye |
bolsa, |
ol |
jıynaqlı |
|||||||||||||||||||
boladı, keri jaǵdayda taralıwshı izbe-izlik dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Xár qanday |
izbe – izlik sheǵaralanǵan hám monoton |
bolsa, onda ol shekli |
|||||||||||||||||||||||||||||||
shekke iye boladı . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Anıqlama: Eger hár qanday |
0 |
sanı ushın sonday |
|
( ) 0 |
sanı |
bar |
|||||||||||||||||||||||||||
bolıp, |
|
|
|
x a |
|
|
teńsizligin |
qanaatlandırıwshı |
|
barlıq |
x |
|
larda |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
f (x) b |
|
|
teńsızligi orınlı bolsa, b |
|
sanı |
|
|
|
f (x) |
funkсiyasınıń |
|
x a |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
daǵı shegi dep ataladı |
|
|
lim f (x) b |
turinde |
jazıladı. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
há |
x a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
f (x) funkсiyasınıń |
a |
tochkasındaǵı shep |
hám oń shekleri |
dep, saykes |
|||||||||||||||||||||||||||
turde |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a 0) lim f (x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (a 0) |
lim f (x) |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x a |
0 |
|
|
|
|
|
|
35
sanlarına aytıladı .
36
f (x) funkсiyasınıń |
x a daǵı shegi bar |
bolıwı zárur hám jetkilikli.Sheklerdıń
qasiyetleri: |
|
|
|
1) limC C , |
|
|
|
|
x a |
|
|
2) lim( f (x) g(x)) lim f (x) limg(x) , |
|||
|
x a |
x a |
x a |
3) |
lim( f (x) g(x)) lim f (x) limg(x) , |
||
|
x a |
x a |
x a |
4) |
lim( f (x) \ g( x)) lim f (x) \ limg( x), |
||
|
x a |
x a |
x a |
Bul shártler orınlansa , onda |
0 |
|
|
||
0 |
||
|
bolıwı ushın |
f (a 0) f (a 0) |
g(x) 0 .
|
|
|
|
, |
|
,0 korinisindegi ańıq |
|
|
|
|
|
emeslikler |
|
payda |
|
bolıwı |
mumkin. Bul |
ańıq |
e meslikler |
ayırım |
||||||||
jaǵdaylarda |
algebralıq |
almastırıwlar |
járdeminde |
ashıladı. |
|
|||||||||||
Kopshilik |
|
sheklerdi |
|
|
tabıwda |
tómendegi |
belgili |
formulalardan |
||||||||
paydalanıladı: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
sin a 1 –birinshi |
|
|
ájayıp |
shek; |
|
|
|
|
|
||||||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
(1 |
)x |
|
|
|
|
e – ekinshi |
ájayıp shek; |
|
|
|
||||||
|
(1 a)a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
lim |
|
|
x |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
a 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Tuwındı hám differenсial.
y f (x) |
funkсiyasınıń |
|
x0 tochkasındaǵı ósimi |
y tıń argument |
||||||||||
ósimi x |
ǵa |
qatnasınıń |
|
x |
nolge ımtılǵanda shekli shegi bar bolsa, |
|||||||||
bul shek |
y |
f (x) funkсiyanıń |
|
x0 tochkasındaǵı tıwındısı |
delinedi hám |
|||||||||
tómendegishe belgilenedi: |
|
y' , |
f '(x) , |
dy |
, |
df |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
dx |
|
|
||
|
' |
|
y |
|
f (x0 x) f (x0) |
|
|
|||||||
Yaǵnıy |
f (x0 ) lim |
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
turınde boladı. |
|||
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
|
|
x 0 |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Tuwındılar tablıсası:
37
|
|
Funkсiya |
|
Tuuındısı |
|
Funkсiya |
Tuuındısı |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
1. |
y c |
|
|
y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2. |
y x |
n |
|
|
nx |
n 1 |
|
|
y x |
|
y 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
y x |
|
y 1 |
|
|
|
y 1 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
x |
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3. |
y a |
x |
|
|
|
x |
|
ln a |
|
|
y e |
x |
|
|
e |
x |
|
|
|
|
||||
|
|
|
y a |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
4. |
y log a x |
|
y |
|
1 |
|
y ln x |
|
y 1 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x ln a |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||
|
5. |
y sin x |
|
y cos x |
|
y cos x |
y sin x |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
y tgx |
|
y |
|
|
1 |
|
y ctgx |
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 x |
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 x |
|
|
|
|
|||||
|
6. |
y arcsin x |
|
y |
|
1 |
|
y arccos x |
y |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
y arctgx |
|
|
|
|
|
y arcctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
|
|
1 x 2 |
|
|
|
|
||||||
|
7. |
y shx |
|
y chx |
|
y chx |
y shx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
y thx |
|
y |
|
|
1 |
|
y cthx |
y |
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ch2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
sh2 x |
|
|
|
|
||||
|
Anıq |
emesliklerdi |
|
ashıwdıń |
Lopital |
qaǵıydası |
|
( |
0 |
, |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
turindegi) |
f (x) |
|
há |
(x) |
funkсiyaları |
x0 |
tochkasınıń |
qandayda |
bir |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dógereginde |
( x0 |
tochkasınıń ózınnen |
tısqarı) |
|
differenсiallanıwshı |
|
|
||||||||||||||||||
há |
'(x) 0 |
bolsın. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eger |
|
lim f (x) lim (x) 0 |
|
|
|
lim f (x) lim (x) |
bolıp , |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x x0 |
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f '(x) |
bar bolsa , onda |
|
|
f |
|
(x) |
|
lim |
f '(x) |
boladı . |
|||||||
lim |
lim |
|
|
|
||||||||||||||
'(x) |
|
|
|
|
|
|
( x) |
'(x) |
|
|
|
|||||||
x x0 |
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|||||
y f (x) |
funkсiyasınıń |
|
x0 tochkasındaǵı qandayda |
bir dógereginde |
||||||||||||||
(p 1) -tártıpke shekemgi |
|
tuwındılarına |
|
iye |
|
|
bolsa, bul |
dógerektiń hár |
||||||||||
qánday x tochkası ushın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
f (x ) |
|
|
|
|
f (x ) |
(x x )2 . . . |
f n (x ) |
(x x )n |
||||||
|
|
f (x) f (x ) |
|
|
0 |
(x x ) |
|
|
0 |
|
0 |
|||||||
|
|
0 |
|
|
1! |
0 |
|
|
|
|
2! |
|
|
0 |
|
n! |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
p -tátıpli Teylor formulası |
|
orınlı. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Dara jaǵdayda eger |
x0 0 bolsa, onda joqarıdaǵı Teylor formulası |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
38 |
|
|
|
|
|
|
|
|
f (0) |
f (0) |
2 |
|
f |
n |
(0) |
|
|
|
|
|
|
|
n |
||||||
f (x) f (0) |
|
x |
|
x |
. . . |
|
|
|
x |
|
1! |
|
|
|
|
|
|||||
|
2! |
|
|
|
n! |
|
|
|||
p -tátıpli Makloren formulasına iye bolamız.
Ayırım elementar funkсiyalardıń Maklolren qatiarına jayılıwı
Funkсiya |
|
|
Makloren kópaǵzalıǵı |
|
Qaldıq aǵza |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Pn x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Pn x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||||
|
|
|
1 x2 |
... |
1 ... n 1 xn |
|
|
n |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x , N |
1 x |
o x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|
||||||||
sin x |
|
|
x x3 |
|
x |
5 |
|
... 1 |
|
n |
|
|
|
|
x2n 1 |
|
o x2n 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 ! |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
cos x |
|
|
1 x2 |
|
x4 |
|
... 1 |
|
|
|
n x2n |
|
o x 2n 1 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
arcsin x |
x |
1 |
x3 |
1 3 |
|
|
|
|
|
x5 |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
2n ! |
x 2n 1 |
o x2n 2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
3 |
2 |
|
4 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22n n! 2 2n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
arctg x |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
x |
2n 1 |
|
o x2n 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
2n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
xn |
|
o xn |
||||||||||||||
|
|
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|||||||||||
ch x |
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
x |
4 |
... |
|
x |
2n |
|
o x |
2n 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
4! |
|
|
|
|
2n |
! |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
sh x |
|
|
x x |
3 |
|
|
|
|
|
5 |
|
... |
|
x |
2n 1 |
|
o x |
2n 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
|
|
|
5! |
|
|
|
|
2n 1 ! |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ln 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
n 1 xn |
|
o xn |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
3 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Funkciyanıń anıq emes integralı hám onı esaplaw usılları |
|
||||
Meyli f x |
hám |
F x funkciyaları a,b da berilgen bolıp, |
F x |
||
|
|
|
|
|
|
tuwındıǵa iye bolsın. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Anıqlama. Eger |
|
|
|
|
|
|
|
F x f x |
x a,b |
|
|
bolsa, onda a,b da |
F x funkciya |
f x funkciyanıń dáslepki funkciyası |
|||
delinedi. |
|
|
|
|
|
Máselen, |
|
|
|
|
|
39
f x x2
funkciyanıń dáslepki funkciyası
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
|
x3 |
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
boladı, sebebi |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F x |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
||||
x ,
x ,
1 |
2 |
2 |
f x . |
|
3x |
x |
|
|
|
||
3 |
|
|
|
Eger a,b da F x funkciya |
f x tıń dáslepki funkciyası bolsa, onda |
|
|
F x C |
|
barliq dáslepki funkciyalarınıń kópligi boladı, bunda C qálegen turaqlı san. |
||
Anıqlama. F x C ańlatpası |
f x funkciyanıń anıq emes integralı |
|
delinedi hám f x dx dep belgilenedi: |
|
|
f x dx F x C .
Anıq emes integraldıń tiykarǵı qásiyetleri:
1. f x dx f (x) .
2. d f x dx |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
f (x)dx . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
f x |
g x dx |
|
f x dx |
|
|
g x dx . |
||||||||
4. kf x dx k f x dx . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tiykarǵı formulaları |
|||
1. dx 1 dx |
x C , |
bunda C = const. |
||||||||||||||
2. xn dx |
|
|
|
xn 1 |
|
|
C n 1 . |
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
|
dx ln |
|
x |
|
C . |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ax |
|
C a 0, a 1 . |
|
|
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
4. a dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ln a |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
40