Joqari matematika paninen lekciyalar
.pdf
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y1 k x x1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Eki |
A1x B1 y C1 |
0, |
A2 x B2 y C2 |
0 |
|
Tuwrınıń |
kesilisiw |
noqatı |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
arqalı |
|
|
|
ótetuǵın |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tuwrılar |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dástesiniń |
|
teńlemesi: |
||||||||||||||||||||||||
A1 x B1 y C1 A2 x B2 y C2 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
Eger 1 bolsa, onda dástede ekinshi tuwrı bolmaydı. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. Berilgen noqatlar arqalı ótetuǵın tuwrılar. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 |
x1 , y1 |
noqatı arqili ótetuǵın |
|
|
|
|
|
|
tuwrılar dástesin y y1 k x x1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
teńlemesi menen ańlatiladi, bunda |
k qálegen parametr. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A1 x1 , y1 , B x2 , y2 |
noqatları |
|
arqalı |
|
|
|
|
|
tek |
|
bir |
ǵana tuwrı ótkeriw |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
múmkin: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y y |
1 |
|
|
|
x x1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 x1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y2 y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Berilgen |
|
A1 x1 , y1 noqatınan tuwrıǵa shekemgi d aralıq: |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
x1 cos y1 |
sin |
p |
|
|
|
Ax1 By1 |
C |
. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B 2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A1x B1 y C1 |
0, |
A2 x B2 y C2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. Eki |
Tuwrınıń óz-ara jaylasıwı. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.1. Eger |
|
A1 |
B1 |
|
0 bolsa, onda bul tuwrılar parallel boladi hám |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
a) |
|
A1 |
|
|
B1 |
|
C1 |
|
- betlesedi, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
A |
B2 |
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b) |
|
A1 |
|
|
B1 |
|
|
C1 |
|
- kesilispeydi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
A2 |
B2 |
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
7.2. Eger 0 bolsa, onda bul tuwrılar bir (x, u) noqatda kesilisedi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
1 |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 C1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
C |
2 |
B |
|
|
, |
y |
|
|
|
A |
2 |
C |
2 |
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
8. Eki |
A1x B1 y C1 |
0, |
A2 x B2 y C2 |
0 |
(yama |
y k1 x b1, |
y k2 x b2 ) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sa |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
tuwrılarıniń arasındaǵı |
múyesh |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tg |
A1B2 A2 B1 |
|
|
k2 k1 |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 A2 B1B2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 k1k2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
Bul formuladan eki tuwrınıń:
8.1.A1 / A2 B1 / B2 ; k1 k2 -parallellik shártin,
8.2.A1 A2 B1B2 ; k1 1/ k2 -perpendikulyarliq shártin alamiz.
|
Onda |
y kx b tuwrısına perpendikulyar (normal) tuwrılar |
|
y x b |
túrinde jazıladı, bunda b hám b - qálegen turaqlılar. |
||
|
k |
0 |
0 |
|
|
|
|
8.3. Eki A1x B1 y C1 0, |
A2 x B2 y C2 0 tuwrılarıniń arasındaǵı |
múyesh bissektrisasiniń teńlemesi |
|
21
|
A1 x B1 y C1 |
A2 x B2 y C2 |
||
|
A2 |
B 2 |
A2 |
B 2 |
|
1 |
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Tegisliktegi ekinshi tártipli sızıqlar
x hám u koordinatalarǵa qarata ekinshi tártipli teńleme menen anıqlanǵan sızıq ekinshi tártipli sızıq dep ataladı. Eger iymek sızıqtıń noqatları bazıbir noqatǵa qarata simmetriyali bolsa, bul iymek sızıq orayliq sızıq dep, noqat - iymek sızıqtıń orayı dep ataladı.
Ekinshi tártipli iymek sızıqlardıń kanonikalıq teńlemelerin, yaǵnıy bul iymek sızıqtıń orayı yamasa ushın koordinatalar basında, simmetriya kósherleri koordinata menen betlesetuǵin jaǵdaydı qarastıramız.
Birneshe ózgeriwshiniń birtekli ekinshi tártipli kópaǵzalısı bul ózgeriwshilerdıń Kvadratlıq formasi dep ataladı:
|
|
|
|
|
Ax2 |
2Bxy Cy 2 2Dx 2Ey F 0 |
(1) |
||||||||||||
(1) teńleme kooffiсientlerinen eki aniqlawshını - úlken aǵzalarıniń |
|||||||||||||||||||
diskriminanti hám - teńleme diskriminantin dúzemiz: |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B |
|
, |
|
|
A B D |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C E |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C |
|
|
|
|
D E F |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hám |
mánislerine |
qarata |
(1) |
|
|
teńleme |
aniqlaytuǵın |
|||||||||||
geometriyaliq obrazdi biliw múmkin: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Ellips |
|
|
|
|
Noqat |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Giperbola |
|
Kesilisiwshi |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tuwrılar |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Parabola |
|
|
|
|
Parallel |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tuwrılar |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1. Sheńber. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Orayı |
S a; b |
noqatısinan |
R |
(R>0) qashiqlıqta |
jaylasqan |
||||||||||||||
tegisliktiń barlıq noqatlarınıń geometriyaliq Orın |
|
i sheńber dep |
|||||||||||||||||
ataladı |
hám |
ol |
x a 2 |
y b 2 R 2 teńlemesi |
|
menen |
analitikaliq |
||||||||||||
ańlatiladi. Orayı koordinata bası O(0,0) noqatında jaylasqan, radiusı |
|||||||||||||||||||
R-ge teń bolǵan sheńber |
x 2 y 2 |
R 2 |
teńlemesine |
iye boladi. Sheńber |
|||||||||||||||
tómende aniqlanatin ellipstiń dara jaǵdayi bolıp tabıladı. |
|
|
|
||||||||||||||||
2. Ellips.
22
Anıqlama. Ellips dep tegisliktegi sonday noqatlardıń kópligineaytıladı, bul
noqatlardıń xár birinen usı tegisliktiń fokusları dep |
|
||||||||||||
atalıwshi |
|
eki F1, F2 noqatlarına |
|
shekemgi bolǵan |
qashıqlıqlardıń |
||||||||
qosindisi turaqlı shama bolsa. M(x, u) ellipstiń qálegen bir noqatı bolsa, |
|||||||||||||
onda |
|
F1M |
|
|
|
F2 M |
|
2a , bunda a-qálegen turaqlı san. |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Ellipstiń kanonikalıq teńlemesi: |
|
y2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
bunda a hám b - belgili turaqlılar. Ellips noqatları koordinata basına qarata
simmetriyali. |
Koordinatalar |
bası |
(2) ellipstiń simmetriya orayı, koordinata |
||||||||||
kósherleri onıń simmetriya kósherleri boladi. Ellips ordinata |
|
||||||||||||
kósherin B1 0; b hám |
B2 0; b noqatlarında, absсissa |
kósherin A1 a; 0 hám |
|||||||||||
A2 a; 0 noqatlarında kesip ótedi. Ellipstiń simmetriya kósherleri menen |
|||||||||||||
kesilisiw |
noqatları |
|
ushları |
|
dep |
|
ataladı. |
Ellipstiń |
ushlarıniń |
||||
arasındaǵı |
aralıq |
|
A1 A2 |
|
|
2a, |
|
B1B2 |
|
2b |
ellips |
kósherleri |
delinedi. |
|
|
|
|
||||||||||
Kósherlerden úlkeni - ellipstiń úlken kósheri dep, ekinshisi - ellipstińkishi |
|||||||||||||
kósheri dep, a hám b parametrleri yarım kósherler dep ataladı. |
|
||||||||||||
x hám |
u koordinatalarınıń |
|
ózgeriw |
oblasti: a x a, |
b y b . |
||||||||
Ellips simmetriyali bolǵanliqtan oni tek Birinshi sherektegi ellipstiń teńlemesi:
y
a b bolsin. |
c |
a 2 b2 dep |
ǵana birinshi sherekte tekseriwjetkilikli.
b |
x2 . |
|
|
a 2 |
|
|
|
a |
|
|
|
belgileymiz. |
F1 c;0 há |
F2 c;0 |
|
|
|
m |
|
noqatları ellipstiń fokusları dep ataladı. |
|
|
F1F2 |
|
2c |
- ellipstiń fokus |
||||||||
|
|
|
||||||||||||
aralıǵı delinedi. Ellipstiń fokusları jaylasqan úlken kósher fokal |
|
|||||||||||||
kósher dep, r1 |
|
MF1 |
|
há |
r2 |
|
MF2 |
|
shamaları |
|
fokal |
radiuslar |
dep, |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c
a 0 1 shaması ellipstiń eksсentrisiteti dep ataladı.
x a / |
há |
x a / |
tuwrı sızıqları |
ellipstiń |
direktrisaları |
|||||||
delinedi. |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ellipstiń |
qálegen M noqatınan |
|
|
F1 |
|
F2 ) |
fokusına shekemgi |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(yamasa |
|
|
|
|
bolǵan aralıq penen direkstrisaǵa shekemgi |
d1 |
|
d2 ) |
aralıq qatnasi |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yamasa |
|
|
|
turaqlı shama |
ǵa teń boladi: r1 |
|
r2 . |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
d1 |
|
d2 |
|
|
|
|
|
3. Giperbola. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Anıqlama. |
Giperbola |
dep |
tegisliktegi |
sonday |
noqatlardıń |
|||||||
kópligine |
aytıladı, bul noqatlardıń |
xár |
birinen |
usı |
|
tegisliktiń |
||||||
fokusları |
dep |
atalıwshi |
eki |
|
|
|
|
|
|
|
||
23
F1, F2 |
noqa |
|
|
tların |
|
|
a |
shekemgi bolǵan |
qashiqliqlardıń ayirmasiniń absolyut shaması turaqlı shama 2a ǵa teńbolsa. M(x, u) ellipstiń qálegen bir noqatı bolsa, onda
24
F1M F2 M 2a
|
|
bunda a- qálegen turaqlı san. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Giperbolanıń kanonikalıq teńlemesi: |
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
(3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
b2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Koordinata |
kósherleri |
|
giperbolanıń |
simmetriya |
|
kósherleri, |
||||||||||
koordinatalar bası simmetriya orayı boladi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
Giperbola Ou ordinatalar kósheri menen kesilispeydi. B1 0;b hám |
||||||||||||||||
B2 (0; b) noqatları giperbolanıń jormal ushları dep, |
|
|
B1 B2 |
|
2b kesindisi |
|||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
jormal kósheri dep, b - jormal yarım kósheri dep ataladı. |
|
|
|
A2 a; 0 |
||||||||||||||
|
|
Giperbola |
Ox absсissalar |
|
kósheri |
menen |
A1 a; 0 |
há |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
noqatlarında kesilisedi. Bul noqatlar giperbolanıń xaqıyqıy ushları |
|
|||||||||||||||||
dep, |
|
A1A2 |
|
2a kesindisi xaqıyqıy kósheri dep, a - xaqıyqıy yarım kósheri |
||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Giperbolani |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
y b |
x 2 |
a 2 , |
x ; a a; |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
teńlemesi menen de jaziw múmkin. Giperbola shegaralanbaǵan sızıq bolıp,ol x=a
hám x=-a tuwrı sızıqlar menen shegaralanbaǵan oblasttiń sirtinda jaylasqan jáne eki tarmaqqa iye.
Giperbolanıń |
xaqıyqıy |
kósherinde |
F1 c;0 |
hám |
F2 c;0 |
fokusları |
|
||||||||||||||||||||||
jaylasqan, bunda |
|
c |
|
a 2 |
b2 . |
|
F F |
|
|
2c |
- giperbolanıń |
fokus aralıǵı |
|||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
delinedi. Giperbolanıń fokusları jaylasqan úlken kósher fokal kósher |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
dep, r1 |
|
MF1 |
|
há |
|
r2 |
|
MF2 |
|
shamaları fokal |
radiuslar dep, |
|
c |
1 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
a |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
shaması giperbolanıń eksсentrisiteti dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
x a / |
|
há |
x a / |
tuwrı sızıqları giperbolanıń direktrisaları |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
delinedi. |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Giperbolanıń qálegen M noqatınan |
F1 |
|
F2 ) fokusına |
shekemgi |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yamasa |
|
|
|
|
|
|
bolǵan aralıq penen direkstrisaǵa shekemgi |
|
d1 |
d2 ) |
aralıq |
qatnasi |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(yamasa |
|
|
|
|
|
turaqlı shama ǵa teń boladi: r1 |
|
|
|
|
r2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
y b x, |
|
y b x |
|
|
|
|
|
|
|
d1 |
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
tuwrıları |
|
|
|
|
giperbolanıń |
assimptotaları |
dep |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ataladı.
4. Parabola.
Anıqlama. Parabola dep tegisliktiń fokus dep atalıwshi berilgen Ǵ noqattan hám direktrissa dep atalıwshi berilgen tuwrı sızıqtan teńdey uzaqliqta jaylasqan barlıq noqatlardıń kópligine (geometriyaliq Ornına) aytıladı. Parabolanıń
25
kanonikalıq teńlemesi:
y 2 2 px |
(4) |
26
bunda r-berilgen turaqlı xaqıyqıy parametr. Kóbineseuyǵarıladı. p 0, x 0 dep Parabolanı y teńlemesi menen de jazip kórsetiw múmkin.
Ox kósheri Parabolanıń2 px simmetriya kósheri dep, O(0, 0) noqatı Parabolanıń tóbesi dep ataladı. Parabola shegaralanbaǵan sızıq, ol asimptotalarǵa iye emes.
у
Н
М
r
x
ОҒ
x p
2
|
p |
|
noqatı |
parabolanıń |
fokusı |
|
dep, |
x p |
tuwrı |
sızıǵı |
||||||||||||
|
F |
|
;0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
direktrisasi dep, |
|
r |
|
MF |
|
há |
d |
|
MN |
|
sanları |
Parabolanıń |
qálegen |
M |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
noqatınan sáykes |
fokusqa hám |
direktrissaǵa shekemgi araqashiqliq dep |
|||||||||||||||||||
|
ataladı, bunda |
r d . Parabola eksсentisiteti: r |
|
|
1 . |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|||||||
Eger Parabolanıń fokal kósheri sipatinda Ou kósheri alinsa, onda
Parabolanıń teńlemesin x 2 2 py túrinde jaziw múmkin.
Eger ellips, giperbola hám Parabolanıń fokusın polyar koordinatalar sistemasıniń polyusı retinde, fokal` simmetriya kósherin polyar kósher retinde alsaq, onda bul úsh iymek sızıqti bir teńleme menen jaziw múmkin:
r |
p |
|
|
|
1 cos |
bunda -eksсentrisitet, r-parametr. Ellips hám giperbola ushın |
p |
b2 |
. |
|
|||
|
|
a |
|
27
Úshinshi hám joqarǵı tártipli algebralıq iymeklikler: Astroida, Dekart japiraǵi hám t.b.
Transсendent iymeklikler: Cikloida, Dóńgelek jayilmasi, epicikloida hám
t.b.
Keńisliktegi noqat, tuwrı hám tegislik
Keńisliktegi analitik geometriya. Keńisliktegi noqat, tuwrı hám tegislik tuwrı múyeshli Dekart koordinatalar sistemasındaǵi tuwrı menen tegisliktiń teńlemeleri, olardıń óz-ara jaylasıwı. Noqattan tuwrıǵa hám tegislikke shekemgi qashiqliq.
Keńislikte Oxuz tuwrı múyeshli Dekart koordinatalar sisteması anıqlanǵan bolsin. Keńisliktegi figuralardi Ulıwma F x, y, z 0 túrindegi teńleme menen analitikaliq ańlatıw múmkin, bunda F berilgen funkсiya.
Birinshi tártipli úsh ózgeriwshili sızıqlı algebralıq teńleme úsh ólshemli keńislikte tegislikti ańlatpaydi. Tegisliktiń Ulıwma teńlemesi:
Ax By Cz D 0 |
(1) |
bunda A, B, C, D koeffiсientlerdıń keminde birewi nolden ózgeshe qálegensanlar dep uyǵarıladı.
|
|
M x0 ; y0 ; z0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
noqaсi arqalı ótetuǵın |
|
|
|
|
|
|
|
hám |
n Ai B j Ck vektorın a |
|||||||||||||||||||||||||||||||
perpendikulyar tegislikti A x x0 |
B y y0 |
C z z0 0 teńlemesi menenaniqlaw |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
múmkin. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Kesindilerdegi tegisliktiń teńlemesi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
u z 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
b |
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bunda a, b, c - tegisliktiń |
sáykes Ox, Ou, |
|
Oz kósherlerinen kesip alǵan |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
kesindileriniń uzinliqları. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Meyli |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hám |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
tegislikleri |
||||||||||||
|
A1x B1 y C1z D1 |
0, A2 x B2 y C2 z D2 |
0 |
|
teńlemeleri |
|
|
menen |
berilgen |
|||||||||||||||||||||||||||||||
bolsin. |
Bul |
tegisliklerdıń |
|
|
|
|
|
|
arasındaǵı |
|
|
|
|
|
múyesh olarǵa |
normal |
||||||||||||||||||||||||
|
|
A1; B1 ;C1 |
há |
|
|
A2 ; B2 ;C2 |
|
vektorlarıniń |
|
|
arasındaǵı |
múyesh |
||||||||||||||||||||||||||||
|
n1 |
n2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
retinde aniqlanadı, yaǵnıy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sos |
|
n1 n2 |
|
|
|
|
|
|
A1 A2 B1 B2 C1C2 |
C 2 . |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
1 |
|
n |
2 |
|
A2 |
|
B2 |
C 2 |
A2 |
B 2 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
2 |
2 |
2 |
|
|
|
||||||||||
|
|
Eger normal vektorları kollinear bolsa, onda olarǵa sáykes keliwshi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tegislikler |
parallel |
boladi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A1 |
|
B1 |
|
|
C1 |
|
hám eger |
normal vektorları |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A2 |
|
B2 |
|
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
28
perpendikulyar bolsa, onda sáykes tegislikler de perpendikulyar boladi
A1 A2 B1B2 C1C2 0 . |
|
|
||
M 0 x0 ; y0 ; z0 |
noqaсinan |
Ax+Vu+Sz+D=0 tegisligine |
shekemgi |
|
aniqlanadı d |
Ax0 By0 Cz0 D |
. |
|
|
|
A2 B 2 C 2 |
|
||
|
|
|
|
|
Berilgen eki |
tegisliktiń kesilisiw sızıǵı arqili ótetuǵın barlıq tegislikler |
|||
dástesiniń teńlemesi: |
|
|
||
|
|
Ax By Cz D A1 x B1 y C1 z D1 0 |
|
|
bunda 1 dep alip dásteden ekinshi tegislikti shiǵarip taslaw múmkin. |
|
|||
Keńisliktegi |
tuwrıni birinshi |
tártipli úsh ózgeriwshili sızıqlı |
algebralıq |
|
teńlemelerdıń sisteması menen, yaǵnıy eki tegisliktiń kesilisiw sızıǵı sipatinda ańlatıw múmkin:
A1x B1 y C1z D1 A x B y C z D
2 |
2 |
2 |
0
0 .
2
Bul tuwrınıń baǵıtlawshı vektorın (yaǵnıy tuwrıǵa yamasa oǵan parallel tuwrıǵa tiyisli vektor) tegisliklerdıń normal vektorlarıniń vektorlıq kóbeymesi
túrinde aniqlanadı. |
M 0 x0 , y0 , z0 |
|
|
l; m; p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
Meyli tuwrı |
noqaсi hám s |
baǵitlawshı vektori |
||||||||||||||
menen |
berilgen bolsin. M x; y; z - usı |
Tuwrınıń qálegen bir noqaсi dep |
|||||||||||||||||
uyǵaramiz. Onda, |
tuwrınıń vektorlıq |
teńlemesi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
r r0 |
ts; parametrlik |
||||||||||||||||||
teńlemesi |
x x0 nt, y y0 |
mt; z z0 pt; |
kanonikalıq |
|
|
teńlemesi |
|||||||||||||
|
x x0 |
|
|
y y0 |
|
z z0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Eki tuwrınıń bir tegislikte jaylasıw shárti:
a a1 b b1 c c1 |
|
0 . |
||
|
||||
n |
m |
p |
|
|
n1 |
m1 |
p1 |
|
|
|
|
|
|
|
Tuwrı hám tegislik arasındaǵı múyesh:
|
sin |
||||
|
|
|
|
|
A2 |
parallellik shárti: An Bm Cp 0 ; |
|||||
perpendikulyarliq shárti: |
|
A |
|
B |
|
|
|
|
|||
|
|
n m |
|||
An Bm Cp |
, |
|
B 2 C 2 |
n2 m2 p 2 |
|
C . p
Keńisliktegi ekinshi tártipli betler
Keńisliktegi ekinshi tártipli teńlemeler. Kvadratlıq forma. Ekinshi tártipli betlerdıń kanonikalıq teńlemeleri sfera, сilindrler, aynalıw betleri (ellipsoid, giperboloid, paraboloid). Konuslıq betler.
29
Keńisliktegi bet úsh ózgeriwshini x, u hám z lerdi baylanıstıratuǵın teńleme menen aniqlanadı. x, u hám z lerge qarata ekinshi tártipli algebralıq teńleme menen anıqlanǵan bet ekinshi tártipli bet dep ataladı. Ulıwma teńlemesi:
Ax2 By 2 Cz 2 2Dxy 2Exz 2Fyz ax by cz d 0 (1) bunda A, B, C, D, E, Ǵ koeffiсientlerdıń keminde birewi nolden ózgeshe dep uyǵarıladı. A, B, C, D, E, Ǵ, a, b, c, d koeffiсientlerdıń baylanisli bul teńlemeler túrli betlerdi aniqlawi múmkin.
Sfera. |
(1) |
|
teńlemede |
A B C |
1, D E F a b c 0, d R 2 |
|||||||
túrinde |
alinsa, |
onda |
orayı |
koordinata |
basında |
bolǵan |
R |
radiusli |
||||
sferaniń |
x 2 y 2 |
z 2 |
R 2 |
teńlemesine iye bolamiz. |
|
|
|
|
|
|||
Anıqlama. Orayı |
C x0 ; y0 ; z0 noqatısinan |
R R 0 |
qashiqlıqta |
|||||||||
jaylasqan keńisliktiń barlıq noqatlarınıń geometriyaliq Orın |
i sfera |
|
|
|
||||||||
dep ataladı |
hám |
ol |
x x0 2 |
y y 2 |
z z 2 R 2 |
teńlemesi |
|
menen |
||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
analitikaliq ańlatiladi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Bul teńleme (1) teńlemeden |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
A B C 1, D |
E F 0; a 2x ; b 2 y ; c 2z ; d x 2 y 2 z 2 R 2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
0 |
|
0 |
0 |
túrinde alinsa kelip shıǵadı.
Sfera tómende anıqlanatuǵin ellipsoidtiń dara jaǵdayı bolıp tabıladı.
1. Jasawshıları koordinata kósherlerinıń birine parallel bolǵan betler. Bazı bir sızıqtı kesip ótiwshi sızıqtıń usı sızıq boylap hám berilgen baǵıtqa parallel xáreketinen payda bolǵan bet сilindrlik bet delinedi. Xáreketleniwshi tuwrı sızıq
jasawshı dep, berilgen sızıq baǵıtlawshı dep ataladı. |
|
|
|
||||||||||
z |
koordinatans |
óz |
ishine |
almaytuǵın |
hám |
keńislikte |
|||||||
qarastırılatuǵın |
F x; y 0 teńleme |
menen jasawshıları Oz kósherine |
|||||||||||
parallel hám baǵıtlawshısı Oxu tegisliginde berilgen teńleme menen |
|||||||||||||
sıpatlanatuǵın сilindrlik betti anıqlaydı. Usıǵan |
uqsas F x; z 0 |
hám |
|
||||||||||
F u; z 0 |
teńlemeleri |
jasawshıları |
sáykes Ou |
hám Ox kósherlerine |
|||||||||
parallel bolǵan сilindrlik betlerdi anıqlaydi. |
|
|
|
|
|
||||||||
Misalı, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Dóńgelek сilindr. |
|
x 2 z 2 |
R2 |
teńlemesi menen ańlatıladı. Onıń |
|||||||||
simmetriya kósheri |
Ou, |
al |
Oxz |
|
tegisligindegi |
baǵıtlawshısı |
sheńber |
||||||
boladı; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
Ellipslik |
сilindr |
|
x2 |
|
|
y2 |
1. |
Jasawshıları |
Oz |
kósherine |
||
|
a2 |
|
b 2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
parallel, Oxu tegisligindegi baǵıtlawshısı - ellips;
30