Joqari matematika paninen lekciyalar
.pdfJOQARÍ MATEMATIKA PÁNINEN
LEKCIYA KURSÍ
(32 SAAT)
5410700- «JER DÚZETIW HÁM JER KADASTRÍ»
BAKALAVRIAT TÁLIM BAǴDARÍNÍN 1-KURSLAR USHÍN
PÁN OQÍTÍWShÍSÍ: |
FMIK R. JIEMURATOV |
NÓKIS 2015j
1
№ |
Tema ataması |
saat |
1 |
KÓPLIKLER TEORIYASÍ HÁM ALGEBRA |
12 |
|
ELEMENTLERI |
|
|
|
|
2 |
TEGISLIKTEGI ANALITIKALÍQ GEOMETRIYA |
14 |
|
ELEMENTLERI |
|
|
|
|
3 |
MATEMATIKALÍQ ANALIZGE KIRISIW |
6 |
|
|
|
KÓPLIKLER TEORIYaSÍ HÁM ALGEBRA ELEMENTLERI
1.Kóplikler hám olar ustinde ámeller.
2.Ekinshi hám úshinshi tártibli anıqlawıshlar.
3.Matriсa túsinigi.
4.Sızıqlı teńlemeler sisteması.
TIYKARǴÍ TÚSINIKLER
1. Kóplikler hám olar ustinde ámeller.
Matematikada hár túrdegi kóplikler ushırasadı. Mısal ushın tegisliktegi barlıq tochkalar kópligi, barlıq raсional sanlar kópligi, barlıq jup sanlar kópligi hám taǵı basqa.
Kóplikler |
latın |
alfavitiniń |
bas A, B, C... |
hárpleri |
menen, al |
||
kópliklerdiń |
elementleri |
bolsa, |
kishkene a, b, c |
... hárpleri |
menen |
||
belgilenedi.Birde elementi bolmaǵan kóplik bos kóplik delinedi hám ol belgisi menen belgilenedi.
Eger A kópliginiń hár bir elementi V kópliginiń de elementi bolsa,
onda A kópligi V kópliginiń ules kópligi delinedi hám ol A V kóriniste belgilenedi. A hám kóplikler A kópliginiń ózlik emes ules kóplikleri delinip, A kópliginiń basqa ules kóplikleri onıń ózlik ules kóplikleri dep ataladı.
Mısalı barlıq pútin sanlar kópligi barlıq raсional sanlar
kópliginiń ózlik |
ules kópligi boladı. Eger |
A V há |
V A qatnaslar |
||
|
|
|
|
m |
|
orınlı bolsa, onda A hám V kóplikleri óz ara teń kóplikler dep ataladı. |
|||||
Anıqlama 1. |
A |
hám V kópliklerdiń hesh bolmaǵanda biriwinetiyisli |
|||
bolǵan barlıq elementlerden ibarat kóplik A hám V kópliklerdiń |
|
||||
birikpesi dep ataladı hám ol |
A V kóriniste belgilenedi. |
|
|||
Mısal: |
A {2, |
4, 6, 8, 10, 12, 14} há |
B {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}bolsın. |
||
|
|
|
m |
|
|
Onda A B {2, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16}
2
Anıqlama 2. |
|
A hám V kópliklerdiń e kewinede tiyisli bolǵan barlıq |
|
|
|||||||||||
elementlerden ibarat kóplik bul kópliklerdiń kesilispesi delinedi hám |
|
|
|
||||||||||||
ol A V kóriniste belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Mısal: |
|
A {2, 4, 6, 8, 10} |
|
B {4, 8, 9, 10, 11, 12, 13,}bolsın. |
Onda |
||||||||||
A B {4, 8, 10}. |
|
hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Anıqlama 3. |
A kópliginiń V kópligine tiyisli bolmaǵan barlıq |
|
|
||||||||||||
elementlerinen ibarat |
kóplik, |
|
A |
hám V kópliklerdiń ayırması dep |
|
||||||||||
ataladı hám |
A \ B kóriniste belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Mısal: |
|
A {1, 2, 3, |
4, 5, |
6, 7, 8, 9} |
há |
B {2, |
4, 6, 8} |
bolsın. |
Onda |
||||||
A \ B {1, 3, 5, 7, 9}. |
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
Anıqlama |
4. |
A \ B |
há |
V \ A |
kópliklerdiń birikpesi |
|
A |
hám |
V |
||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kópliklerdiń |
|
simmetriyalıq |
|
ayırması |
delinedi |
|
|
A V |
kóriniste |
|
|||||
|
|
hámbelgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Mısal: |
|
A {1, 2, 3, 4, 5, |
6, 7, 8, 9} |
há |
B {2, |
4, 6, 8} |
bolsın. |
Onda |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
A \ B {1, 3, 5, 7, 9} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Anıqlama |
5. |
Birinshi |
elementi |
A kópligine |
ekinshi |
elementi |
|||||||||
V kópligine |
tiyisli |
bolǵan |
(a,b) |
juplıqlar |
kópligi |
A |
|
hám |
V |
||||||
kópliklerdiń dekart (tuwrı) kóbeymesi dep ataladı hám |
|
A V kórinisinde |
|
||||||||||||
belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mısal: |
A {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} |
|
B {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}bolsa, onda |
|
|||||||||||
|
|
hám |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B {1, 2, 3, 4, 10, 11, 12} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
X \ E |
ayırma |
(bunda |
E X ) |
E |
kópliginiń |
|
X |
kópligine |
|
||||||
salıstırǵanda |
|
tolıqtırıwshısı |
|
dep |
ataladı |
hám |
CE |
kóriniste |
|
||||||
belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Mısal: |
X [ 1, |
2] há |
E (0, 1) |
bolsa, onda CE [ 1, |
0] [1, 2]. |
|
|
|
|||||||
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
|
Ekinshi hám úshinshi tártipli anıqlawıshlar |
|
|
|
|
|||||||||
Ekinshi tártibli anıqlawısh dep, tómendegi belgi hám teńlik penenanıqlanıwshı sanǵa aytıladı:
|
|
|
|
|
a11 a12 |
a a |
|
a a . |
|
|
|
|
|
|
a21 a22 |
11 |
22 |
21 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Usıǵan uqsas |
|
|
|
|
|
|
|||
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a21 |
a22 |
a23 |
a11a22a33 a12a23a31 a21a32a13 a31a22a13 a21a12a33 a32a23a11 |
|||||
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
ańlatpa úshinshi tártipli anıqlawısh dep ataladı. |
|
|
|
|
Anıqlawıshtıń |
aik elementi turǵan |
qatar |
hám |
baǵananı óshiriw |
nátiyjesinde payda bolǵan anıqlawısh, sol |
a |
taladı. |
aik |
|
3
elementtiń
Anıqlawıshtıń |
qálegen |
aik |
tolıqtırıwshısı |
dep, sol element |
|
4
M
ik
m in o rı d e
p elementiniń
turǵan qatardıń
Aik algebralıq hám baǵananıń
nomerleriniń qosındısı júp bolsa oń belgi menen, al taq bolsa terisbelgi menen alınǵan minorǵa aytıladı yaǵnıy
Aik ( 1)i k M ik .
Anıqlawıshtıń tiykarǵı qásiyetlerin keltiremiz:
1.Anıqlawıshtıń barlıq qatarları sáykes baǵanaları menen almastırılsa, anıqlawıshtıń mánisi ózgermeydi.
2.Anıqlawıshtıń eki parallel qatarınıń (yamasa eki parallel baǵanasınıń) sáykes elementleri almastırılsa, anıqlawıshtıń absolyut mánisi ózgermeydi, al belgisi qaramaqarsıǵa ózgeredi.
3.Eger anıqlawısh eki birdey parallel qatarǵa yamasa eki birdey parallel baǵanaǵa iye bolsa, onda onıń mánisi nolge teń.
4.Eger qandayda bir qatardıń yamasa baǵananıń sáykes elementleri ulıwma bóliwshige iye bolsa, onda bul ulıwma bóliwshini anıqlawısh belgisinen shıǵarıw múmkin.
5.Eger anıqlawısh nollerden ibarat qatarǵa yamasa baǵanaǵa iye bolsa, onıń mánisi nolge teń boladı.
6.Anıqlawıshtıń mánisi qálegen qatar (yamasa baǵana) elementleri menen sol elementlerdiń algebralıq tolıqtırıwshıları kóbeymeleriniń qosındısına teń boladı:
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a A a A a A a A a A a A a A a A a A |
|
||||||||||||||||||
11 |
11 |
12 |
12 |
13 |
13 |
21 |
21 |
22 |
22 |
23 |
23 |
31 |
31 |
32 |
32 |
33 |
33 |
|
|
a11 A11 a21 A21 a31 A31 a12 A12 a22 A22 a32 A32 a13 A13 a23 A23 a33 A33
Anıqlawıshtıń bul formula boyınsha jazılıwı onıń qatarlar yamasa baǵanalar boyınsha jayılması dep ataladı.
7.Anıqlawıshtıń qandayda bir qatarı yamasa baǵanası elementleri menen parallel qatardıń yamasa parallel baǵanasınıń sáykes elementleri algebralıq tolıqtırıwshıları kóbeymeleriniń qosındısı nolge teń.
8.Eger anıqlawıshtıń bir qatarınıń yamasa baǵanasınıń hár bir elementi eki qosılıwshınıń qosındısınan ibarat bolsa, onda anıqlawısh eki anıqlawıshtıń qosındısına teń boladı, olardıń biri sol qatardıń yamasa baǵananıń birinshi qosılıwshılarınan, al ekinshisi ekinshi qosılıwshılardan ibarat boladı.
Mısalı
a11 |
a12 b1 |
a13 |
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
b1 |
a13 |
|
|
|
|
|||||||||
a21 |
a22 b2 |
a23 |
|
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
b2 |
a23 |
. |
a31 |
a32 b3 |
a33 |
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
a31 |
b3 |
a33 |
|
Eger anıqlawıshtıń qandayda bir qatarı yamasa baǵanası elementlerine parallel qatar yamasa parallel baǵananıń sáykes elementlerin turaqlısanǵa kóbeytirilip qosılsa, anıqlawıshtıń mánisi ózgermeydi. Mısalı
5
a11 |
a12 |
a13 |
|
a11 |
|
a12 |
a13 |
|
|||
a21 |
a22 |
a23 |
|
a21 |
|
a22 |
a23 |
. |
|||
a |
31 |
a |
32 |
a |
33 |
|
a31 a11 |
a a |
a33 a13 |
|
|
|
|
|
|
|
32 |
12 |
|
|
|||
Matriсa túsinigi
Meyli bizge
a11 , a12 ,...a1n , a21 , a22 ,...a2n ,...,am1 , am2 ,...amn , m, n N
sanları berilgen bolsın. Bul sanlardan duzilgen
a11 a12 ...a1n a21 a22 ...a2n
......................
am1 am2 ...amn
tabliсası m n – tartipli matriсa dep ataladı hám
a11 a12 ... a1n
a21 a22 ... a2n
. . . . . . . . . . . .
am1 am2 ... amn
a11 a12 ... a1n |
|
a21 a22 ... a2n |
|
. . . . . . . . . . . . |
|
|
|
am1 am2 ... a mn |
|
(1)
(2)
kórinisinde |
belgilenedi. |
|
(1) |
sanları |
matriсanıń |
|
elementleri |
dep |
||||||||||||||
ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
matriсası nollik matrıсa dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Bazi |
bir |
jaǵdaylarda |
|
|
ápiuwayılıq |
|
ushın |
matriсalardı |
||||||||||||||
A a , i |
1, m; j 1, n |
yamasa |
A |
|
|
|
a |
|
, |
i 1, m; |
j 1, n |
belgilerinen |
de |
|||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
paydaydalanıp jazıw múmkin. Eger n=1 bolsa, onda baǵana matriсaǵa hám |
|
|||||||||||||||||||||
k=1 bolsa, onda sáykes qatar matriсaǵa iye bolamız: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
a11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A a |
|
|
|
. |
|
|
||
|
|
|
|
|
A |
a21 |
há |
, a |
|
, ... , a |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11 |
12 |
1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Qatarlar sanı baǵanalar sanına teń, yaǵniy |
|
|
m n bolsa, onda ol |
|
||||||||||||||||||
6
|
a11 a12 |
... a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
a21 a22 |
... a2n |
||
A |
|
. . . . . . . . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
an1 an2 |
... ann |
|||
kvadrat matriсaǵa iye bolamız. (3) kvadrat matrıсasınıń
(3)
a11 , a22 ,..., ann
elementleri bas diagonal elementleri delinedi.
Eger (3) matriсasında bas diagonalında turǵan elementlerden basqa barlıq elementleri nolge teń bolsa, onda
a11 |
0 ... 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
a22 ...0 |
|
(4) |
|
|
. . |
. . . . . |
|
|
|
|
|
||
0 |
0 ... a |
|
|
|
nn
diagonal matriсaǵa iye bolamız. Dara jaǵdayda (4) matriсasında
a11 a22 |
a33 |
... ann 1 |
||||
bolsa, onda |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 ...0 |
|
||
|
|
|
|
|
||
E |
|
0 |
1 ...0 |
|
||
|
|
|||||
|
|
|
. . |
. . . . |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
0 ... 1 |
|||
matrıсası |
birlik |
matrıсa |
|
dep |
ataladı. |
(3) |
kvadrat |
matrıсanıń |
||||||||||
elementlerinen duzilgen |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 a12 ... a1n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
a21 a22 ... a2n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
. . . . . . . . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an1 an2 ... ann |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
anıqlawıshı A matriсasınıń |
|
anıqlawshı dep ataladı hám |
det A yamasa |
|
A |
|||||||||||||
|
||||||||||||||||||
kórinisinde belgilenedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eger A matrıсasınıń anıqlawshı |
|
|
A |
|
0 |
|
bolsa, onda |
A matrıсası |
||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||
menshikli matrıсa, al keri |
jaǵdayda yaǵniy, |
|
A |
|
0 |
bolsa, |
A matrıсası |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||||||
menshiksiz matrıсa dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Meyli |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a11 |
a12 |
... a1n |
|
|
||
a21 |
a22 |
... a2n |
|
|
há |
|
A |
. . |
. . . . . . |
|
|
m |
|
|
|
|
||||
a |
a |
... a |
|
|
||
m1 |
n2 |
mn |
|
|||
b11 |
b12 ... b1n |
|
||
|
|
|
|
|
b21 |
b22 |
... b2n |
|
|
B |
. . |
. . . . . . |
|
|
|
|
|||
b |
b |
... b |
|
|
m1 |
m2 |
mn |
||
matriсaları berilgen |
bolsın. |
Bul matrıсalardıń |
sáykes elmentleri |
qosındısınan duzilgen [m n] tártibli |
|
|
|
7
a11 |
b11 |
a12 |
b12 |
|
... a1n b1n |
|
|
||||||||
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
21 |
21 |
a |
22 |
22 |
... a |
2n |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2n |
|
|
|
|||||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
a |
|
b |
a |
b |
|
... a |
b |
|
|||||||
m1 |
|
m1 m2 |
|
m2 |
mn |
|
mn |
||||||||
matrıсası A hám V matrıсasınıń qosındısı dep ataladı hám A+V kórinisinde belgilenedi.
A hám V matrıсasınıń sáykes elmentleri ayırmasınan duzilgen [m n] tártibli
a11 |
b11 |
a12 |
b12 |
|
... a1n b1n |
|
|||||||
|
|
|
b |
|
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
a |
21 |
a |
22 |
22 |
... a |
2n |
|
|
|||||
|
|
21 |
|
|
2n |
|
|
||||||
. . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||
a |
|
b |
a |
b |
|
... a |
b |
|
|||||
m1 |
m1 m 2 |
|
m2 |
mn |
|
mn |
|||||||
matrıсası A hám V matrıсalarınıń ayırması dep ataladı hám A-V kórinisinde belgilenedi.
Joqarıda aytılǵanlarǵa muwapıq tómendegi
1.A+0=0+A=A,
2.A+V=V+A
shártlerdiń orınlı ekenin kóriw qıyın emes, bunda 0- nolik matrıсa.
(3) matrıсasınıń hár bir elementin sanına kóbeytiriw nátiyjesindepayda bolǵan |
||||||
|
|
a11 |
a12 |
... a1n |
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... a2n |
|
|
A |
|
|
||||
|
|
. . . . . . |
. . |
|
||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
am1 |
an2 |
... a mn |
|||
matrıсası sanı menen A matrıсasınıń kóbeymesi dep ataladı hám A dep belgilenedi.
A hám |
V matrıсaları hám qálegen |
hám |
sanları ushın tómendegi |
teńlikler orınlı. |
|
|
|
1. |
( A) ( ) A, |
|
|
2. |
( A B) A B , |
|
|
3. ( ) A A A.
Meyli
a11
A a21
. .
am1
a12 |
... a1n |
|
|
|
|
a22 |
... a2n hám |
|
. . . . . . |
|
|
|
||
|
|
|
am2 |
... a mn |
|
b11
B b21
. .
bn1
b12 ... b1k
b22 ... b2k
. . . . . .
bn2 ... bnk
matriсaları berilgen bolsın. |
A matrıсasınıń |
i - qatarınıń |
elementleri |
|
||
ai1 , ai2 ,. . .ain |
elementlerin |
(i 1,2,...m) |
sáykes turde |
V matrıсasınıń |
j |
|
baǵanasınıń |
b j1 , b j 2 ,. . .a jn |
( j |
1,2,...k ) elementlerine kóbeytirip |
|
||
|
|
dij |
ai1b1 j ai 2b2 j ...ain bnj , |
|
(5) |
|
8
(i 1,2,...m; |
j 1,2,...k) qosındılardı payda |
e temiz. Bul sanlardan duzilgen |
|||
[m k] - tartibli |
|
|
|
|
|
|
d11 |
d12 ... d1k |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
d21 |
d22 |
... d2k |
|
|
|
|
. . |
. . . |
. . . |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
dm1 |
dm2 |
... d mk |
||
matrıсası berilgen A hám V matriсalarınıń kóbeymesi delinedi hám |
A B |
|
kórinisinde belginedi. |
|
|
Deme A B matrıсasınıń |
hár bir elementi (5) |
kórinisindegi |
k
qosındıdan ibarat boladı.
A, V, hám S matriсaları berilgen bolsın. Onda bul matrıсalar ushıntómendegi shártler orınlı:
1.( A B) C A C A C ,
2.( A B) C A (B C) ,
3.A B B A ,
4.A E E A A.
(3) matriсasınıń qálegen k |
qatarın hám qálegen k |
baǵanasın alıp, |
|
(k min( m, n)) |
[k k] tártibli |
kvadrat matrıсa |
duzemiz. Bul kvadrat |
matrıсasınıń anıqlawshı A matrıсasınıń k - tártibli minorı dep ataladı.
A matrıсası járdeminde payda etiw múmkin bolǵan barlıq minorlararasında nolden ózgeshe bolǵan eń joqarı (ulken) tártibli minordıń tártibi A matrıсasınıń rangi dep ataladı hám rankA dep belgilenedi.
Meyli [n n] tártibli
|
a11 |
a12 |
... a1n |
||
|
|
|
|
|
|
|
a21 |
a22 |
... a2n |
||
A |
|
. . |
|
|
|
|
. . . . . . |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
an1 |
an2 |
... ann |
||
kvadrat matrıсa berilgen bolsın. |
|
|
|
Eger A matriсası menen |
[n n] tártibli V matrıсasınıń kóbeymesi |
||
birlik matrıсaǵa teń bolsa, yaǵniy |
AB BA E |
bolsa, onda V matrıсası A |
|
matrıсasına keri matrıсa dep ataladı hám |
A 1 |
kórinisinde belgilenedi. |
|
Teorema. Hár qanday A menshiksiz matrıсasınıń keri matrıсasıbar hám birden bir boladı.
3. Sızıqlı teńlemeler sisteması
Meyli úsh belgisizli
a1x b1 u s1z d1, |
(6) |
|||
a x b y c z d , |
||||
2 |
2 |
2 |
2 |
|
a3 x b3 y c3 z d3
teńlemeler sisteması berilgen bolsın.
9
x, y, z belgisizleriniń aldındaǵı koeffiсientlerinen duzilgen
|
a1 |
b1 |
c1 |
|
|
a2 |
b2 |
c2 |
(7) |
|
a3 |
b3 |
c3 |
|
úshinshi tártipli anıqlawısh (6) sistemanıń bas anıqlawshı dep ataladı.
(7) anıqlawıshtıń birinshi baǵanasın (6) sistemanıń saltan aǵzalarımenen almastırıw nátiyjesinde birinshi járdemshi anıqlawıshqa iye
bolamız, onı x arqalı |
belgileymiz. (7) anıqlawıshtıń |
e kinshi baǵanasın |
|
(6) sistemanıń saltan aǵzaları menen almastırıw nátiyjesinde e kinshi |
|||
járdemshi anıqlawıshqa |
iye bolamız, onı |
y |
arqalı belgileymiz. (7) |
anıqlawıshtıń úshinshi baǵanasın (6) sistemanıń saltan aǵzaları menenalmastırıw nátiyjesinde úshinshi járdemshi anıqlawıshqa iye bolamız,
onı z arqalı |
belgileymiz. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Eger (6) sistemanıń bas anıqlawshı, yaǵniy (7) anıqlawısh, nolden |
|||||||||||||||
ózgeshe bolsa, onda (6) sisteması |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
x ; |
y |
; |
z |
|
z . |
|
|
(8) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
formulası menen anıqlanatuǵın birden bir sheshimge iye boladı. (8) |
|||||||||||||||
formula Kramer formulası dep ataladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Eger |
sistemanıń |
bas |
anıqlawıshı |
|
|
0 |
bolsa |
x , u , z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
há |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
anıqlawıshlardan keminde birewi nolden ózgeshe bolsa, onda (6) sisteması |
|||||||||||||||
sheshimge iye bolmaydı. Eger |
|
|
0 |
há |
|
x |
0, y |
0, |
z |
0 bolsa, onda (6) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
sisteması yamasa sheshimge iye bolmaydı, yamasa sheksiz kóp sheshimge iyeboladı.
(6) sistemasınıń koeffiсientlerinen, x, |
y, |
z |
|
|
|
|
|
belgisizlerinen hámde |
|||||||||||||||||
saltan aǵzalarınan |
|
a1 |
|
b1 |
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
d1 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
A a2 |
|
b2 |
c2 , |
|
|
|
X y |
|
B d 2 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
a |
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
3 |
c3 |
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
d3 |
|||||||
matriсaların duzemiz . Onda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a1x b1 y c1z |
|
||||||||||
|
a1 |
|
b1 |
|
c1 x1 |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A X |
|
a |
2 |
|
b |
2 |
|
c |
|
|
x |
|
|
a x b y c z |
|
||||||||||
|
a |
|
b |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
2 |
x |
2 |
y c |
1 |
z |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
c3 x3 |
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A X B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
||||||
teńligi orınlı.
(9) teńlemesi (6) teńlemeler sistemasınıń matrıсalıq kórinisdejazılıwı boladı. Meyli (6) sistemasınıń (7) anıqlawıshı nolden ózgeshe bolsın. Onda joqarıda keltirilgen A matrıсasınıń keri matrıсası bar boladı:
10