Matematika (Lekciya)

4- mısal. Telefonda nomer terip atırǵan abonent aqırǵı úsh cifrın esten shııǵarıp qoyadı hám tek ǵana bul cifrlar hár túrli ekenin eslep qalǵan halda olardı táwekelge terdi.

Kerekli cifrlar terilgenligi itimallıǵın tabıń.

Sheshimi: A – úsh kerekli cifr terilgenlik hádiysesi bolsın. Hámmesi bolıp, 10

Itimallıqlardı qosıw teoreması.

Anıqlama. A hám B hádiyseler qosındısı dep bul hádiyselerden keminde birewiniń júz beriwinen ibarat bolǵan C hádiysege aytıladı. Biz birgelikte bolmaǵan A hám B hádiyseler qosındısınıń itimallıǵın qaraymız. P(A) hám P(B) sáykes túrde olardıń itimallıqları bolsın.

1-Teorema. Eki birgelikte bolmaǵan A hám B hádiyseler qosındısınıń itimallıǵı sol hádiyseler itimallıqlarınıń qosındısına teń:

P(A+B) = P(A) + P(B).

Dálilleniwi: Hádiyse itimallıǵınıń klassikalıq anıqlamasına kóre, aytayıq, tájiriybeler nátiyjesi n elementar hádiyseler bolıp, bulardan m1 i A hádiysege, m2 si bolsa B hádiyseni júz beriwine qolaylıq tuwdırsın. Onda

yamasa sarı shar shıǵıwı túsiniledi).

boladı. A+B hádiyse reńli shar shıǵıw hádiysesi A hám B hádiyseler birgelikte emes.

Sonıń ushın 1-teoremaǵa kóre P(A+B)=P(A)+P(B);

41

Endi birgelikte bolǵan hádiyseler ushın qosıw teoremasın qaraymız (eki hádiyseniń birewiniń júz beriwi ekinshisiniń júz beriwin inkar etpeytuǵın hádiyseler).

3-Teorema. Eki birgelikte bolǵan A hám B hádiyseden hesh bolmaǵanda birewiniń júz beriw itimallıǵı hádiyseler itimallıqları qosındısınan olardıń birgelikte júz beriw hádiysesi itimallıǵınıń ayırmasına teń boladı.

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB);

Bul teorema ekewden artıq hádiyseler ushın da orınlı. (Teoremanı dálillew talabalarǵa óz betinshe jumıs sıpatında tapsırıladı).

6-mısal. Eki mergen birewden oq atadı. Birinshi mergenniń nıshanǵa tiygiziw (A hádiyse) itimallıǵı 0,8 ge, ekinshisiniki (B hádiyse) 0,9 ǵa teń bolsa, mergenlerdiń hesh bolmaǵanda birewiniń nıshanǵa tiygizgenlik itimallıǵı tabılsın.

Sheshimi. Másele shártine tiykarlanıp P(A)=0,8, P(B)=0,9. Birgelikte bolǵan hádiyseler ushın itimallıqlardı qosıw teoremasına tiykarlanıp

P(A+B) = P(A) + P(B) – P(A) P(B) =0,8+0,9–0,8 0,9 = 1,7–0,72 = 0,98

İtimallıqlar teoriyası tosınnanlı qubılıslardaǵı (hádiyselerdegi) nızamlıqlardı izertlewshi matematikalıq ilim bolıp tabıladı.

İtimallıqlar teoriyasınıń tiykarǵı túsiniklerinen biri tosınnanlı waqıya túsinigi bolıp tabıladı.

Tosınnanlı hádiyse (waqıya) degende sınaw yamasa tájiriybe nátiyjesinde júzege asıwı yaki aspawı múmkin bolǵan hár qanday waqıyanı túsinemiz.

Sınaw yamasa tájiriybe dep anıq bir shártler kompleksiniń orınlanıwın túsinemiz. Waqıyanıń eń ápiwayı mısalı sıpatında monetanı taslawdıń nátiyjesin qarawǵa

boladı. Bul mısalda monetanı taslaw sınaw, al onıń nátiyjesi waqıya bolıp tabıladı. Bul berilgen sınawda eki waqıya qarastırıladı: «gerb» jaǵınıń shıǵıwı hám «cifr» jaǵınıń shıǵıwı.

Hár qiyli fizikaliq hám texnikaliq máselelerdi ilimiy jaqtan izertlegende tosinnanli qubilislar dep ataliwshi ayriqsha túrdegi qubilislar menen ushirasiwǵa tuwra keledi.

Tosinnanli qubilis-bir sinawdi (tájiriybeni, eksperimentti) bir neshe márte tákirarlaǵanda hár eet hár qiyli ótetuǵin qubilis bolip tabiladi.

Misallar:

1.Bir deneni bir neshe márte analitikaliq tárezide ólshew. 2.Samolettiń berilgen biyiklikte ushiwi hám t.b.

İtimalliqlar teoriyasi hám matematikaliq statistika basqa matematikaliq ilimler siyaqli praktikaniń talabinan kelip shiqqan hám rawajlanbaqta.

Sinawǵa qoyilatuǵin tiykarǵi shárt oniń múmkin bolatuǵin nátiyjesin kórsete biliwimizden ibarat. Biz sinawdiń nátiyjesin waqiya dep túsinemiz.

Sinaw júrgizilgende múmkin bolatuǵin nátiyjelerdiń tek birewi ǵana júzege asiwin elementar waqiya deymiz hám oni ωί arqali belgileymiz. Elementar waqiyalarjiklenbeytuǵin waqiyalar, al sinaw nátiyjesi tek bir ǵana elementar waqiya menen kórsetiledi.

Waqiyalardi latin alfavitiniń bas háripleri A,B,,C,… hám t.b. menen belgideymiz.

42

Sinawdiń múmkin bolatuǵin nátiyjeleriniń kópligin, yaǵniy barliq elementar waqiyalar kópligin elementar waqiyalar keńisligi dep ataymiz.

Oni Ω={ω}={ ω1, ω2,…} arqali belgileymiz.

MÁselen, kubikti bir márte taslaǵanda jup nomerli ochkolar A={ ω2, ω4, ω6} waqiyasin quraydi.

Biz baqlaytuǵin waqiyalardi minaday úsh túrge bóliw múmkin: İsenimli waqiyalar, múmkin emes waqiyalar hám tosinnanli waqiyalar.

İsenimli waqiya dep aniq bir S shártler kompleksi (jiynaǵi) orinlanǵanda sózsiz júzege asatuǵin waqiyaǵa aytiladi.

Máselen +200 temperturada «idistaǵi suw suyiq jaǵdayinda boladi» degen isenimli waqiya. Bul jerde normal` atmosfera basimi hám suwdiń temperaturasi S shártler kompleksin quraydi.

Múmkin emes waqiya dep S shártler kompleksi orinlanǵanda hesh waqitta júzege aspaytuǵin waqiyaǵa aytiladi.

Máselen, joqaridaǵi misaldaǵi shártlerde «idistaǵi suw muz jaǵdayinda boladi» degen waqiya múmkin emes waqiya.

Tosinnanli waqiya dep S shártler kompleksi (jiynaǵi) orinlanǵanda júzege asiwi da júzege aspawi da múmkin bolǵan waqiyaǵa aytiladi.

Máselen monetani taslaǵanda «gerb» jaǵiniń shiǵiwi-tosinnanli waqiya.

Hár bir tosinnanli waqiya, dara jaǵdayda gerb jaǵiniń shiǵiwi kóp ǵana tosinnanli sebeplerge baylanisli (máselen, monetaniń qanday kúsh penen taslanǵanina, monetaniń formasina hám t.b.)

Endi waqiyalarǵa baylanisli bazi bir túsiniklerdi kiriteyik.

Bir neshe waqiyalar berilgen sinawda waqiyalardiń toliq gruppasin hasil etedi dep aytiladi, eger de sinaw nátiyjesinde bul waqiyalardan eń bolmaǵanda birewi sózsiz júzege assa.

Bir neshshe waqiyalar berilgen sinawda birgeliksiz delinedi, eger de olardiń qálegen ekewi bir waqitta júzege aspasa.

Bir neshshe waqiyalar berilgen sinawda teńdey imkaniyatli delinedi, eger de bul waqiyalardiń hesh biri qalǵan basqalarina salistirǵanda júzege asiwi artiqmash dep qarawǵa tiykar bolmasa.

Misallar:

1.Monetani taslaǵanda «gerb» yaki «cifr» kelip shiǵiwi. 2.Kubikti taslaǵanda 1,2,3,4,5,6 ochkolariniń kelip shiǵiwi h.t.b.

Waqiyalar ústinde ámeller

Waqiyalar ústinde ámeller kóplikler ústindegi ámeller siyaqli aniqlanadi.

1) A hám V waqiyalariniń qosindisi dep, bul waqiyalardiń eń keminde birewine derek bolǵan elementar waqiyalardan dúzilgen waqiyalarǵa aytiladi. Oni A+V yamasa AUV arqali belgileydi.

Solay etip, waqiyalardiń qosindisi degende yaki A waqiyasi yaki V waqiyasi, yaki

A hám V ekewi de júzege asatuǵin waqiyani túsinemiz.

Máselen, nishanaǵa eki márte oq atilǵan bolip, A waqiyasi birinshi márte atqanda tiyiwdi, B waqiyasi ekinshi márte atqanda tiyiwdi ańlacin. Onda A+B waqiyasi yaki birinshi márte atqanda, yaki ekinshi márte atqanda, yaki ekewinde de tiyiwdi ańlatadi.

Bir neshe waqiyalardiń qosindisi dep, bul waqiyalardiń eń keminde birewi júzege asatuǵin waqiyaǵa aytiladi.

43

2) A hám V waqiyalariniń kóbeymesi dep,bir waqittiń ózinde hám A hám V ǵa derek bolǵan elementar waqiyalardan dúzilgen waqiyaǵa aytiladi. Oni A·V yamasa A∩V arqali belgileydi.

Demek, waqiyalardiń kóbeymesi degende hám A waqiyasi hám B waqiyasi ekewiniń de bir waqitta júzege asiwin túsinemiz.

Máselen, yashikte №1 hám №2 zavodlarda tayarlanǵan detallar bolip, A waqiyasi standart detaldiń shiǵiwin, B waqiyasi detaldiń №1 zavodta tayarlanǵanin bildirse, onda

A·V waqiyasi №1 zavodtiń standart detaliniń shiǵiwin bildiredi.

Bir neshe waqiyalardiń kóbeymesi dep, bul waqiyalardiń barliǵiniń birgelikte júzege asiwin bildiretuǵin waqiyaǵa aytiladi.

3) A hám V waqiyalariniń ayirmasi dep, A ǵa derek, al V ǵa derek bolmaǵan elementar waqiyalardan dúzilgen waqiyaǵa aytiladi.Oni A-V yamasa A\V arqali belgileydi.

Demek A-V waqiyasi A waqiyasiniń júzege asip, B waqiyasiniń júzege aspawin bildiredi.

Barliq elementar waqiyalar kópligi yaǵniy Ω waqiyasi isenimli waqiya, al bir de elementke iye bolmaǵan Ø bos kópligi múmkin emes waqiya dep ataladi.

Ā= Ω\A waqiyasi A waqiyasina qarama-qarsi waqiya dep ataladi. Ā waqiyasi waqiyasiniń júzege aspawin bildiredi.

MÁselen, eger de A waqiyasi nishanaǵa tiyiwdi bildirse, onda Ā waqiyasi nishanaǵa tiymewdi bildiredi.

Qarama-qarsi waqiyalardiń qosindisi isenimli waqiya, al kóbeymesi múmkin emes waqiya boladi:

A+ Ā= Ω, A· Ā= Ø.

Eger de A· V=Ø bolsa, onda A hám V waqiyalari birgeliksiz dep ataladi.

Eger de A waqiyasi júzege asqanda V waqiyasi da sózsiz júzege assa, onda A niń júzege asiwi V niń júzege asiwin támiynleydi yamasa V waqisi A waqiyasiniń saldari dep ataladi hám oni V A arqali belgileydi.

Eger de A V hám V A bolsa, onda A hám V waqiyalari teń kúshli yamasa ekvivalent waqiyalar dep ataladi. Oni A=V dep belgileydi.

Waqiyalardiń qosindisi hám kóbeymesiniń aniqlamalarinan tikkeley tómendegi teńliklerdiń durisliǵi kelip shiǵadi:

A+A=A

A· A=A

Eger hám V A bolsa, onda A+V=A

A· V=V

Aniqlama. A waqiyasiniń itimalliǵi dep, A ǵa derek elementar waqiyalar saniniń sinawdaǵi uliwma elementar waqiyalar sanina qatnasina aytiladi.

Tosinnanli shama dep sinaw nátiyjesinde áwelden belgisiz anaw yamasa minaw mánisti qabil etiwi múmkin bolǵan shamaǵa aytiladi.

Misallar:

1.Úsh mártebe nishanaǵa atqandaǵi tiyiwler sani;

2.Jańadan tuwilǵan 100 náresteniń ishinde er balalar sani;

3.Bir sutka dawaminda telefon stanciyasina kelip túsken shaqiriqlar sani.

44

Bul keltirilgen misallardiń úshewinde de tosinnanli shamalarimiz sanap shiǵiwǵa bolatuǵin bólek-bólek mánislerdi qabil etedi. Bunday tosinnanli shamalarǵa diskret yamasa úzilikli tosinnanli shamalar delinedi.

Basqa túrdegi tosinnanli shamalar da ushirasadi, máselen: 1.Deneni analitikaliq tárezide ólshegendegi qátelik;2.ushiw apparatiniń berilgen biyiklikke kóterilgen momenttegi tezligi.

Bunday tosinnanli shamalardiń qabil etiwi múmkin bolǵan mánisleri bazi-bir araliqti toltiradi. Bunday tosinnanli shamalarǵa úzliksiz tosinnanli shamalar delinedi. Solay etip:

Diskret tosinnanli shama dep, oniń qabil etiwi múmkin bolǵan mánislerin sanap shiǵiw yamasa nomerlep shiǵiw múmkin bolǵan shamaǵa aytiladi.

Úzliksiz tosinnanli shama dep, oniń qabil etiwi múmkin bolǵan mánisleri bazi bir shekli yamasa sheksiz araliqti úzliksiz toltiratuǵin sh aytiladi.

Tosinnanli shamalardi ,η,… háripleri menen, múmkin bolǵan mánislerin x1, x2,…;y1, y2,… háripleri menen belgileymiz. Máselen, eger de - úsh márte atqandaǵi tiyiwler sanin ańlaca, onda oniń múmkin bolǵan mánisleri:

x1=0; x2=1; x3=2; x4=3 boladi.

Meyli diskret tosinnanli shamasi berilgen bolip, ol x1, x2,… xn mánislerden birewin qabillasin, yaǵniy jup-juptan birgeliksiz waqiyalardiń toliq gruppasin jasaytuǵin: (9.1)

waqiyalarinan birewi júzege assin. Bul waqiyalardiń itimalliqlarin sáykes indeksli p lar menen belgileyik: P{=x1}=p1, P{=x2}=p2, …, P{=xn}=pn.

Biregliksiz (9.1) waqiyalari, waqiyalardiń toliq gruppasin jasaǵanliqtan

Bul qosindi itimalliq tosinnanli shamaniń ayrim xi mánisleri boyinsha qanday da bir jollar mnen bólistirilip, taratilip turadi.

Tosinnanli shamaniń bólistiriw nizami dep tosinnanli shamaniń mánisleri menen olarǵa sáykes itimalliqlardi baylanistiriwshi qádege aytiladi.

Tosinnanli shamaǵa usi nizamǵa boysinadi dep ataymiz. Bul nizam tablicaliq, grafikaliq hám analitikaliq usillarda beriliwi múmkin. Tablica usilinda berilgen jaǵdayda tablicaniń birinshi qatarina múmkin bolǵan mánisleri, al ekinshi qatarina olardiń sáykes itimalliqlari jaziladi:

qolayli boladi: Oniń ushin abscissa kósheri boylap múmkin bolǵan mánislerin, ordinata kósheri boylap sáykes itimalliqlarin qoyip, kelip shiqqan noqatlardi siniq siziq penen tutastiriw kerek.

12-súwret.

Bunday figuraǵa bólistiriliw kópmúyeshligi dep ataladi.

Eger bólistiriliw nizami formula menen berilse, oǵan bólistiriliw nizaminiń analitikaliq usilda beriliwi delinedi.

Binomliq bólistiriliw. Bernulli formulasi Praktikada sinawlar qaytalanip, tákirarlanip turadi.

45

Meyli bir neshshe sinawlar júrgizilgen bolip, hár bir sinawda A waqiyasiniń júzege asiw itimalliǵin P(A)=p, júzege aspawiniń itimalliǵin P(Ā)=1-p=q dep belgileyik. İzbe-iz ótkerilgen eki ǵárezsiz sinawdiń múmkin bolǵan nátiyjelerin kóreyik (1-tablica).

p2+2pq+q2=(p+q)2=1

Sinawlar sani, máselen úshew bolǵanda da tap usilayinsha pikir júritip, joqaridaǵiǵa uqsas

p3+ 3p2q+3pq2+q3=(p+q)3=1

ekenligine iye bolamiz.

Endi máseleni uliwma túrde aniqlawǵa boladi.

Eger hár bir sinawda waqiyaniń júzege asiǵi turaqli hám ol p ǵa teń bolsa, onda

ǵárezsiz n sinawlar júrgizgende usi waqiyaniń m márte júzege asiw itimalliǵi formulasi menen esaplanadi.

Bul formulaǵa Bernulli formulasi delinedi.

Máselen eger sinawimiz nishanaǵa atiwdan ibarat bolip, A waqisi-nishanaǵa tiyiwdi, -nishanaǵa tiymewdi ańlaca, onda tosinnanli shamasi n márte atqandaǵi tiyiwlerdiń sanın bildirip, ol 0,1,2,…,n mánislerdi joqarıdaǵı itimallıqlar menen qabıl etedi degen sóz.

Paydalanılǵan ádebiyatlar

1.Jóraev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 1-tom. T.: «Ózbekiston». 1995.

2.Jóraev T. va boshqalar. Oliy matematika asoslari. 2-tom. T.: «Ózbekiston». 1999.

3.Fayziboyev va boshqalar. Oliy matematikadan misollar. Toshkent.

«O’zbekiston». 1999.

4.A.Rasulov. Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika. Toshkent. ―Turon-Bo’ston‖. 2012 y.

5.Farmonov SH. va boshq. ―Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika‖. T.: ―Turon-Bo’ston‖, 2012 y.

6.Tojiev Sh.I. Oliy matematika asoslaridan masalalar echish. T.:

«Ózbekiston». 2002 y.

7.Nazarov R.N., Toshpólatov B.T., Dusumbetov A.F. ―Algebra va sonlar nazariyasi‖. T., Óqituvchi. I qism 1993., II qism 1995y.

8.Tadjieva Z.G. ―Matematikadan tarixiy materiallardan foydalanish‖. T.: 2003y.

9.Azlarov T.A., Mansurov X. ―Matematik analiz‖ 1-2 qism. T.: ―Óqituvchi‖, 1994y.

10.Hamedova N.A. va bosh. ‖Matematika‖. OO’Yu uchun darslik, T.: Turon iqbol, 2007y.

46