Differencialliq tenlemeler

(m1 )

(m2 )

(mk )

) 0 (i 1,2,..., k) .

(1)

Fi (x, y1 , y1 ,..., y1

, y2

, y2

,..., y2

,..., yk

, yk ,..., yk

Bul sistemanı integrallaw máselesi, usı sistemanıń hár birin qanaatlandıratuǵın

y1 , y2 ,..., yk

funkciyaların tabıwdı talap etedi.

y1(x), y2 (x),..., yk (x)

funkciyalarınıń usınday

jıynaǵın (1)

sistemanıń sheshimi dep ataydı.

y

(m1 )

f

(x, y , y ,..., y

(m1 1) ,..., y

, y

,..., y

(mk 1) ),

1

1

1 1

1

k

k

k

..

(2)

..........

..........

..........

..........

..........

..........

..........

(mk )

(x, y , y ,..., y (m1 1)

(mk 1) ).

y

f

k

,..., y

k

y

,..., y

k

1

1

1

k

k

Jańa belgisiz funkciyalardı kiritiw arqalı

joqarǵı tártipli

k teńlemeler sistemasın oǵan

ekvivalent bolǵan hám barlıq n

(n m1 m2 ... mk )

izlengen funkciyalardıń tuwındılarına

qarata sheshilgen birinshi tártipli

n teńlemeler sisteması menen almastırıw múmkin. Bunday

sistema

dy1

f ( x, y ,..., y

),

dx

n

1

dy

2

f ( x, y1

,..., yn ),

dx

(3)

.................................

dy

n

fn ( x, y1 ,... yn )

dx

dyi

f

(x, y ,...,

y

), i 1,2,...,n

(3 )

i

n

dx

1

túrinde de qısqasha jazıw múmkin, bul jerde f1,

f2 ,..., fn - qarastırılıp atırǵan oblastta anıqlanǵan

hám

úzliksiz

funkciyalar.

Eger

y y1 , y2 ,..., yn ,

f (x, y) f1 ,

f2 ,..., fn ,

dy

dy1

dy2

dyn

,

,...,

dep belgilesek, onda

(3) sistema

dx

dx

dx

dx

dy

f (x, y)

(4)

dx

kórinistegi vektorlıq formadaǵı túrine iye boladı.

(3)

sistemanıń

(a,b) intervalındaǵı sheshimi dep usı intervalda anıqlanǵan,

úzliksiz

differenciallanatuǵın hám (3) sistemanıń hár bir teńlemesin barlıq

x (a,b) ushın orınlı bolǵan

birdeylikke aylandıratuǵın n sandaǵı

y1 y1 (x), y2 y2 (x),..., yn yn (x)

(5)

funkciyalar jıynaǵına aytadı.

júrgizilgen urınbanıń baǵıtlawshı kosinusları 1 sanına hám urınıw tochkadaǵı

(3) sistemanıń oń

jaqlarınıń

mánislerine proporcional boladı.

Eger (3) sistemanıń oń jaǵı berilgen (x, y1 , y2 ,..., yn ) tochka arqalı baǵıtlawshı kosinusları

1 sanına

hám f1 (x, y1,..., yn ),..., fn (x, y1,..., yn ) mánislerine proporcional

bolǵan kesindi

júrgizsek, onda baǵıtlar maydanın alamız.

Solay etip, (1) sistemanı integrallaw máselesi usı baǵıtlar maydanı boyınsha

integrallıq

iymek sızıqlardı tabıwdan ibarat.

(1) normal sistema ushın

y (x ) y (0)

, y

2

(x

0

) y

(0)

,..., y

n

(x ) y

(0)

(6)

1 0

1

2

0

n

bunda x

0

, y

(0) , y

2

(0) ,..., y

(0)

- berilgen sanlar. Geometriyalıq

jaqtan,

Koshi

máselesi (3)

1

n

sistemanıń barlıq integrallıq iymek sızıqları ishinen berilgen (x

0

, y

(0) , y

2

(0) ,..., y

(0) ) tochkadan

1

n

ótiwshi integrallıq iymek sızıqtı tabıwdı ańlatadı.

Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema

támiyinleydi.

Teorema (Pikar teoreması). Meyli (4) teńlemeler sistemasınıń oń jaǵı bolǵan

f (x, y)

vektor-funkciyası

R :

x x0

a,

y y0

b oblastta anıqlanǵan

bolıp,

tómendegi eki

shártti

qanaatlandırsın:

shegaralanǵan boladı:

M ,

bunda M - oń san, al

(x, y) - bul

R oblastınıń qálegen

f (x, y)

tochkası;

2)

f (x, y)

vektor-funkciyası y

ózgeriwshisi boyınsha Lipshic shártin qanaatlandırsın,

yaǵnıy

f (x, y) f (x, y )

L

y y

teńsizligi orınlansın, bunda L -

oń san, al (x, y) hám

(x, y )

- bul

R oblastınıń qálegen eki tochkası.

Sonda

(4)

teńlemeler

sistemasınıń

x x0

h

aralıǵında

anıqlanǵan,

úzliksiz

differenciallanatuǵın hám y(x0 ) y0

baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın y (x)

sheshimi

b

(0)

(0)

(0)

bar

hám

ol

birden-bir

boladı,

bunda

h min a,

,

y0

( y1

, y2

,..., yn

),

al

M

1

n

2

2

f

f ( f1 ,..., fn ) vektorınıń evklid norması.

fi

i 1

D ózgeriw oblastın qaraymız, onıń hár bir

Endi x, y1, y2 ,..., yn ózgeriwshileriniń sonday

tochkası arqalı bir hám tek bir ǵana integrallıq iymek sızıq ótetuǵın bolsın.

Anıqlama. x,C1 ,C2 ,...,Cn ózgeriwshileriniń bazıbir D ózgeriw oblastında anıqlanǵan

hám

x boyınsha úziliksiz differenciallanatuǵın

y1

1 x,C1 ,C2 ,...,Cn ,

x,C ,C

,

y

2

2

2

,...,C

n

1

(7)

.....................................

x,C ,C

y

n

n

2

,...,C

n

1

túrindegi

n funkciyalar jıynaǵı (3) sistemasınıń

D oblastındaǵı ulıwma sheshimi dep ataladı,

egerde ol tómendegi eki shártti qanaatlandırsa:

1) (7) sisteması D oblastında C1 ,C2 ,...,Cn erikli turaqlılarına qarata sheshiledi:

C1

1 x, y1 , y2 ,..., yn ,

x, y , y

,

C

2

2

,..., y

n

2

1

(8)

.....................................

x, y , y

.

C

n

2

,..., y

n

n

1

2)

( x, y1 , y2 ,..., yn )

tochkası

D oblastında ózgergende (8) formulaları menen

anıqlanatuǵın

C1 ,C2 ,...,Cn

erikli turaqlılarınıń barlıq mánislerinde (7) funkciyalar jıynaǵı

(3)

sistemanıń sheshimi boladı.

(5)

sheshim dara sheshim dep ataladı, egerde onıń qálegen tochkası arqalı (3)

sistemanıń

basqa sheshimi ótpese, yaǵnıy bul sheshimniń hár bir tochkasında

Koshi máselesi sheshimi

birden-bir bolsa. (7) ulıwma sheshiminen C1 ,C2 ,...,Cn erkli

turaqlılarınıń

belgili

bir

mánislerinde alınatuǵın sheshim dara sheshim boladı. Eger

(5)

sheshimniń hár bir tochkasında

túrindegi usı differenciallıq teńlemeler sistemasınan keltirilip shıǵarılǵan hám

yi diń

ornına

sistemanıń yi i (x) , i 1, n

sheshimin qoyǵanda, bul dara sheshimniń barlıq tochkalarında

birdeylikke aylanatuǵın qatnastan ibarat.

(4) qatnası (1) sistemanıń birinshi integralı bolıwınıń, zárúrli hám jetkilikli shárti, bul

n

fi (x, y1,..., yn ) 0

(5)

x

i 1

y

i

birdeyliginiń orınlanıwı bolıp tabıladı.

Geyde birinshi integral dep, (x, y1 ,..., yn )

funkciyası túsiniledi.

Eger (1) sistemanıń n

ǵárezsiz

birinshi

integralları 1 (x, y1 ,..., yn ), 2 (x, y1 ,..., yn ), ...,

n (x, y1 ,..., yn )

belgili bolsa, onda joqarıdaǵı aytqanday olardan dúzilgen (3) teńlemelerdiń

jıynaǵı (1) sistemanıń ulıwma integralın beredi.

(3) ulıwma

integraldan

onı y1, y2 ,..., yn

ge

qarata

sheshe otırıp, (1) sistemanıń ulıwma

sheshimin alıwǵa boladı.

1, 2 ,..., n

birinshi

integrallar ǵárezsiz bolıwı

ushın

olardıń

yakobianı nolden ózgeshe bolıwı tiyis:

1

1

... 1

y

y

2

y

n

1

( 1, 2

,..., n )

2

2

... 2

y1

y2

yn

( y , y

)

0.

2

,..., y

n

1

.........................

n

n

... n

y

y

2

y

n

1

dx

dy1

dy2

dyn

...

(6)

1

f1 (x, y1 , y2 ,..., yn )

f2 (x, y1 , y2 ,..., yn )

fn (x, y1 , y2 ,... yn )

túrinde jazıwǵa boladı. Al,

x, y1 ,..., yn ózgeriwshileriniń ornına x1, , x2 ,..., xn

ózgeriwshilerin

jazsaq hám ápiwayılıq ushın ózgeriwshilerdiń sanın

n 1 emes,al n arqalı belgilesek, onda (6)

sistemanı tómendegi túrde jazıwǵa boladı.

dx1

dx2

...

dxn

(7)

X (x , x

2

,..., x

n

)

X

2

(x , x

2

,..., x

n

)

X

1

(x , x

2

,..., x

n

)

1

1

1

1

1 (x1 , x2 ,..., xn ) C1 , 2 (x1 , x2 ,..., xn ) C2 , . . . , n 1 (x1 , x2 ,..., xn ) Cn 1

(8)

dx1

X1

,

dx2

X 2

, . . . ,

dxn 1

X n 1

(7 )

dxn

X n

dxn

X n

dxn

X n

boladı. Bunda

oń jaqlardıń úzliksizligi

buzılmauı ushın x0

, x0 ,..., x0

baslanǵısh

mánislerde

1

2

n

X

n

(x0

, x0 ,..., x

0 ) 0 bolıwı tiyis.

1

2

n

(8) birinshi integrallarınıń hár biriniń yamasa ulıwma aytqanda

(x1 , x2 ,...xn ) C

(8)

(7)

sistemanıń

integrallıq iymek

sızıǵı

boylap funkciyası

turaqlı mánis

saqlaydı,

demek,onıń usı iymek sızıq boylap alınǵan tolıq differencialı nolge teń:

dx

dx

2

... dx

n

0.

x1

1

x2

xn

Biraqta integrallıq iymek sızıqlar boyınsha

dxi

differencialları (7) sistemaǵa muwapıq X i

funkciyalarınıń mánislerine proporcional, demek, hár bir integrallıq iymek sızıq boyınsha

X

(x , x

,..., x

)

X

(x , x

,..., x

)

... X

(x , x

,..., x

)

0

1

1

2

n

x

2

1

2

n

x

2

n

1

2

n

x

n

1

(9)

boladı. Onda joqarıda aytqan analitikalıq shárt tómendegishe beriledi: (7) sistemanıń

birinshi

integralı

bolǵan (x1, x2 ,..., xn )

funkciyası (9) teńlemeni birdeylik túrde qanaatlandıradı hám

kerisinshe (9) teńlemeni qanaatlandıratuǵın ıqtıyarlı

(x1, x2 ,..., xn ) funkciyası (7) sistemanıń

birinshi integralı boladı.

Mısal.

dx

dy

dz

teńlemeler sistemasın sheshiń.

2z y

y

z

dx

2dz dy

,

d (x 2z y) 0.

2z y

2z y

(1)

{

kórinisinde, yamasa

∑

[

] bazıbir berilgen

túrinde jazıladı, bunda

– ǵárezsiz ózgeriwshiniń

úzliksiz haqıyqıy funkciyaları, olar sistemanıń koefficientleri dep ataladı; al

–

[

] ǵárezsiz ózgeriwshini

bazıbir berilgen úzliksiz

haqıyqıy

funkciyalar, olar

sistemanıń erkin aǵzaları delinedi.

Eger

bolsa, onda (1) sistema

(

)

bunda

– belgisiz vektor-funkciya;

– onıń tuwındısı,

– belgili vektor-funkciya,

– sızıqlı differenciallıq teńlemeler sistemasınıń matricası.

barlıq

koefficientleri hám barlıq

erkin aǵzaları [

] aralıqta

úzliksiz bolıwı jetkilikli. Bul jaǵdayda (1) sızıqlı sistema ushın qálegen

baslan sh

shártlerge iye

Koshi máselesi

pútkil [

]

aralqta anıqlan an

birden-bir sheshimge iye boladıı. Bul baslan

sh shártlerde

mánisin belgilep alıp hám

baslan sh mánislerdi ózgerte otırıp, (1) sistemanı

sheshimlerini

sheksiz

kópligin

alamız.

Meyli

matricası hám

vektor-funkciyası

[

] kesindide úzliksiz bolsın hám

. Sonda