Differencialliq tenlemeler
.pdfańlatpasına iye bolamız. Bul (5) teńligin x boyınsha differenciallap, alınǵan nátiyjede funkciyalarınıń tuwındıları qatnasqan aǵzalardıń qosındısın nolge teńeymiz:
C (x) y C |
(x) y |
... C |
(x) y |
0. |
|
1 |
1 2 |
2 |
n |
n |
|
Bul ekinshi qosımsha teńleme boladı. Sonda
Ci (x)
(6)
|
|
|
|
|
y C (x) y C |
(x) y |
... C (x) y |
(7) |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
n |
n |
|
|
boladı. Usılay dawam ete otırıp, n 1-qádemde n 1- qosımsha teńleme alamız |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
C (x) y n 2 |
C (x) y n 2 |
... C |
(x) y |
(n 2) 0 |
(8) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
hám y(n 1) ushın tómendegi ańlatpaǵa iye bolamız |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
y(n 1) C (x) y n 1 |
C (x) y n 1 |
... C (x) y(n 1) . |
(9) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||
Bul (9) teńligin x boyınsha differenciallap, y(n) |
ushın |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
y(n) C (x) y(n 1) C (x) y n 1 ... C (x) y(n 1) |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
n |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x) y n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||
|
|
|
C (x) y |
(n) C |
2 |
... C |
n |
(x) y(n) |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||
ańlatpasın alamız. Endi (3), (5), ..., (10) ańlatpaların (1) teńlemege qoyıp, |
|
||||||||||||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
( x)[ y(n) |
p ( x) y(n 1) |
... p |
n |
1 |
( x) y p |
n |
( x) y |
(x)] |
|
|
|||||||||||||
i |
i |
1 |
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
||||||
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ( x) y(n 1) |
C |
(x) y(n 1) |
... C |
( x) y(n 1) |
f (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
1 |
1 |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
teńlemesin alamız. Al, yi |
yi (x), |
i 1,n funkciyaları cáykes birtekli sızıqlı teńlemeniń dara |
|||||||||||||||||||||||
sheshimleri bolǵanlıqtan, qosındı belgisi astındaǵı |
Ci (x) |
|
qasındaǵı barlıq kóbeytiwshiler nolge |
||||||||||||||||||||||
aylanadı hám Ci (x) funkciyaların anıqlaw ushın kerek bolǵan |
n -teńlemeni alamız |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
C (x) y(n 1) |
C |
(x) y(n 1) |
... C |
(x) y(n 1) |
|
f (x). |
(11) |
||||||||||||||||
|
|
1 |
|
1 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Solay etip, biz belgisizleri |
Ci (x) , i 1,n bolǵan (4), (6), ..., (8), (11) túrindegi |
n birtekli |
|||||||||||||||||||||||
emes sızıqlı teńlemeler sistemasına iye boldıq. Bul sızıqlı sistemanıń anıqlawıshı (1) - teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması ushın Vronskiy
|
|
|
|
|
anıqlawıshı bolıp, ol nolge aylanbaydı, demek, bul sistemanı Ci (x) , i 1,n |
tuwındılarına qarata |
|||
|
|
|
||
sheship, Ci (x) i (x) , i 1,n teńlemelerine iye bolamız. Bul teńlemelerdi integrallasaq |
||||
|
|
Ci (x) 1(x)dx Ci |
(12) |
|
boladı, bunda Ci - jańa erikli turaqlılar. |
|
|||
Ci (x) funkciyalarınıń bul tabılǵan (12) ańlatpaların (3) formulaǵa qoyıp, (1) teńlemeniń ulıwma sheshimine iye bolamız:
n |
|
y C1 y1 (x) C2 y2 (x) ... Cn yn (x) yi i (x)dx. |
(13) |
i 1
Solay etip, (1) teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması belgili bolǵanda (1) birtekli emes sızıqlı teńlemeniń sheshimin kvadratura járdeminde alıwǵa boladı hám bul (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi (13) formulası menen beriledi.
Mısal. y |
1 |
|
|
|
y |
|
|
teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń. |
|
sin x |
||||
Sheshiliwi. Berilgen sızıqlı teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńleme, yaǵnıy y y 0 |
||||
teńlemesi y1 |
cos x, y2 |
sinx túrindegi sheshimlerdiń fundamentallıq sistemasına iye |
||
bolǵanlıqtan, onıń ulıwma sheshimi |
y C1 cos x C2 sin x túrinde jazıladı, bunda C1,C2 |
- erikli |
|||||||||||||||
turaqlılar. Endi |
usı |
erikli turaqlılardı variaciyalaymız |
hám |
berilgen teńlemeniń sheshimin |
|||||||||||||
y C1 (x)cos x C2 (x)sin x kórinisinde izleymiz, bundaǵı C1 (x) hám C2 (x) funkciyaları |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C ( x) cos x C |
(x)sin x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
C ( x)sin x C |
( x) cos x |
sin x |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
sistemasınan anıqlanadı. Bul sońǵı sistemanı C (x) |
hám |
C (x) |
tuwındılarına qarata sheship, |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
C (x) 1, |
C |
(x) |
cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 |
2 |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
teńlemelerine iye bolamız, al olardı integrallasaq, C1 (x) x C1, C2 (x) ln |
|
sin x |
|
C2 |
boladı. |
||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
Bul tabılǵan ańlatpalardı izlengen sheshimge qoysaq, berilgen teńlemeniń |
|
||||||||||||||||
y C1 cos x C2 sin x x cos x sin x ln sin x
túrindegi ulıwma sheshimin alamız, bunda C1,C2 - erikli turaqlılar.
Tákirarlaw ushın sorawlar
1.Eger birtekli emes sızıqlı teńlemeniń bir dara sheshimi hám sáykes birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi belgili bolsa, berilgen teńlemeniń ulıwma sheshimin qalay tabıw múmkin?
2.Birtekli emes sızıqlı teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıwdıń Lagranj usılı neden ibarat?
8-lekciya. Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı. Birtekli bolmaǵan turaqlı koefficientli sızıqlı differenciyallıq teńlemeler
Reje:
1.Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı.
2.Xarakteristikalıq teńleme. Onıń korenleriniń hār qıylı jaḡdayları
3.Ulıwma túri. Anıq emes koefficientler usılı
4.Oń jaḡı kόpaḡzalı bolḡan jaḡday.
5.Oń jaḡı kvazikόpaḡzalı bolḡan jaḡdaylar.
6.Eyler teńlemesi
Tayanısh sόzler: Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı.
Xarakteristikalıq teńleme. Onıń korenleriniń hār qıylı jaḡdayları Anıq emes koefficientler usılı.Kόpaḡzalı. Kvazikόpaḡzalı.Dara sheshimdi dúziw.Eyler teńlemesi.
Meyli n-tártipli turaqlı koefficientli birtekli sızıqlı teńleme bolǵan
L y y(n) a y(n 1) |
a |
2 |
y(n 2) |
... a |
n 1 |
y a |
n |
y 0 |
(1) |
1 |
|
|
|
|
|
|
teńlemesi berilsin, bunda a1 , a2 ,..., an koefficientleri turaqlı haqıyqıy sanlar. Sızıqlı teńlemelerdiń
ulıwmalıq qásiyetlerine muwapıq, (1) teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıw ushın onıń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzetuǵın, yaǵnıy sızıqlı ǵárezsiz bolǵan n dara sheshimlerin tabıw jetkilikli.
Berilgen (1) birtekli sızıqlı teńlemeniń dara sheshimlerin tabıw ushın 1743-jılı L. Eyler qollanǵan usıldı paydalanamız. Bul Eyler usılına muwapıq, (1) teńlemeniń dara sheshimi
y ekx |
(2) |
túrinde izlenedi, bunda k - turaqlı, onı (2) funkciyası (1) teńlemeni qanaatlandıratuǵınday etip saylap alamız.
Usı maqsette (2) ańlatpasın x boyınsha izbe-iz túrde n ret differenciallap,
y kekx , y k 2ekx , ..., y(n) k n ekx |
(3) |
tuwındılarına iye bolamız. Bul (2) hám (3) ańlatpaların (1) teńlemeniń sol jaǵına qoyamız:
|
L[ekx ] (k)ekx , |
|
|
|
|
(4) |
||||||
bunda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) k n a k n 1 |
a |
k n 2 ... a |
n 1 |
k a |
n |
. |
(5) |
|||||
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Sonda (2) funkciyası (1) teńlemeniń sheshimi boladı, |
yaǵnıy L екх 0 |
birdeyligi |
||||||||||
orınlanadı, egerde k sanı |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k) k n a k n 1 a |
k n 2 ... a |
n 1 |
k a |
n |
0 |
(6) |
||||||
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
teńlemeniń koreni bolsa. (6) - bul belgisizi |
k bolǵan n-dárejeli algebralıq teńleme. Ol (1) |
|||||||||||
differenciallıq teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi dep ataladı, al onıń korenleri (1) teńlemeniń xarakteristikalıq sanları dep ataladı. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń sol jaǵı bolǵan
(k) kópaǵzalısı xarakteristikalıq kópaǵzalı dep ataladı.
(1)teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasınıń dúzilisi xarakteristikalıq teńlemeniń korenleriniń túrinen ǵárezli boladı. Bul (6) xarakteristikalıq teńleme n-dárejeli algebralıq teńleme, demek ol n korenge iye. Tómendegi jaǵdaylardı qaraymız
1. Xarakteristikalıq teńlemeniń barlıq korenleri haqıyqıy hám hár qıylı, yaǵnıy ápiwayı korenler
k1 , k2 ,..., kn . |
(7) |
Bul korenlerdi (2) formulaǵa qoyıp, (1) differenciallıq teńlemeniń n dara sheshimine iye bolamız
y ek1x , y |
2 |
ek2 x ,..., y |
n |
ekn x . |
(8) |
1 |
|
|
|
Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz boladı hám sol sebepli olar (1) teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzedi. Sonda (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi
y C ek1 x C |
ek2 x ... C |
ekn x |
(9) |
|
1 |
2 |
n |
|
|
túrinde jazıladı, bunda C1 ,C2 ,...,Cn - ler erikli turaqlılar.
1-mısal. y y 2y 0 teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń.
|
|
Sheshiliwi. Berilgen teńlemeniń k 2 k 2 0 xarakteristikalıq teńlemesi |
k |
1 hám |
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k |
2 |
2 korenlerge iye. Demek, sheshimlerdiń fundamentallıq sisteması |
y ex , |
y |
2 |
e 2 x |
|
|
|
1 |
|
|
|
||
boladı, al ulıwma sheshim y C ex C |
e 2 x |
túrinde jazıladı, bunda |
C |
hám C |
2 |
- erikli |
||
1 |
1 |
2 |
|
|
1 |
|
|
|
turaqlılar.
2. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń barlıq korenleri hár qıylı, biraq olardıń ishinde kompleks korenler bolǵan jaǵday.
Berilgen (1) teńlemeniń koefficientleri haqıyqıy sanlar bolǵanlıqtan, eger xarakteristikalıq teńleme kompleks korenlerge iye bolsa, onda olar kompleks túyinles korenler bolıp keledi,
yaǵnıy k1 i |
hám |
k2 i boladı. |
Bul kompleks túyinles korenler jubına (2) ge |
muwapıq, e( i) x |
hám |
e( i ) x túrindegi |
eki kompleks sheshimler sáykes keledi. Eyler |
formulası boyınsha bul kompleks sheshimniń haqıyqıy bólegin jorıma bóleginen ajıratıp, tómendegige iye bolamız
e( i ) x e x ei x e x (cos x i sin x) e x cos x ie x sin x.
Demek, k1 i kompleks korenge (1) teńlemeniń |
|
|||
|
y e x cos x, y |
2 |
e x sin x |
(10) |
|
1 |
|
|
|
túrindegi eki haqıyqıy sheshimi sáykes keledi. Al, k2 |
|
i túyinles korenge sáykes keletuǵın |
||
e( i ) x |
kompleks sheshimdi e( i ) x e x cos x ie x sin x |
túrinde jazıw múmkin |
||
bolǵanlıqtan, bul sheshimniń (10) haqıyqıy sheshimlerdiń kombinaciyası bolatuǵını kórinip tur. Solay etip, (6) xarakteristikalıq teńlemeniń kompleks túyinles k1,2 i korenler jubına (1)
teńlemeniń (10) túrindegi eki haqıyqıy dara sheshimi sáykes keledi.
Barlıq kompleks túyinles korenler juplarına sáykes keliwshi haqıyqıy dara sheshimlerdi hám haqıyqıy korenlerge sáykes keliwshi dara sheshimlerdi tawıp, sheshimlerdiń fundamentallıq sistemasına iye bolamız, al bul boyınsha ulıwma sheshimdi dúze alamız.
2-mısal. y y 0 teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń.
Sheshiliwi. Berilgen teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi k 2 1 0 túrine iye, al onıń korenleri k1,2 i boladı. Olarǵa sáykes keliwshi kompleks sheshimler y eix , y e ix bolıp, al sızıqlı ǵárezsiz haqıyqıy dara sheshimler y1 cos x, y2 sin x boladı. Sonda ulıwma sheshim y C1 cos x C2 sin x túrinde jazıladı, bunda C1 ,C2 - erikli turaqlılar.
3. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń korenleri ishinde eseli korenler bolǵan jaǵday.
Bul jaǵdayda ekx túrindegi hár qıylı sheshimlerdiń, yaǵnıy sızıqlı ǵárezsiz sheshimlerdiń sanı n nen az boladı hám demek, olar fundamentallıq sistema dúze almaydı. Sol sebepli, jetkiliksiz bolıp turǵan sızıqlı ǵárezsiz dara sheshimlerdi basqa túrde izlewge tuwra keledi.
Eger (6) xarakteristikalıq teńlemeniń k k0 koreni 4 eseli koren bolsa, onda oǵan (1) teńlemeniń
y |
ek0 x, , y |
2 |
xek0 x ,..., y |
4 |
x4 1ek0 x |
(11) |
1 |
|
|
|
|
túrindegi 4 dara sheshimi sáykes keledi. Bunda tómendegi eki jaǵdaydı ayırıp qaraymız. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
a) Meyli |
k0 |
0 |
sanı (6) xarakteristikalıq teńlemeniń 4 eseli |
koreni |
bolsın. Demek, (6) |
||||||||||||||||||||||||
xarakteristikalıq |
|
teńlemeniń |
sol |
jaǵı |
k 4 |
ulıwma |
|
kóbeytiwshige |
iye, yaǵnıy koefficientler |
||||||||||||||||||||||
an |
an 1 an r 1 |
0 , biraq |
an 4 |
0 hám (6) xarakteristikalıq teńleme tómendegi túrde jazıladı |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
kn + a kn - 1 |
+ ... + a |
n - i |
kr = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Bul |
|
teńlemege |
|
sáykes |
|
|
keliwshi |
sızıqlı |
birtekli |
differenciallıq |
teńleme |
||||||||||||||||||
y(n ) + a y(n - 1) + ... + a |
n - i |
y(r ) |
= 0 |
|
túrine iye boladı. Bul sońǵı teńleme |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
1 |
= |
1, y |
2 |
= |
x,..., y |
r |
= |
x r - 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
túrindegi dara sheshimlerge iye, sebebi teńlemede r |
den kishi tártiptegi tuwındılar qatnaspaydı. |
||||||||||||||||||||||||||||||
Bul (12) |
funkciyalar |
(- Ґ ;Ґ ) |
aralıǵında sızıqlı |
ǵárezsiz. Solay etip, (6) |
xarakteristikalıq |
||||||||||||||||||||||||||
teńlemeniń r eseli |
k = 0 korenine (12) túrindegi |
r |
sızıqlı ǵárezsiz |
dara sheshimler sáykes |
|||||||||||||||||||||||||||
keledi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
3-mısal. y IV |
- |
y II |
= 0 teńlemesin sheshiń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
Sheshiliwi. Bul teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi k 4 - |
k2 |
= 0 |
bolıp, ol k = k |
2 |
= 0, |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
k3 = - 1, |
|
k4 = 1 |
korenlerge |
iye. Bundaǵı k1 |
= k2 = 0 |
|
túrindegi |
eki |
eseli |
korenge |
|||||||||||||||||||||
y1 = 1, y2 |
= x |
dara sheshimler, |
al |
k3 = - 1 |
hám |
|
k4 |
= 1 ápiwayı korenlerge, sáykes |
túrde |
||||||||||||||||||||||
y |
3 |
= e- x , |
y |
4 |
= ex dara sheshimleri sáykes keledi. Bul tabılǵan tórt dara sheshim sızıqlı ǵárezsiz |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
dara sheshimler bolıp, olar fundamentallıq sistema dúzedi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
Solay |
etip, |
berilgen |
teńlemeniń |
ulıwma |
sheshimi |
y = C |
1 |
+ C x + C e- x |
+ C ex |
túrinde |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
|
|
|
jazıladı, bunda C1,C 2,C 3,C 4 |
- turaqlılar. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
b) Meyli k0 |
№ 0 sanı (6) xarakteristikalıq teńlemeniń r eseli koreni bolsın. Bul jaǵdayda |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = ek0x z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(13) |
||
túrindegi ózgeriwshilerdi almastırıw máseleni nolge teń bolǵan eseli koren jaǵdayına alıp keledi.
Haqıyqatında da, (1) teńlemede (13) almastırıwın ámelge asırsaq, onda
z(n ) + b z (n - 1) |
+ ... + b z ў+ b z = 0 |
(14) |
|
1 |
n - 1 |
n |
|
differenciallıq teńlemege kelemiz. Bul (14) teńlemeniń dara sheshimin |
|
||
z = epx |
|
(15) |
|
túrinde izleymiz. Sonda onıń xarakteristikalıq teńlemesi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pn + b pn - 1 + ... + b |
p + b |
= 0 |
|
(16) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
n - 1 |
n |
|
|
|
|
boladı. Al, (2), (13), (15) ańlatpaların paydalansaq, onda ekx |
= ek0xepx qatnası |
kelip shıǵadı, |
||||||||||||||||||||
bunnan k = k0 + p. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Demek, |
(16) |
xarakteristikalıq teńlemeniń |
nolden |
ózgeshe |
r eseli |
k0 |
korenine (16) |
|||||||||||||||
teńlemeniń r |
eseli |
p = 0 koreni sáykes keledi. Al, a) punktine muwapıq, (16) xarakteristikalıq |
||||||||||||||||||||
teńleme |
r |
eseli |
|
p = 0 |
korenge |
iye bolǵanlıqtan, oǵan sáykes |
keliwshi |
(14) |
differenciallıq |
|||||||||||||
teńleme |
z |
1 |
= |
1, z |
2 |
= |
x,..., z |
r |
= |
x r - 1 dara sheshimlerge iye boladı. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Demek, |
y = zek0x |
baylanısı |
boyınsha (6) |
xarakteristikalıq |
teńlemeniń r |
eseli k №0 |
||||||||||||||||
korenine |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
1 |
= ek 0 x |
, y |
2 |
= |
x ek0x ..., y |
r |
= |
x r - 1ek0x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
dara sheshimleri sáykes keledi. Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz boladı.
Eger
y |
( ) |
+ p (x)y(n - 1) |
+ ... + p |
(x)y ў+ p (x)y = f (x) |
(1) |
|
n |
|
|
|
|
|
|
1 |
n - 1 |
n |
|
birtekli emes sızıqlı teńlemeniń oń jaǵı |
|
|
|
||
f (x) e x [Pn (x) cos x Qm (x) sin x ]
kóriniske iye bolsa, onda onı anıq emes koefficientler usılı menen sheshken qolaylı, bunda Pn (x )
hám Qm (x ) - sáykes túrde n hám m dárejeli kópaǵzalılar. |
|
|
||||
Bul jaǵdayda (1) teńlemeniń dara sheshimi |
|
|
|
|||
|
y(x ) x re x [P (x ) cos x Q |
(x ) sin x ] |
(2) |
|||
|
|
|
s |
s |
|
|
kóriniste izlenedi, bunda r sanı (1) teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń |
||||||
n a n 1 ... a |
a |
0 |
(3) |
|
||
1 |
n 1 |
n |
|
|
|
|
xarakteristikalıq teńlemesiniń |
i |
koreni eseligine teń bolǵan san. Eger xarakteristikalıq |
||||
teńleme i |
kompleks korenge iye bolmasa, r |
0 dep alınadı. Al, Ps (x ) hám Qs (x ) lar |
||||
s dárejeli anıq |
emes koefficientli kópaǵzalılar |
bolıp, bundas max{n;m } |
boladı. Bul |
|||
kópaǵzalılardıń anıq emes koefficientlerin tabıw ushın (2) ańlatpasın berilgen (1) teńlemege qoyıp, birdey funkciyalar aldındaǵı koefficientlerdi teńlestiriw kerek.
Eger f (x ) f1(x ) f2(x ) ... fp (x ) bolsa, onda (1) teńlemeniń dara sheshimi
y(n ) a y(n 1) |
|
y a |
|
|
|
|
|
|
|
... a |
y |
f |
(x ) |
(i 1, p) |
|||||
1 |
|
n 1 |
n |
|
i |
|
|
|
|
birtekli emes sızıqlı teńlemelerdiń yi (x ) dara sheshimleriniń qosındısınan ibarat boladı.
Turaqlı koefficientli birtekli emes teńlemelerdi sheshiw usılların qollanıwdı mısallarda kórsetemiz.
1 – mısal. y 4y x 2 teńlemesin integrallań.
Sheshiliwi. Dáslep berilgen teńlemege sáykes keliwshi y 4y 0 birtekli teńlemeni sheshemiz. Bul teńlemeniń sheshimin Eyler metodına muwapıq, y e x kórinisinde izleymiz. Xarakteristikalıq teńleme 3 4 0 túrinde jazıladı hám ol 1 0, 2 2, 3 2 korenlerge iye boladı. shamasınıń bul tabılǵan mánislerin izlengen sheshimge qoyıp, birtekli teńlemeniń y1 1, y2 e2x , y3 e 2x dara sheshimlerine iye bolamız. Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz funkciyalar bolǵanlıqtan, birtekli teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzedi. Sol sebepli y C1 C 2e2x C 3e 2x ańlatpası birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimin beredi, bunda C1,C 2,C 3 - erikli turaqlılar.
Berilgen birtekli emes teńlemeniń dara sheshimin tabıw ushın anıq emes koefficientler usılın qollanamız. 0 sanı berilgen teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń
xarakteristikalıq teńlemesiniń koreni hám f (x ) P (x ) x 2 bolǵanlıqtan, berilgen teńlemeniń |
|||
|
|
|
2 |
dara sheshimi y x(A x 2 Bx C ) |
yamasa y A x 3 Bx 2 Cx kórinisinde izlenedi, |
||
bunda A, B,C |
- anıq emes koefficientler. Bul ańlatpanı differenciallap, tómendegige iye |
||
bolamız: |
|
|
|
|
|
||
4 |
y 3A x 2 2Bx C , |
|
|
1 |
|
y 6A. |
|
|
|
|
|
Bul tuwındılardı berilgen teńlemege qoyıp, alınǵan teńliktiń eki jaǵındaǵı x tıń birdey dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, tómendegilerge iye bolamız:
x 2 12A 1,
x8B 0,
x0 4C 6A 0.
|
Bunnan A |
|
|
1 |
, |
B 0, |
C |
1 |
. |
|
|
Demek, |
izlengen |
dara |
sheshim |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y |
|
|
x 3 |
|
x |
|
|
boladı. Al, berilgen teńlemeniń ulıwma sheshimi |
|
|
|||||||||||||||||
d .sh. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y y y |
|
|
|
|
|
|
C |
|
C e2x |
C e 2x |
|
x 3 |
|
x |
|
|
|
|
||||||||
|
d.sh. |
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
12 |
8 |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
2–mısal. |
|
y |
|
y |
4e |
x |
teńlemesiniń |
|
|
|
|
|
3 |
baslanǵısh |
shártlerin |
|||||||||||
|
|
|
|
y(0) 4, y (0) |
|||||||||||||||||||||||
qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıń. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
Sheshiliwi: Berilgen teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi 1 – |
||||||||||||||||||||||||||
mısalda tabılǵan edi: y C1 |
cos x C 2 sin x . Endi berilgen teńlemeniń dara sheshimin anıq |
||||||||||||||||||||||||||
emes koefficientler usılı menen tabamız.
1 sanı 2 1 0 xarakteristikalıq teńlemeniń koreni bolmaǵanlıqtan berilgen
teńlemeniń dara sheshimi y A ex |
kórinisinde izlenedi, bunda A - anıq emes koefficient. A |
|
koefficientti tabıw ushın izlengen sheshimdi eki márte differenciallap, |
y hám y ti berilgen |
|
teńlemege qoyıp, alınǵan teńlikti ex |
qa qısqartqannan keyin A A 4 qatnasına iye bolamız, |
|
bunnan A 2. Demek, berilgen teńlemeniń dara sheshimi y 2ex |
boladı, al onıń ulıwma |
|
sheshimi |
|
|
y(x ) C1 cos x C 2 sin x 2ex
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Endi ulıwma sheshimdi C 1 hám C 2 |
erikli turaqlıların berilgen baslanǵısh shártler boyınsha |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
C 2 cos x 2e |
x |
|
tabamız. Tabılǵan ulıwma sheshimdi differenciallap, y (x ) C1 sin x |
|
|||||||||
ańlatpasın |
alamız. |
y(0) 4 |
hám |
y (0) 3 |
|
ekenin |
esapqa |
alıp, |
||
C1 2 4, |
C 2 2 |
3 |
teńliklerin alamız, bunnan |
C1 |
2, C 2 5. |
Demek, |
||||
y 2 cos x 5 sin x 2ex |
funkciyası berilgen Koshi máselesiniń izlengen sheshimi boladı. |
|||||||||
3 – mısal.y 3y 2y sin x teńlemesin sheshiń. |
|
|
|
|
|
|||||
Sheshiliwi: a) |
2 3 2 0 |
xarakteristikalıq teńleme 1, |
2 korenlerge |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
iye. Sáykes birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi y C ex C e2x |
boladı. |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
b) Berilgen differenciallıq teńlemeniń oń jaǵı |
f (x ) sin x . Bunı (2) formulanıń oń jaǵı |
|
menen salıstırsaq, 0, Pm (x ) 0,Qm (x ) 1, 1 . Al i i sanı |
xarakteristikalıq |
|
teńlemeniń koreni emes. Sol sebepli |
berilgen teńlemeniń |
dara sheshimi |
|
|
lardı tabamız: |
yd.sh. A cos x B sin x kórinisinde izlenedi. y , y |
|
|
y A sin x B cos x, |
|
|
y A cos x B sin x. |
|
|
Endi y, y , y lardı berilgen teńlemege qoyıp, tómendegi teńlikke kelemiz:
A cos x B sin x 3( A sin x B cos x ) 2(A cos x B sin x ) sin x
yamasa
(A 3B ) cos x (3A B ) sin x sin x.
Bul sońǵı teńliktegi cos x hám sin x lar aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, tómendegige iye bolamız:
cos x A 3B 0, sin x 3A B 1.
Bunnan, A |
3 |
, |
B |
|
1 |
. Demek, teńlemeniń dara sheshimi |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
|
3 |
|
cos x |
1 |
|
sin x . |
|
|
|
|
||||||||
d.sh. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
10 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Al, ulıwma sheshimy y yд.ш. bolǵanlıqtan, |
|
|
|
|
||||||||||||||||
y C ex C e2x |
|
3 |
cos x |
1 |
sin x |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
10 |
|
10 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 – mısal.y y x 2e x |
cos x teńlemesiniń dara sheshiminiń túrin anıqlań. |
|
||||||||||||||||||
Sheshiliwi: |
Bul jaǵdayda |
1, 1, P (x ) x 2,Q |
m |
(x ) 0 . Al |
2 1 0 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
xarakteristikalıq |
|
teńleme 1 1 hám 2 1 korenlerge |
iye. |
i 1 i sanları |
||||||||||||||||
xarakteristikalıq teńlemeniń korenleri emes, demek, r 0. Sol sebepli berilgen teńlemeniń dara sheshimi