Differencialliq tenlemeler

y(x0 ) y0 ,

,..., y

(n1)

(n1)

y (x0 ) y0

(x0 ) y0

(3)

(n 1)

(n 1)

R :

x x0

a,

y y0

b,

y y0

b, ...,

y

b

y0

(n 1)

) funkciyası

R oblastında úzliksiz hám demek, ol shegaralanǵan:

1) f (x, y, y ,..., y

(n 1)

)

M

(M 0);

f (x, y, y ,..., y

(n 1)

)

funkciyası

(n 1)

ózgeriwshileri

boyınsha

Lipshic shártin

2) f (x, y, y ,..., y

y, y ,..., y

qanaatlandıradı :

n 1

(n 1)

(n

1)

)

L

(k )

(k )

,

f (x, y1 , y1 ,..., y1

) f (x, y2 , y2 ,..., y2

y1

y2

(4)

k 0

bunda L 0,

y

(0)

y,

(n 1)

(n 1)

R oblastınıń qálegen

(x, y1, y1,..., y1

) hám (x, y2 , y2

al

,..., y2

)

tochkaları.

Sonda (2) differenciallıq teńleme (3) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıratuǵın

x x0

h

aralıǵında

anıqlanǵan birden-bir y y(x)

sheshimge iye boladı, bunda

b

h min a,

.

max( M ,| y |,...,| y(n 1)

|)

Eskertiw. Eger (2) teńlemeniń

oń

jaǵı

(n 1)

boyınsha shegaralanǵan

dara

y, y ,..., y

tuwındılarǵa iye bolsa:

f

K,

k 0, n 1,

y ( k )

onda (4) Lipshic shárti sózsiz orınlanadı hám bunda L K boladı.

Meyli

G - hár bir tochkasında (2) teńleme ushın Koshi máselesi birden-bir sheshimge iye

bolatuǵın oblast bolsın.

Anıqlama. n erikli turaqlı C1,C2 ,...,Cn

di óz ishine alǵan

y (x,C1,C2 ,...,Cn )

(5)

funkciyası (2) teńlemeniń G oblastındaǵı

ulıwma sheshimi dep ataladı, egerde

1) funkciyası x boyınsha n ret úzliksiz differenciallanatuǵın bolsa;

2) qálegen (x

0

, y

0

, y

,..., y

(n 1) ) G tochka ushın

0

0

y0

(x0 ,C1 ,C2 ,...,Cn ),

y

(x

0

,C ,C

2

,...,C

n

),

0

1

........................................

y(n 1)

(n 1) (x

0

,C ,C

2

,...,C

n

)

0

1

sisteması

C1,C2 ,...,Cn

turaqlılarına qarata bir mánisli sheshimge

iye

C 0

1

( x

0

, y

0

, y

,..., y (n 1) ),

1

0

0

C 0

2

( x

0

, y

0

, y

,..., y ( n 1) ),

2

0

0

(6)

............................................

C 0

n

( x

0

, y

0

, y

,..., y (n 1) )

n

0

0

(n 1)

) tochkası G oblastına tiyisli bolǵanda

0

0

0

(x0 , y0 , y0 ,..., y0

(x,C1 ,C2 ,...,Cn ) funkciyası

(2)

teńlemeniń sheshimi bolsa.

Solay etip, n -tártipli

(2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma sheshimi n

erikli turaqlını óz

ishine aladı.

Geometriyalıq

jaqtan,

ulıwma sheshim xOy tegisliginde C1,C2 ,...,Cn

lerden

ibarat

n

parametrden ǵárezli bolǵan integrallıq iymek

sızıqlar toparın

beredi.

(2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma

sheshiminen C1,C2 ,...,Cn

turaqlılarınıń

belgili

bir

sanlıq mánislerinde alınatuǵın hár qanday sheshim usı teńlemeniń dara sheshimi delinedi.

Eger (5) ulıwma sheshim G oblastında anıq emes túrde

(x, y,C1,C2 ,...,Cn ) 0

(7)

(x

0

, y

0

, y

,..., y(n 1) ) D

tochka ushın (1) teńlemeniń

x

0

I

tochkasınıń bazıbir dógereginde

0

0

anıqlanǵan

hám

n ret

úzliksiz differenciallanatuǵın,

(3) shártlerin qanaatlandıratuǵın hám

sonday-aq

y(n) (x

0

) y(n)

bolatuǵın birden-bir y y(x)

sheshimi bar boladı.

0

F(x, y(n) ) 0 .

(1)

Bul teńleme y(n) ge qarata sheshilse, yaǵnıy

y(n) f (x) túrine alıp keliw múmkin bolsa,

onda onıń ulıwma sheshimi

Y

... f (x)dxdx...dx

C1

xn 1 ... Cn 1 x Cn

(n 1)!

n 1

Meyli (1) teńleme

y(n)

ge qarata sheshilmeytuǵın, biraq x

qa qarata sheshiletuǵın teńleme

bolsın, yaǵnıy

x f ( y(n) ) . Onda

y(n) p

dep alıp, onıń

parametrlik

formadaǵı ulıwma

sheshimin

x f ( p),

C1 x

n 1

C2 x

n 2

y

( p)

... Cn 1 x Cn

(n 1)!

(n 2)!

túrinde kórsetiwge boladı.

Eger teńleme

x qa qarata yamasa y(n)

ge qarata sheshilmese, onda

x (t), y(n) (t)

belgilewin jasap, onıń

x t ,

y t, C , C

2

,..., C

n

1

Sheshiliwi.

y t

dep belgileymiz.

Sonda

x t2

1,

bunnan

dx 2tdt . Al,

dy y dx tdx 2t2dt

bolǵanlıqtan, dy

2t 2dt C1 yamasa

y

2

t3

C1

boladı. Bunnan

3

2

3

2

3

4

5

2

dy y dx

t

C1 2tdt bolǵanlıqtan, y

t

C1

2tdt

t

C1t

C2 .

3

15

3

Solay etip, berilgen teńlemeniń parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimi

x t 2 1,

4

t5

C t 2 C

y

2

15

1

túrinde jazıladı.

2. Ǵárezsiz ózgeriwshi anıq túrde qatnaspaytuǵın

F( y(n 1) , y(n) ) 0

(2)

túrindegi teńlemeler. Bul teńlemede z y(n 1)

dep alıp, onı

F(z,

dz

) 0

(3)

dx

Meyli bul teńlik

z ke qarata

z (x, C )

túrinde sheshilsin. Onda

y(n 1)

(x,C ) bolıp,

1

1

f ( p )

x C1

dp,

p

xn 2

y ( p )

C2

... Cn 1x Cn

( n 2)!

F( y(n 2) , y(n) ) 0

(4)

túrindegi teńlemeler. Bul

teńlemeni y

(n 2)

z

almastırıwı járdeminde

0 túrindegi

F(z, z )

ekinshi tártipli teńlemege alıp kelemiz.

Meyli ol z ke qarata

z f (z) túrinde sheshiletuǵın bolsın. Onda bunı integrallap,

dz

x C2

2 f (z)dz C1

yamasa y(n 2) z ti esapqa alsaq, (x, y(n 2) ,C ,C ) 0

túrindegi aralıq integralǵa iye bolamız.

1

2

Bul teńleme n-2-tártipli differenciallıq teńleme

bolıp,

onı joqarıdaǵı

usıllardıń

biri menen

integrallawǵa boladı.

Meyli

F(x, y(k ) , y(k 1) ,..., y(n) ) 0

(1 k n)

(1)

túrindegi teńlemeni qarayıq. Bul teńlemeni

y(k ) z belgilewi járdeminde jańa

z z(x) belgisiz

funkciyasın engiziw arqalı

(n k) -tártipli teńlemege alıp keliwge boladı:

(n k )

) 0.

(2)

F(x, z, z ,..., z

Eger

(2) teńleme

kvadraturada

integrallanatuǵın bolsa,

onda

onı

integrallap,

z (x,C1,...,Cn k )

ulıwma sheshimin yamasa (x, z,C1,...,Cn k ) 0

ulıwma integralın alamız.

Sonda biz qaytadan

y ózgeriwshisine ótip, (1) teńlemeniń

y(k )

(x,C ,...,C

n k

)

yamasa

(x, y(k ) ,C ,...,C

) 0

(3)

1

1

n k

aralıq integralına iye bolamız. Alınǵan (3) teńleme (10.1) tipindegi teńleme boladı.

1-mısal. xy y 0

teńlemesin integrallań.

Sheshiliwi. Berilgen teńlemede belgisiz funkciya

y

hám onıń birinshi tártipli tuwındısı

qatnaspaǵan, yaǵnıy bul 10

tiptegi teńleme.

y z

dep, jańa z belgisiz funkciyasına ócek,

onda berilgen teńleme xz z 0 teńlemesine keledi. Bunnan

dz

dz

dx

0,

dz

dx

x

z 0,

lnC1 , ln

z

ln

x

lnC1, z C1x.

dx

z

x

z

x

Endi

y ózgeriwshige qayta ócek, onda

y C1x teńlemesine iye bolamız. Bul teńlemeni

eki ret izbe-iz integrallap, berilgen teńlemeniń y C1

x3

C2 x C3

ulıwma sheshimin alamız,

3!

(n)

) 0

(4)

F( y, y , y ,..., y