Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1301 вуз, 5076 предмет.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха
Предмет:
Дискретная математика
Файл:

Differencialliq tenlemeler

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
09.08.2024
Размер:
3 Mб
Скачать
☆

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y (x x0 ) ck (x x0 )k ,

 

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

k 0

 

 

 

 

 

 

 

 

bunda hám c0 ,c1 ,c2 ... , c0 c aniqlawi tiyis.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(5) teńlemeni x 0 bolǵanda

qaraymiz. Bul

teńlemege

 

(6)

ańlatpasin x0 0 bolǵanda

qoyip, tómendegige iye bolamiz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1) p0 q0 c0 ( 1) p0 ( 1) q0 c1 ( p0

q0 )c0 x ...

( k)( k 1) ... p

0

( k) q

0

c

k

... ( p

0

q

0

)c

xk ... 0

 

 

 

 

 

 

 

 

0

Bundaǵi x tiń dárejeleri aldindaǵi koefficientlerdi nolge teńlestirip, rekurrentlik teńlemeler sistemasin alamiz:

 

f0 ( )c0 0

 

 

 

f0 ( 1)c1 f1 ( )c0

0

(7)

 

.............................................

 

f0 ( 1)ck f1 ( k 1)ck 1 f2 ( k 2)ck 2

... fk ( )c0 0

 

..........................................................................................

 

Bunda

 

 

 

 

f0 ( ) ( 1) p0 q0 ,

(8)

 

fm ( ) pm qm , m 1

 

 

 

 

Al, c0 0

bolǵanliqtan aniqlawshi teńleme dep atalatuǵin

 

 

( 1) p0 q0 0

 

(9)

 

 

 

teńlemeni qanaatlandiriwi tiyis.

Meyli 1 , 2 - usi

teńlemeniń korenleri bolsin. Eger 1 2 ayirmasi pútin san bolmasa,

onda

f0 ( 1 k) 0,

f0 ( 2 k) 0,

barliq k>0 pútin sani ushin, demek, kórsetilgen metod

penen (1) teńlemeniń eki siziqli ǵarezsiz dara sheshimin dúziwge boladi:

 

 

 

 

 

 

 

 

y1 x 1 ck(1) xk

hám

y2 x 2 ck(2) x k

 

k 0

 

 

 

k 0

Egerde 1

2

ayirmasi pútin san bolsa, onda joqarida kórsetilgen usil menen uliwmalasqan

qatar

túrinde

bir

y1 (x)

sheshimdi

dúziwge boladi. Bul sheshimdi bile otirip, Liuvill –

Ostrogradskiy formulasi járdeminde

y1 (x) penen siziqli ǵarezsiz bolatuǵin ekinshi sheshimdi

tabiw múmkin.

 

 

 

 

 

 

(x) y (x)

 

e

p( x)dx

y

 

 

 

dx

2

 

 

 

 

 

 

 

1

 

y 2

(x)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul formuladan

y2 (x) sheshimdi y2 (x) Ay1 (x) ln x x 1 ck xk túrinde izlew múmkin

k 0

ekenligi kelip shiǵadi.

18-lekciya.Dara tuwındılı birinshi tártipli sızıqlı teńleme hám onıń ulıwma sheshimi. Dara tuwındılı kvazisızıqlı birinshi tártipli DT-ler

Reje:

1.Tiykarǵı túsinikler hám anıqlamalar.

2.Dara tuwındılı birinshi tārtipli sızıqlı teńleme

3.Ulıwma sheshim.

4.Dara tuwındılı kvazisızıqlı birinshi tártipli differenciyallıq teńleme

5.Xarakteristikalar hām integrallıq betlikler.

6.Koshi máselesi sheshiminiń bar-bolıwı hām birden birligi haqqındaḡı KoshiKovalevskaya teoreması

Tayanısh sōzler: Dara tuwındılı differensiallıq teńleme.Tārtibi. Birinshi tārtipli sızıqlı teńleme. Sheshim. Koshi māselesi. Ulıwma sheshim. Kvazisızıqlı teńleme.Xarakteristikalar. Integrallıq betlik. Koshi-Kovalevskaya teoreması

Bir neshe ǵárezsiz ózgeriwshilerdi, olardıń belgisiz funkciyasın hám onıń dara tuwındıların baylanıstıratuǵın teńleme dara tuwındılı differenciallıq teńleme dep ataladı. Teńlemedegi eń joqarı tártipli tuwındınıń tártibi teńlemeniń tártibi delinedi. Eki ózgeriwshili z z(x, y) funkciyası jaǵdayında bunday teńlemeniń ulıwma túri tómendegishe jazıladı:

F (x, y, z,

z

,

z

,

2 z

,

2 z

,

2 z

,...) 0.

 

 

 

 

 

x

y

x2

x y

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Al, x1, x2 ,..., xn

túrindegi n ǵárezsiz ózgeriwshili dara tuwındılı

teńlemeni

 

 

F (x , x ,..., x , u,

u

,...,

u

,

2u

,...,

mu

,...) 0

(1)

 

 

x

x

x2

xm

 

 

 

 

 

1

2

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

n

 

1

 

n

 

 

túrinde jazıw múmkin, bunda F - óz argumentleriniń berilgen funkciyası.

(1) teńlemeniń sheshimi dep, x1, x2 ,..., xn

lerdiń bazıbir ózgeriw oblastında teńlemege kirgen

óziniń tuwındıları menen anıqlanǵan hám

teńlemeni birdeylikke aylandıratuǵın

hár qanday

u u(x1, x2 ,..., xn ) funkciyasına aytıladı. Al,

 

 

 

 

F (x , x ,..., x ,u,

u

,...,

u

) 0

(2)

 

 

1 2

n

x1

 

xn

 

 

 

 

 

kórinisindegi teńleme birinshi tártipli n ózgeriwshili dara tuwındılı teńleme boladı.

(2) dara tuwındılı differenciallıq teńleme ushın Koshi máselesi tómendegishe qoyıladı: Ǵárezsiz ózgeriwshilerdiń birewiniń belgilengen mánisinde, máselen xn xn(0) bolǵanda berilgen úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyaǵa aynalatuǵın, yaǵnıy xn xn(0) bolǵanda

u (x1,..., xn 1 )

(3)

bolatuǵın (2) teńlemeniń

u u(x1, x2 ,..., xn )

(4)

sheshimin tabıw talap etiledi. (3) shártler (4) sheshimniń baslanǵısh shártleri delinedi.

Meyli eki ǵárezsiz ózgeriwshili birinshi tártipli teńleme berilsin:

F (x, y, z,

z

, z ) 0.

(5)

 

x

y

 

Bul teńlemeniń z z(x, y) sheshimine

(x, y, z) keńisliginde bazıbir betlik sáykes keledi.

Bul betlik (5) teńlemeniń integrallık betligi dep ataladı. (5) teńleme ushın Koshi máselesi

x x0

bolǵanda berilgen

 

 

 

z z(x0 , y) ( y)

6

 

baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın

 

 

 

z z(x, y)

(7)

sheshimin tabıwdan ibarat, yaǵnıy x x0 tegisliginde jatıwshı berilgen (6) iymek sızıǵı arqalı ótiwshi (7) integrallıq betlik izlenedi.

(6) baslanǵısh shártlerdi ózgerte otırıp, biz bir ıqtıyarlı funkciyadan ǵárezli sheshimler kópligine iye bolamız.

Joqarı tártipli dara tuwındılı differenciallıq teńlemeler sisteması ushın sheshimniń bar bolıwı hám birden-birligi haqqındaǵı teoremanı saykes funkciyalardıń hám baslanǵısh shártlerdiń analitikalıq bolıwı shártlerinde dálillegen S.V. Kovalevskaya boldı.

Eger (2) teńlemede belgisiz funkciyalardıń dara tuwındıları sızıqlı túrde qatnassa, onda bunday teńleme sızıqlı teńleme delinedi. Ol tómendegishe jazıladı:

X

(x ,..., x , u)

u

X

 

(x ,..., x , u)

u

... X

 

(x ,..., x , u)

u

R(x ,..., x , u),

(8)

 

2

 

n

 

1

1

n

 

x1

1

n

 

 

x2

 

 

1

n

 

xn

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bunda X1, X2 ,..., Xn , R - berilgen funkciyalar. Teńlemeniń oń jaǵı

R birdeylik túrde nolge teń,

al X1, X2 ,..., Xn koefficientleri u ózgeriwshisine ǵárezli bolmaǵanda (8) sızıqlı teńleme

 

 

 

 

X

(x ,..., x )

u

X

 

(x ,..., x )

u

... X

 

(x ,..., x )

u

 

0

(9)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

n x

 

2

1

n x

 

 

 

n

1

 

n x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

túrine iye boladı hám ol birtekli sızıqlı teńleme dep ataladı. Keri jaǵdayda, ol birtekli emes sızıqlı teńleme delinedi.

Simmetriyalıq formadaǵı

 

dx1

 

 

 

 

dx2

 

...

 

 

dxn

 

(10)

X

(x ,..., x )

X

2

(x ,..., x )

X

n

(x ,..., x )

1

1

n

 

 

1

n

 

 

1

n

 

ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması (9) birtekli sızıqlı dara tuwındılı differenciallıq teńlemege sáykes keliwshi sistema delinedi.

Teorema. Eger

(x1,..., xn ) funkciyası

(10) sistemasınıń úzliksiz differenciallanatuǵın

integralı bolsa, onda u (x1

,..., xn )

funkciyası (9) teńlemeniń sheshimi boladı.

Teorema. Eger

u u1 (x1

,..., xn )

const

(9) teńlemeniń sheshimi bolsa, onda u1 (x1,..., xn )

funkciyası (10) sistemanıń integralı boladı.

Haqıyqatında da, birinshi tastıyıqlaw simmetriyalı formadaǵı ápiwayı differenciallıq teńlemeler sistemasınıń integralınıń anıqlamasınan kelip shıǵadı. Al, ekinshi tastıyıqlawdıń orınlı ekeni de ap-anıq derlik. Xaqıyqatında da, u1 (x1,..., xn ) funkciyasınıń tolıq differencialı (10) sistemaǵa muwapıq, birdeylik túrde nolge teń ekenin dálillew kerek, yaǵnıy

du u1

X

(x ,..., x ) u1

X

 

(x ,..., x ) ...

u1

X

 

(x ,..., x ) 0.

(11)

2

 

n

1

x1

1

1

n

x2

 

1

n

xn

 

1

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul u u1 (x1,..., xn ) funkciyasınıń (9) teńlemeniń sheshimi ekeninen kelip shıǵadı.

Demek, bul teoremadan (9) teńlemeni hám (10) sistemanı integrallaw máseleleriniń ekvivalent ekeni kelip shıǵadı.

Berilgen shártlerde (10) sistema dál n-1 ǵárezsiz integrallarǵa iye boladı:

 

 

1 (x1,..., xn ), 2 (x1,..., xn ),..., n (x1,..., xn ).

(12)

Bul integrallar

(x(0)

, x(0)

,..., x(0) )

baslanǵısh tochkanıń bazıbir dógereginde anıqlanǵan hám

 

1

2

n

 

 

úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyalar boladı. Al, (12) integrallarınıń qálegen úzliksiz differenciallanatuǵın

u F(1, 2 ,..., n 1)

(13)

funkciyası da usı (10) sistemanıń integralı boladı hám demek, ol (9) dara tuwındılı teńlemeniń sheshimi boladı. (13) sheshim (9) teńlemeniń ulıwma sheshimi dep ataladı, bunda F - óziniń argumentleriniń qálegen úzliksiz differenciallanıwshı funkciyası.

Eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńleme jaǵdayın qaraymız:

P(x, y)

z

Q(x, y)

z

0,

(14)

 

x

 

y

 

 

bunda z z(x, y) - belgisiz funkciya, al P(x, y)

hám Q(x, y)

- berilgen funkciyalar. (14)

teńlemeniń hár bir sheshimine (x, y, z) keńisliginde bazıbir betlik - usı teńlemeniń integrallık betligi sáykes keledi. Bul jaǵdayda (10) sistema bir teńlemege aynaladı:

 

 

dx

 

dy

 

 

 

 

 

.

(15)

 

 

P(x, y)

Q(x, y)

Meyli (x, y)

usı teńlemeniń integralı bolsın, yaǵnıy (x, y) C - ulıwma integral. Sonda

(14) teńlemeniń ulıwma sheshimi

 

 

 

 

 

 

z F[ (x, y)]

(16)

funkciyası boladı, bunda F - qálegen úzliksiz differeciallanatuǵın funkciya.

Geometriyalıq jaqtan, (14) ulıwma sheshimge bir erikli funkciya F ten ǵárezli bolǵan (16) integrallıq betlikler toparı sáykes keledi.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.Dara tuwındılı differenciallıq teńleme degen ne, onıń sheshimi degen ne? Eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńlemeniń sheshimi qanday geometriyalıq mániske iye?

2.Qanday teńlemege birinshi tártipli dara tuwındılı sızıqlı teńleme dep ataydı? Qanday jaǵdayda ol birtekli, birtekli emes dep ataladı?

3.Birinshi tártipli dara tuwındılı teńleme ushın Koshi máselesi qalay qoyıladı? Ol eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńleme jaǵdayında qanday geometriyalıq maǵanaǵa iye boladı?

4.Birinshi tártipli dara tuwındılı birtekli sızıqlı sistemanıń ulıwma sheshimi qalay dúziledi? Bul teńleme ushın Koshi máselesi qalay sheshiledi?

Meyli

X

 

(x ,..., x

 

,u)

u

X

 

(x ,..., x

 

,u)

u

... X

 

(x ,...x

 

,u)

u

R(x ,..., x

 

,u)

(1)

1

n

 

2

n

 

n

n

 

n

 

1

 

x1

 

1

 

x2

 

1

 

xn

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńlemesi berilsin.

Bundaǵı X1, X 2 ,..., X n koefficientleri hám R oń jaǵı baslanǵısh x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ,u(0)

tochkasınıń bazıbir dógereginde dara tuwındıları menen birge anıqlanǵan hám úzliksiz bolsın, sonıń menen birge,

 

 

 

X

n

(x(0)

,..., x(0)

,u(0) ) 0

.

 

 

 

(2)

 

 

 

 

1

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(1) teńlemeniń sheshimin anıq emes túrde

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (x1,..., xn ,u) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

túrinde izleymiz,

bunda V

 

- óziniń

argumentleriniń bazıbir

úzliksiz

differenciallanatuǵın

funkciyası, sonıń menen birge,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V (x(0) ,..., x(0) ,u(0) )

0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(4)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(3) qatnasın

xk boyınsha differenciallaymız, bunnan

u dı

x1,...., xn

diń (3) teńlemeden

anıqlanatuǵın funkciyası dep qarastıramız. Sonda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

V

u

0

 

 

 

k 1,..., n ,

(5)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xk

 

 

u xk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

bunnan

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

k 1,...,n .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

xk

 

 

 

(6)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

(6) nı (1) ge qoyıp hám V ǵa kóbeytip tómendegige iye bolamız:

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

X

 

V

X

 

 

V

... X

 

 

V

 

R V

0.

(7)

 

1 x

2

x

 

n

 

x

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

u

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(7) teńleme V belgisiz funkciyaǵa qarata birtekli sızıqlı teńleme. Oǵan sáykes keliwshi sistema

 

dx1

 

dx2

...

dxn

 

du

 

(8)

 

X1

X 2

X n

R

 

 

 

 

 

tómendegi n ǵárezsiz integralǵa iye:

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (x1, x2 ,..., xn ,u),..., n (x1, x2 ,..., xn ,u).

(9)

Sonlıqtan,

 

 

V F( 1, 2 ,..., n )

 

 

(10)

qatnası (7) teńlemeniń ulıwma sheshimi boladı. (10) dı (3) ke qoyıp, (1) teńlemeniń

izlengen

sheshimine iye bolamız:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( 1, 2 ,..., n ) 0.

 

 

(11)

Bul (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi

 

boladı,

bunda

F -

ıqtıyarlı

úzliksiz

differenciallanıwshı funkciya.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Meyli

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

P(x, y, z)

z

 

Q(x, y, z)

z R(x, y, z)

 

(12)

x

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

berilsin, bunda z z( x, y) - belgisiz funkciya (1) sistema

 

 

 

 

 

dx

 

dy

 

dz

 

 

 

 

(13)

 

p

Q

R

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

túrine iye. Eger 1 (x, y, z), 2 (x, y, z) usı

sistemanıń ǵárezsiz

integralları

bolsa,

onda (14)

teńlemeniń ulıwma sheshimi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( 1 , 2 ) 0.

 

 

 

(14)

Sızıqlı bir tekli bolmaǵan teńleme ushın Koshi máselesiniń sheshiliwin qarayıq.

Koshi máselesi (1) teńlemeniń

u

xn x0 (x1,..., xn 1 )

 

(15)

shártti qanaatlandıratuǵın u f (x1,..., xn ) sheshimin tabıwdan ibarat, bunda

 

berilgen

úzliksiz differenciallanatuǵın funkciya. (1) teńlemeniń ulıwma sheshimin bilgen halda, Koshi máselesi sheshimin qalay tabıw kerekligin kórsetemiz. Bul jerde tiykarǵı másele ulıwma sheshimdegi F funkciyanıń kórinisin anıqlawǵa keledi.

(9) birinshi integrallarda xn ornına baslanǵısh xn0 mánisti qoyıp, payda bolǵan ańlatpalardı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i arqalı belgilep alamız, yaǵnıy

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x ,..., x

0

,u)

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

n

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x ,..., x

0

, u)

 

 

 

,

 

 

 

 

2

n

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(16)

 

 

................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(x ,..., x

0

,u)

 

 

 

.

 

 

 

 

n

n

 

n

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

(15) baslanǵısh shártti tómendegi kóriniste jazamız: x

n

 

x0 de

u (x ,..., x

) . Bul

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1

n 1

 

shártti (11) teńlik penen salıstırıp F funkciyanı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F( 1, 2 ,..., n ) u (x1, x2 ,..., xn 1)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(17)

 

 

 

 

 

 

 

teńlik orınlanatuǵınday etip saylap alamız. (16) sistemanı

x1, x2 ,..., xn ,u

larǵa

qarata

sheshemiz:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

,

 

 

 

,...,

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

 

 

 

,

 

 

 

,...,

 

 

),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

1

 

 

 

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

...................................

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 1 ( 1 , 2 ,..., n ),

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

xn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 1 ,..., n ).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Endi F ushın

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

F ( 1, 2 ,..., n ) ( 1, 2 ,..., n )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 (

 

1,

 

2 ,...,

 

 

 

 

 

 

 

1,

 

 

2 ,...,

 

n )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n ),..., n 1 (

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

funkciyanı alsaq, (17) shárt orınlanadı. Demek,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(

 

1,

 

2 ,...,

 

n ) 1(

 

1,

 

2 ,...,

 

n ),..., n 1(

 

1,

 

2 ,...,

 

n ) 0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(18)

formula izlenip atırǵan Koshi máselesiniń sheshimin anıq emes túrde beredi. (18) teńlemeni y ke qarata sheship, Koshi máselesi sheshimin anıq túrde tabamız.

 

 

 

u

 

u

 

 

 

 

Mısal. (1

u x y )

 

2

teńlemesiniń

y 0 bolǵanda

z 2x baslanǵısh

 

 

 

x

 

y

 

 

 

 

shártin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıń.

 

 

 

Sheshiliwi. Berilgen dara tuwındılı teńlemege sáykes keliwshi ápiwayı differenciallıq

teńlemeler

 

 

sisteması

 

 

 

dx

 

 

dy

 

du

túrine

iye.

Onıń

integralları

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1 u 2 y, 2 2

 

u x y y

boladı. Bul integrallarda y 0 dep esaplap, tómendegige iye

bolamız:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

u 1 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 u

x

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul sistemanı x hám u ǵa qarata sheship,

x 2 2 ,1 4

u 1

qatnasların tabamız. Sonlıqtan (18) formulaǵa muwapıq, berilgen Koshi máselesiniń sheshimi

 

 

2(

 

 

2

 

2

0

1

1

2 ) 0, 2

1

 

 

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı yamasa 1 hám 2 lerdi olardıń ańlatpaları menen almastırsaq, onda

2u 4 y (2u x y y)2 0

boladı.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.Birinshi tártipli dara tuwındılı birtekli emes sızıqlı teńlemeniń ulıwma sheshimin qalay dúziwge boladı?

2.Bul teńleme ushın Koshi máselesi qalay sheshiledi?

Тийкаргы адебиятлар

1.Morris Tenebout, Harry Pollard. Ordinary Differential Equations. Birkhhauzer. Germany, 2010.

2.Robinson J.C. An Introduction to Ordinary Differential Equations, Cambridge University Press 2013.

3.Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., КомКнига/ URSS. 2006. –

472 с.

4.Эльсгольц Л.Е. Дифференциальные уравнения и вариационное исчиление. М.,

КомКнига/ URSS. 2006. – 312 с.

5.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. Ижевск: Изд-во РХД. 2000. – 175 с.

Қосымша адебиятлар

6.Мирзиѐев Ш.М. Эркин ва фаровон, демократик Ўзбекистон давлатини биргаликда барпо этамиз. Ўзбекистон Республикаси Президенти лавозимига киришиш тантанали маросимига бағишланган Олий Мажлис палаталарининг қўшма мажлисидаги нутқ, Тошкент, 2016. 56-б.

7.Мирзиѐев Ш.М. Танқидий таҳлил, қатъий тартиб-интизом ва шахсий жавобгарлик

– ҳар бир раҳбар фаолиятининг кундалик қоидаси бўлиши керак. Мамлакатимизни 2016 йилда ижтимоий-иқтисодий ривожлантиришнинг асосий якунлари ва 2017 йилга мўлжалланган иқтисодий дастурнинг энг муҳим устувор йўналишларига бағишланган Вазирлар Маҳкамасининг кенгайтирилганмажлисидаги маъруза, 2017 йил 14 январъ –Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 104-б.

8.Мирзиѐев Ш.М. Қонун устуворлиги ва инсон манфаатларини таъминлаш-юрт тараққиѐти ва халқ фаровонлигининг гарови. Ўзбекистон Республикаси Конституцияси қабул қилинганининг 24 йиллигига бағишланган тантанали маросимдаги маъруза. 2016 йил 7 декабрьТошкент, Ўзбекистон, 2017. 48-б.

9.Мирзиѐев Ш.М. Буюк келажагимизни мард ва олижаноб халқимиз билан бирга қурамиз. Мазкур китобдан Ўзбекистон Республикаси Президенти Шавкат Мирзиѐевнинг 2016 йил 1 ноябрдан 24 ноябрга қадар Қорақалпоғистон Республикаси,вилоятлар ва Тошкент шахри сайловчилари вакиллари билан ўтказилган сайловолди учрашувларида сўзлаган нутқлари ўрин олган.-Тошкент, Ўзбекистон, 2017. 488-б.

10.Салохиддинов М.С., Насриддинов Г. Оддий дифференциал тенгламалар. Тошкент. Ўқитувчи. 1994.

11.Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М., 1991. 314 с.

12.Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: изд-во Моск. Ун-та. 1984.

13.Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1987.

14.Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука.1980.

15.Самойленко А.М. и др. дифференциальные уравнения. М., 1989. 384

16.Амелькин В.В. Дифференциальное уравнение в приложениях. М.: Наука. 1987.

Интернет сайтлари

1.www.lib.homelinex.org/math

2.www.eknigu.com/lib/Mathematics/

3.www.eknigu.com/info/M_Mathematics/MC

Соседние файлы в предмете Дискретная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности