Differencialliq tenlemeler
.pdf
A) ornıqlı túyin; B) ornıqsız túyin.
2) Meyli bolsın. Bul jaǵday n ǵa almastırǵanda aldıńǵı jaǵdayǵa ótedi.
Demek, traektoriyalar aldıńǵı jaǵdaydaǵıday túrge iye boladı, biraq ta, tek traektoriyalar boyınsha noqatlar qarama-qarsı baǵıtta qozǵaladı.
Kórinip turǵanınday, koordinatalar basına qálegeninshe jaqın noqatlar |
nıń ósiwi menen |
koordinatalar basınıń -dógereginen uzaqlasadı. Qarastırılǵan tiptegi teń |
salmaqlıq awhalı |
ornıqsız túyin dep ataladı. |
|
3) Eger |
bolsa, onda teń salmaqlıq awhal jáne ornıqsız boladı, sebebi |
traektoriyalar boyınsha qozǵalıwshı noqat parametriniń qálegeninshe kishi mánislerinde nıń ósiwi menen koordinatalar basınıń -dógereginen shıǵıp ketedi.
Qarastırıp atırǵan jaǵdayda koordinatalar basına jaqınlasıwshı qozǵalıs ta bar, atap aytqanda:
bolǵanlıqtan, koordinatalar basina jaqınlasadı.
Sonıń menen birge, parametriniń hár qıylı mánislerinde birdey tuwrısı boyınsha
hár qıylı qozǵalıslar alamız. óskende bul tuwrıdaǵı noqatlar koordinatalar basına qaraǵan baǵıt boyınsha qozǵaladı.
Al, |
|
tuwrısı boyınsha traektoriya noqatlar nıń ósiwi menen koordinatalar basınan |
|||
|
|||||
uzaqlasıp qozǵaladı. Eger de |
hám |
bolsa, onda |
da hám sonday-aq, |
||
da traektoriya teń salmaqlıq awhalı dógereginen shıǵıp ketedi. Qarastırıp atırǵan tipte, atap
aytqanda, |
hám |
korenler haqıyqıy hám hár qıylı bolıp, hár qıylı belgili bolǵanda, yaǵnıy |
|
bolǵanda |
teń salmaqlıq awhalı er dep ataladı. |
Er
b) Meyli (3) xarakteristikalıq teńlemeniń korenleri kompleks, yaǵnıy bolsın. Bul jaǵdayda qarastırip atırǵan (2) sistemanıń ulıwma sheshimin
|
|
|
|
(6) |
túrinde kórsetiwge boladı, bunda |
hám |
– erikli turaqlılar, al |
hám |
– us turaqlılardıń |
bazıbir sızıqlı kombinaciyaları. Bunda tómendegi jaǵdaylar bolıw múmkin: |
|
|||
1) |
Bul jaǵdayda waqıt ósiwi menen |
kóbeytiwshisi nolge |
||
umtıladı, al (6) te liklerdegi ekinshi periodlı kóbeytiwshi shegaralanǵan bolıp qaladı. Egerde
bolsa, |
onda (6) te |
likleriniń oń jaǵındaǵı ekinshi |
kóbeytiwshiniń periodlı bolıwına |
||
baylanslı traektoriyalar |
teń salmaqlıq awhalın qorshaytuǵın tuyıq iymek sızıqlar |
||||
boladı. Al, |
ózgeriwshiniń ósiwi menen nolge umtılatuǵın |
|
kóbeytiwshiniń bar |
||
bolıw tuyıq iymek sızıqlardı spirallarǵa aylandıradı, bul spirallar |
da koordinatalar basına |
||||
asimptotikalıq túrde jaqınlasadı, sonıń menen birge, |
bolǵanda koordinatalar basınıń |
||||
qálegen |
-dógereginde turǵan noqatlar jetkilikli úlken bolǵanda da teń salmaqlıq awhalınıń |
||||
berilgen |
-dógeregine tiyisli boladı. Demek, teń salmaqlıq awhalı asimptotikalıq ornıqlı hám |
||||
ornıqlı fokus dep ataladı. Fokus túyinnen sonıń menen ayrıladı, traektoriyalarǵa júrgizilgen urınbalar urınıw noqatı teń salmaqlıq awhalına jaqınlasqanda belgili bir shekke umtılmaydı.
A) ornıqlı fokus; B) oray. |
|
|
2) |
Bul jaǵday n |
ǵa almastırǵanda aldıńǵı jaǵdayǵa ótedi. |
Demek, traektoriyalar aldıńǵı jaǵdaydan ózgeshelenbeydi, biraq olar boyınsha qozǵalıs
óskende keri baǵıtta boladı. |
baslanǵısh momentte koordinatalar basına qálegeninshe jaqın |
|
jaylasqan noqatlar ósiwshi |
kóbeytiwshi bar bolǵanlıqtan, |
nıń ósiwi menen |
koordinatalar basınıń -dógereginen uzaqlasadi. Bul jaǵdayda teń salmaqlıq awhalı ornıqsız hám
ol ornıqsız fokus |
dep ataladı. |
3) |
Sheshimniń periodlıǵına baylanıslı bul jaǵdayda traektoriyalar |
teń salmaqlıq awhalın óz ishine alatuǵın tuyıq iymek sızıqlar boladı. Bul jaǵdayda teń salmaqlıq awhalın oray dep ataydı. Oray ornıqlı tınıshlıq noqat (teń salmaqlıq awhalı) boladı, sebebi
qálegen berilgen |
ushın sonday |
sanın tańlap alıw múmkin, noqatlar koordinatalar |
||
basınıń -dógereginde jatqan tuyıq traektoriyalar yamasa |
hám shamaların sonday kishi etip |
|||
tańlap alıw múmkin, mına |
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
sheshimler |
|
teńsizligin qanaatlandıradı. Biraq, bul jaǵdayda asimptotikalıq |
||
ornıqlılıq bolmaydı, sebebi |
hám |
funkciyalar |
da 0 ge umtılmaydı. |
|
c) Meyli (3) xarakteristikalıq teńleme korenleri eseli korenler bolsın:
1) Dáslep |
bolǵan jaǵdaydı qarayıq. |
|
|
|
Ulıwma sheshim eseli korenler bolǵan jaǵdayda |
|
|
||
|
{ |
|
|
|
túrine iye boladı. Sonıń menen birge, |
bolıwı da múmkin, bul jaǵdayda |
hám |
||
erikli turaqlılar boladı. Al, |
|
da tez nolge umtılatuǵın |
kóbeytiwshi bolǵanlıqtan, |
|
kóbeymesi |
|
da nolge umtıladı, sonıń menen birge, jetkilikli úlken |
||
bolǵanda da koordinatalar basınıń qálegen -dógereginiń noqatlar koordinataları basınıń berilgen -dógeregine tiyisli boladı hám demek, tınıshlıq noqat asimptotikalıq ornıqlı. Bul ornıqlı túyin
boladı. |
|
Eger |
bolsa, onda jáne ornıqlı túyinge iye bolamız. Bul jaǵdayda teń salmaqlıq |
awhalı dikritikalıq túyin dep ataladı.
A) dikritikalıq túyin; B) ornıqsız túyin.
2) Eger bolsa, onda n ǵa almastırıp, aldıńǵı jaǵdayǵa kelinedi, demek, traektoriyalar aldıńǵı jaǵdaydıń traektoriyalarınan parıqlanbaydi. Bul jaǵdayda tınıshlıq noqat ornıqsız túyin delinedi.
Solay etip, | |
|
| |
bolǵandaǵı barlıq múmkin bolǵan jaǵdaylar qarastırıldı. |
|||
Endi | |
| |
bolǵan jaǵdaydı qaraymız. Sonda xarakteristikalıq teńleme |
||||
|
|
|
|
| |
| |
|
túrine iye bolıp, |
|
korenge iye boladı. Meyli bunda |
bolsın. Sonda ulıwma sheshim |
|||
|
|
|
|
{ |
|
|
túrine iye boladı. Bul teńliklerden |
nı shıǵarıp taslap, |
|
parallel |
|||
tuwrlar toparna |
iye |
bolamz. Bunda |
bolsa, |
tuwrısında |
jaylasqan tınıshlıq |
|
noqatlarnıń (teń salmaqlıq awhallarınıń) bir parametrli toparın alamız. Eger |
bolsa, onda |
|||||
da hár bir traektoriyada noqatlar usı traektoriyada jatatuǵın |
tınıshlıq |
|||||
noqatına jaqınlasadı. |
|
tınıshlıq noqatı ornıqlı, biraq asimptotikalıq ornıqlı bolmaydı. |
||||
A) ornıqlı tınıshlıq noqatlarınıń tuwrısı ( |
); B) ornıqsız tınıshlıq noqatlarnıń |
|
tuwrısı ( |
). |
|
Egerde bolsa, onda traektoriyalar aldıńǵı jaǵdaydaǵıday bolıp jaylasadı da, biraq traektoriyalardaǵı noqatlar qozǵalıs qarama-qarsı baǵıtta boladı. Bul jaǵdayda
tınıshlıq noqatı ornıqsız boladı.
Egerde bolsa, onda tómendegi eki jaǵday bolıwı múmkin:
1) (2) sistemasnıń ulıwma sheshimi
{
túrine iye. Bul jaǵdayda barlıq noqatlar tınıshlıq noqatlar boladı, barlıq sheshimler ornıqlı.
2) Ulıwma sheshim tómendegi túrge iye:
|
|
|
|
{ |
bunda |
hám |
turaqlılar |
hám |
erikli turaqlılarnıń sızıqlı kombinaciyası. Bul jaǵdayda |
|
tınıshlıq noqatı ornıqsız. |
|
||
17-lekciya. Ekinshi tártipli sızıqlı differenciyallıq teńlemeni āpiwayı koriniske keltiriw.
Shegaralıq máseleler. Ekinshi tártipli DT-lerdi dárejeli qatarlar járdeminde integrallaw
Reje:
1.Ekinshi tártipli sızıqlı differenciyallıq teńlemeni āpiwayı koriniske keltiriw.
2.Shegaralıq máseleler. Grin funkciyası
3.Grin funkciyasınıń bar bolıwı hām birden-birligi haqqında
4.Menshikli mānisler hām menshikli funksiyalar túsinigi
5.Ekinshi tártipli DT-lerdi dárejeli qatarlar járdeminde sheshiw
6.Uliwmalasqan dārejeli qatarlar
Tayanısh sōzler: Ekinshi tártipli sızıqlı differenciyallıq teńleme. Shegaralıq shārtler. Shegaralıq másele. Grin funkciyası.Menshikli mānisler hām menshikli funksiyalar túsinigi. Dárejeli qatarlar. Uliwmalasqan dārejeli qatarlar
Biz differencialliq teńlemeler ushin Koshi máselesin úyrendik. Ápiwayi qilip aytqanda, Koshi máselesi berilgen tochkadan ótetuǵin integralliq iymek siziqti izlewden ibarat edi. Eger integralliq iymek siziqtiń berilgen eki tochkadan otiwi talap etilse, bul másele Koshi máselesinen pariq qilip, berilgen eki tochkaniń hár biri ushin ayirim alinǵan Koshi máselesi sheshimge iye bolsa da, bul qoyilǵan másele sheshimge iye bolmawi múmkin,
Birinshi tártipli differenciyalliq teńleme ushin másele
|
dy |
f (x, y), y(x |
|
) y |
|
, |
y(x ) y |
|
||
|
|
o |
o |
|
||||||
|
dx |
|
|
|
1 |
1 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
túrinde jaziliwi múmkin. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Ekinshi tártipli siziqli teńleme bolǵan |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
a(t)x b(t)x b(t)x f (t) |
(1) |
|
teńlemeni qarayiq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
Meyli a(t),b(t),c(t) |
hám |
f (t) |
funkciyalari bazibir to t t1 |
kesindide aniqlanǵan hám |
||||
úzliksiz bolsin. Usi (1) teńlemeniń |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x(t0 ) 1 x(t0 ) A, |
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
o x(t1 ) 1 x(t1 ) B |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
shártlerin qanaatlantiratuǵin |
x(t) |
sheshimin izleymiz, bunda o , 1 , A, o , B1 - turaqlilar. |
||||||||
Bul (2) shártler shegaraliq yamasa shetki shártler dep, al, (1), (2) máselesiniń ózi shegaraliq másele dep ataladi.
(1), (2) shegaraliq másele ushin tómendegi úsh múmkinshiliktiń birewi orinli boliwi múmkin: shegaraliq másele birden-bir sheshimge iye, sheshimlerdiń sheksiz kópligine iye, uliwma sheshimge iye emes.
(1), (2) shegaraliq máseleni sheshiw ushin dáslep (1) differencialliq teńlemeniń uliwma sheshimin tabamiz. Keyin tabilǵan uliwma sheshimdi berilgen (2) shegaraliq shártlerge qoyip, uliwma sheshimdegi C1, C2 erikli turaqlilarina qarata algebraliq teńlemeler sistemasina iye bolamiz. Eger bul sistema bir mánisli sheshiletuǵin bolsa, oni sheship, C1, C2 erikli turaqlilardiń tabilǵan mánislerin uliwma sheshimge qoyip, berilgen shegaraliq máseleniń sheshimine iye bolamiz.
Misal. Mina
x x 0 |
(3) |
differencialliq teńleme ushin shegaraliq shártleri
x(0) 0 , |
x(1) 1, |
(4) |
x(0) 0 , |
x( ) 1, |
(5) |
x(0) 0 , |
x( ) 0 , |
(6) |
bolǵan úsh shegaraliq máseleni qaraymiz. |
|
|
Berilgen (3) tenlemeniń uliwma sheshimi |
|
|
x(t) c1 cos t c2 sin t |
(7) |
|
boladi. (3), (4) shegaraliq másele birden-bir sheshimge iye, sebebi (7) formuladan (4) shártlerge muwapiq,
C |
1 |
|
, |
C |
|
0 |
|
2 |
|||||
1 |
sin1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
||
mánislerin alamiz. Bul mánislerdi (7) formulagáa qoysaq, onda x(t) sin1 1 cos t sheshimge iye bolamiz.
(3), (5) shegaraliqmásele sheshimge iye emes, sebebi (7) formuladan (5) shártlerge muwapiq,
kelip shiǵadi, al bul múmkin emes.
(3), (6) shegaraniń másele sheksiz kóp sheshimlerge iye: x C1 cos t , bunda C1 - qálegen
turaqli.
Shegaraliq máseleni Grin funkciyasi járdeminde sheshiw. Mina
a(t)x b(t)x b(t)x f (t) |
(8) |
teńleme ushin
x(t |
) x(t |
) A, |
|
2 |
|
2 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
|
0 |
|
1 |
(9) |
o x(t1) 1x(t1) B |
|
|
|
|
||||
02 |
12 0 |
|||||||
shegaraliq shártlerdi qanaatlantiratuǵin shegaraliq máseleni qarayiq.
Bul (8), (9) shegaraliq másele birden-bir sheshimge iye dep uyǵarayiq.
Meyli x x1 (t) |
funkciyasi |
|
|
|
|
||
|
|
|
a(t)x b(t)x c(t)x 0 |
|
(10) |
||
teńlemeniń |
(9) |
shegaraliq |
shártlerdiń |
birinshisin |
qanaatlandiratuǵin, |
yaǵniy |
|
0 x1 (t0 ) 1 x1 (t0 ) 0 |
bolatuǵin |
trivialliq emes |
sheshimi, al |
x x2 (t) funkciyasi |
usi (10) |
||
teńlemeniń ekinshi shegaraliq shártti qanaatlandiratuǵin, yaǵniy 0 x2 (t1 ) 1 x2 (t1 ) 0 bolatuǵin trivialliq emes sheshimi bolsin.
Sonda ekinshi shegaraliq shártti qanaatlandirmaydi, sebebi keri jaǵdayda qálegen C turaqlida funkciyasi (9), (10) shegaraliq máseleniń sheshimleri bolar edi hám biziń
(8), (9) shegaraliq máselemiz sheksiz kóp sheshimlerge iye bolar edi. Dál usinday etip, sheshimniń birinshi shegaraliq shártti qanaatlandirmaytuǵini dálillendi. Solay etip,
0 x1 (t1 ) 1 x1 (t1 ) 0
0 x2 (t0 ) 1 x2 (t0 ) 0 |
|
Bul dúzilgen x x1 (t) , |
x x2 (t) sheshimler siziqli ǵárezsiz, sebebi keri jaǵdayda olar |
proporcional bolar edi hám birdey shegaraliq shártlerdi qanaatlandirar edi, al bul múmkin emes.
(8), (9) shegaraliq máseleniń Grin funkciyasi dep, t a,b , s a,b bolǵanda aniqlanǵan hám hár bir fiksirlengen s a,b ushin tómendegi shártlerdi qanaatlandiratuǵin G(t, s) funkciyasina aytiladi:
1)t s bolǵanda G(t, s) funkciyasi (10) teńlemeni qanaatlandiradi;
2)t t1 hám t t2 bolǵanda G(t, s) funkciyasi (9) shegaraliq shártlerdi qanaatlandiradi;
3) t s bolǵanda G(t, s) funkciyasi t boyinsha úzliksiz, al oniń tuwindisi t |
boyinsha sekiriwi |
||||
1 |
ǵa teń bolǵan birinshi tekli úziliske iye: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
G(s 0, s) G(s 0, s), |
|
|
|
|
|
Gt (s 0, s) Gt (s 0, s) |
1 |
|
(12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
a(s) |
|
||
|
|
|
|
||
Bul (8), (9) shegaraliq máseleniń Grin funkciyasin dúziw ushin (10) teńlemeniń nólden ózgeshe bolǵan eki x1 (t) hám x2 (t) sheshimlerin tabamiz, olardiń birinshisin, al ekinshisin usi shártlerdiń ekinshisin qanaatlandiratuǵin bolsin.
Eger |
x1 (t) bir waqitta (9) shegaraliq shártlerdiń ekewin qanaatlandirmasa onda G(t, s) grin |
||||||
funkciyasi bar boladi hám oni tómendegi túrde izlewge boladi: |
|
||||||
|
|
(s)x1 (t), |
t 0 t s, |
(13) |
|||
|
|
G(t, s) |
|
|
|
s t t |
|
|
|
(s)x |
2 |
(t), |
|
||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
bunda |
(s) hám |
(s) funkciyalari |
(13) funkciyasi (12) shártleri qanaatlantiratuǵinday etip, |
||||
yaǵniy |
|
|
|
|
|
|
|
(s)x2 (s) (s)x1 (s), |
|
|||
|
|
|
|
|
|
' |
' |
|
1 |
(s)x2 |
(s) (s)x1 |
(s) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
a(s) |
|
|
|
|
|
bolatuǵinday etip saylap alinadi. Eger G(t, s) Grin funkciyasi tabilsa, onda (8), (9) shegaraliq máselesiniń sheshimi
t1
x(t) G(t, s) f (s)ds
t0
formulasi menen ańlatiladi.
Birinshi tártipten joqari tártipli ózgermeli koefficientli siziqli differencialliq teńlemeniń sheshimleri bárhá elementar funkciyalarda ańlatila bermeydi hám bunday teńlemeni integrallaw kvadratularǵa da siyrek alip kelinedi.
Bunday teńlemelerdi integrallawdiń eń kóp tarqalǵan usili izlengen sheshimdi dárejeli qatar túrinde kórsetiw bolip tabiladi.
Ekinshi tártipli teńleme bolǵan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
y'' p(x) y' q(x) y 0 |
|
|
|
|
|
|
|
(1) |
|||||
teńlemesin qarayiq. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Meyli (1) teńlemeniń p(x) |
|
hám |
q(x) koefficientleri |
|
x x0 |
|
a |
intervalda analitikaliq |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
funkciyalar bolsin, yaǵniy |
|
|
x x0 |
|
a |
bolǵanda jiynaqli bolǵan dárejeli qatarlarǵa jayilatuǵin |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
bolsin: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p(x) pk (x xo )k , |
q(x) qk (x xo )k , |
(2) |
||||||||||||||||
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Teorema. Eger p(x) |
hám q(x) funkciyalari |
|
x x0 |
|
a |
|
bolǵanda analitikaliq funkciyalar |
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
bolsa, onda (1) teńlemesiniń hár qanday y y(x) sheshimi |
|
|
x x0 |
|
a |
bolǵanda analitikaliq |
|||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
funkciya boladi, yaǵniy |
|
x x0 |
|
a |
bolǵanda |
jiynaqli bolatuǵin |
|
dárejeli qatarǵa jayiladi: |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) ck (x xo )k , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k 0
Bul teorema (1) teńlemeni integrallawǵa yaǵniy oniń sheshimin dárejeli qatar kórinisinde dúziwge múmkinshilik beredi. Bunday dúziwdiń algoritmi tómendegiden ibarat. A’piwayiliq ushin x0 0 dep esaplaymiz. (1) teńlemeniń sheshimin x tiń dárejeleri boyinsha jayilǵan aniq emes koefficientli qatar túrinde izleymiz:
|
|
|
|
|
|
|
|
y(x) ck xk , |
(3) |
||
|
|
|
|
k 0 |
|
bunda ck , |
k 0,1,2,... - aniq emes koefficientler. (3) qatardi (1) teńlemege qoyip, |
|
|||
|
|
|
|
|
|
k(k 1)ck xk 2 pk xk kck xk 1 |
qk xk ck xk 0 |
|
|||
k 2 |
k 0 |
k 1 |
k 0 |
k 0 |
|
teńligin alamiz.
Bul teńlikti x0 , x1 , x2 , x3 ,... dárejeleri aldindaǵi koefficientlerdi nolge teńlestirip, belgisiz c0 ,c1 ,c2 ... koefficientlerin aniqlaw ushin rekurrentlik teńlemeler sistemasin alamiz:
q0c0 p0c1 1 2c2 0
q1c0 (q0 p1 )c1 2 p0c2 2 3c3 0
................................................
|
|
|
|
|
k |
(4) |
|
|
|
|
|
|
qk i ci (i 1) pk i ci 1 (k 1)(k 2)ck 2 0 |
||
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
.................................................................. |
|||
bundaǵi c0 |
hám c1 |
koefficientlerin erkin aliwǵa boladi. c0 hám |
c1 di belgilep, (1) teńlemeniń |
||||
y(0) c , |
y' (0) c , |
baslanǵish shártlerin qanaatlandiratuǵin |
sheshimin izleymiz. Birinshi |
||||
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
teńlemeden c2 , ekinshi teńlemeden c3 ti tabamiz hám t.b. |
|
||||||
Eger (1) teńlemede |
p(x) hám q(x) funkciyalari racional funkciyalar bolsa, yaǵniy |
||||||
p(x) |
p1 (x) |
q(x) |
q1 (x) |
|
|||
|
, |
|
, |
|
|||
p0 (x) |
q0 (x) |
|
|||||
bolip, p0 (x), p1 (x),q0 (x),q1 (x) - kopaǵzalilar bolsa, onda p0 (x) =0 yamasa q0 (x) 0 bolatuǵin tochkalar (1) teńlemeniń ayriqsha tochkalari dep ataladi.
Ekinshi tártipli |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 y'' xp(x) y' q(x) y 0 |
(5) |
||||
teńlemesi ushin p(x) hám |
q(x) |
funkciyalari |
|
x |
|
a araliqta analitikaliq funkciyalar bolǵanda |
|||
|
|
||||||||
x 0 tochkasi |
ayriqsha |
tochka |
boladi, eger |
|
p(x) hám q(x) funkciyalarin |
dárejeli qatarǵa |
|||
jayǵandaǵi p0 |
yamasa |
q0 |
koefficientleriniń |
|
birewi nolden ózgeshe bolsa. |
Bul regulyarliq |
|||
ayriqsha tochka (yamasa birinshi tekli ayriqsha tocka) dep atalatuǵin eń ápiwayi ayriqsha tochkaniń misali boladi.
x x0 ayriqsha tochkaniń dógereginde dárejeli qatar kórinisindegi sheshim bar bolmawi múmkin. Bul jaǵdayda sheshimdi uliwmalasqan dárejeli qatar túrinde izlew kerek: