Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Apiwayi differencialliq tenlemeler

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2024

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Bul sońǵı teńliktegi cos x hám sin x lar aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, tómendegige iye bolamız:

cos x A 3B 0, sin x 3A B 1.

Bunnan, A

, B

. Demek, teńlemeniń dara sheshimi

cos x

sin x .

d.sh.

Al, ulıwma sheshimy y yд.ш. bolǵanlıqtan,

y C ex C e2x

cos x

sin x

boladı.

4 – mısal.y y x 2e x

cos x teńlemesiniń dara sheshiminiń túrin anıqlań.

Sheshiliwi:

Bul

jaǵdayda

1, 1, P (x ) x 2,Q

(x ) 0 . Al

1 0

xarakteristikalıq

teńleme 1 1

hám 2 1 korenlerge iye.

i 1 i sanları

xarakteristikalıq teńlemeniń korenleri emes, demek, r

0. Sol sebepli berilgen teńlemeniń dara

sheshimi

д.ш.

e x [(A x 2

Bx C ) cos x (Dx 2 Ex F ) sin x ]

kórinisine iye boladı, bunda A, B,C , D, E , F - anıq emes koefficientler.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.n - tártipli birtekli emes sızıqlı DT qanday túrge iye?

2.n - tártipli birtekli emes sızıqlı DT-niń ulıwma sheshiminiń dúzilisi qanday?

3. Anıq emes koefficientler metodı qanday teńlemeler ushın qollanadı? 4. Anıq emes koefficientler metodınıń mazmunı neden ibarat?

5. L[y ] Pm (x ) teńlemesiniń dara sheshiminiń túriqanday, bunda L[y ] - turaqlı koefficientli sızıqlı operator, Pm (x ) - bul m dárejeli kópaǵzalı?

6.L[y ] e xPm (x ) teńlemesiniń dara sheshiminiń túri qalay jazıladı?

7.L[y ] e x [Pm (x) cos x Qn (x) sin x ] teńlemesiniń dara sheshiminiń túri qalay

jazıladı?

18 – lekciya. Āpiwayı differenciyallıq teńlemeler sistemaların normal túrge keltiriw.Normal sistema ushın bar boliw hám birden-birlik teoreması

Reje:

1.Differenciallıq teńlemeler sisteması. Tiykarḡı túsinikler.

2.Normal sistema ushın Pikar teoreması.

3.Ulıwma sheshim. Dara sheshim. Ayırıqsha sheshim

Tayanısh sόzler: Differenciallıq teńlemeler sisteması Ulıwma túri. Kanonikalıq sistema. Normal sistema. Sheshim. Koshi máselesi. Pikar teoreması. Ulıwma sheshim. Dara sheshim. Ayırıqsha sheshim.

Ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması dep, x argumentti, usı argumenttiń k sandaǵı

y1(x), y2 (x),..., yk (x) belgisiz funkciyaların

hám olardıń tuwındıların

baylanıstıratuǵın

teńlemelerdiń jıynaǵına aytıladı. Sistemanıń ulıwma túri tómendegishe jazıladı:

F (x, y , y ,..., y (m1 ) , y

, y

,..., y

(m2 ) ,..., y

, y ,..., y

(mk ) ) 0

(i 1,2,..., k) .

(1)

1 1

Bul sistemanı integrallaw máselesi, usı sistemanıń hár birin qanaatlandıratuǵın y1 , y2 ,..., yk funkciyaların tabıwdı talap etedi. y1(x), y2 (x),..., yk (x) funkciyalarınıń usınday jıynaǵın (1) sistemanıń sheshimi dep ataydı.

Eger anıq emes funkciya haqqındaǵı teoremanıń shártleri orınlansa, onda (1) sistemanı úlken tuwındılarǵa qarata sheshiwge boladı:

(m1 )

(x, y , y ,..., y

(m1 1) ,..., y

, y

,..., y

(mk 1) ),

1 1

(2)

..........

(mk )

(x, y , y ,..., y (m1 1)

(mk 1) ).

,..., y

Bunday túrdegi (2) sistemanı kanonikalıq sistema dep ataydı.

Jańa belgisiz funkciyalardı kiritiw arqalı					joqarǵı tártipli		k teńlemeler sistemasın oǵan
ekvivalent bolǵan hám barlıq n	(n m1 m2 ... mk )					izlengen funkciyalardıń tuwındılarına
qarata sheshilgen birinshi tártipli	n teńlemeler sisteması menen almastırıw múmkin. Bunday
sistema
		dy1			f ( x, y ,..., y		),
	dx				f ( x, y ,..., y		),
	dx			1		n
				1		n

	dy		2		f ( x, y1
			2			,..., yn ),
						,..., yn ),
	dx						(3)
	.................................

	dy
			n		fn ( x, y1 ,... yn )
					fn ( x, y1 ,... yn )
	dx

sistemasınıń dara jaǵdayı boladı. (3) sistema ápiwayı differenciallıq teńlemelerdiń normal sisteması dep ataladı, al n sistemanıń tártibi delinedi. Bul sistemanı

dyi

(x, y ,...,

), i 1,2,...,n

(3 )

túrinde de qısqasha jazıw múmkin, bul jerde f1,

f2 ,..., fn - qarastırılıp atırǵan oblastta anıqlanǵan

hám

úzliksiz

funkciyalar.

Eger

y y1 , y2 ,..., yn ,

f (x, y) f1 ,

f2 ,..., fn ,

dy1

dy2

dyn

,...,

dep belgilesek, onda (3) sistema

f (x, y)

(4)

kórinistegi vektorlıq formadaǵı túrine iye boladı.

(3)

sistemanıń

(a,b) intervalındaǵı sheshimi dep usı intervalda anıqlanǵan,

úzliksiz

differenciallanatuǵın hám (3) sistemanıń hár bir teńlemesin barlıq x (a,b) ushın orınlı bolǵan birdeylikke aylandıratuǵın n sandaǵı

y1 y1 (x), y2 y2 (x),..., yn yn (x) (5)

funkciyalar jıynaǵına aytadı.

(3) sistemaǵa sáykes keliwshi (4) vektorlıq teńlemeniń sheshimi usı vektorlıq teńlemesin birdeylikke aylandıratuǵın, dúziwshileri y1 (x), y2 (x),..., yn (x) bolǵan y y(x) vektorı retinde anıqlanadı.

n 1 ólshemli (x, y1 ,..., yn ) keńisligindegi (5) sheshimge sáykes keletuǵın iymek sızıq (3) sistemanıń integrallıq iymek sızıǵı delinedi. Bul iymek sızıq sonday qásiyetke iye, oǵan

júrgizilgen urınbanıń baǵıtlawshı kosinusları 1 sanına hám urınıw tochkadaǵı		(3) sistemanıń oń
jaqlarınıń	mánislerine proporcional boladı.
Eger (3) sistemanıń oń jaǵı berilgen (x, y1 , y2 ,..., yn ) tochka arqalı baǵıtlawshı kosinusları
1 sanına	hám f1 (x, y1,..., yn ),..., fn (x, y1,..., yn ) mánislerine proporcional	bolǵan kesindi
júrgizsek, onda baǵıtlar maydanın alamız.

Solay etip, (1) sistemanı integrallaw máselesi usı baǵıtlar maydanı boyınsha												integrallıq
iymek sızıqlardı tabıwdan ibarat.
(1) normal sistema ushın
y (x ) y (0)		, y	2	(x	0	) y	(0)	,..., y	n	(x ) y	(0)	(6)
1 0	1		2		0		2		n	0	n

baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıw máselesi Koshi máselesi dep ataladı,

bunda x	0	, y (0) , y	(0) ,..., y	(0)	-	berilgen sanlar. Geometriyalıq			jaqtan,			Koshi		máselesi (3)
	0	1	2	n
sistemanıń barlıq integrallıq iymek sızıqları ishinen berilgen							(x	0	, y	(0) , y	2	(0) ,..., y		(0) )	tochkadan
								0	1		2		n
ótiwshi integrallıq iymek sızıqtı						tabıwdı ańlatadı.

Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema támiyinleydi.

Teorema (Pikar teoreması). Meyli (4) teńlemeler sistemasınıń oń jaǵı bolǵan

f (x, y)

vektor-funkciyası

R :

x x0

y y0

oblastta anıqlanǵan

bolıp,

tómendegi eki shártti

qanaatlandırsın:

1) f (x, y)

óziniń

x, y ózgeriwshileri boyınsha R de

úzliksiz

bolsın,

demek

shegaralanǵan boladı:

M ,

bunda M - oń san, al

(x, y)

- bul

R oblastınıń qálegen

f (x, y)

tochkası;

2) f (x, y)

vektor-funkciyası

y ózgeriwshisi boyınsha

Lipshic

shártin qanaatlandırsın,

yaǵnıy

f (x, y) f (x, y )

y y

teńsizligi orınlansın, bunda

oń san, al (x, y) hám

(x, y ) - bul

R oblastınıń qálegen eki tochkası.

Sonda

(4)

teńlemeler

sistemasınıń

x x0

aralıǵında

anıqlanǵan,

úzliksiz

differenciallanatuǵın hám

y(x0 ) y0

baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın

y (x)

sheshimi

bar

hám

birden-bir

boladı,

bunda

h min a,

( y (0)

, y

(0) ,..., y

(0) ),

f ( f1 ,..., fn ) vektorınıń evklid norması.

i 1

ózgeriwshileriniń sonday D ózgeriw oblastın qaraymız, onıń hár bir

Endi

x, y1, y2 ,..., yn

tochkası arqalı bir hám tek bir ǵana integrallıq iymek sızıq ótetuǵın bolsın.

Anıqlama. x,C1 ,C2 ,...,Cn ózgeriwshileriniń bazıbir D hám x boyınsha úziliksiz differenciallanatuǵın

y1		1 x,C1 ,C2 ,...,Cn ,
				x,C ,C				,
y	2		2	x,C ,C		,...,C	n	,
	2		2	1	2		n

.....................................
				x,C ,C
y	n		n	x,C ,C		,...,C	n
	n		n	1	2		n

ózgeriw oblastında anıqlanǵan

(7)

túrindegi n funkciyalar jıynaǵı (3) sistemasınıń				D oblastındaǵı ulıwma sheshimi dep ataladı,
egerde ol tómendegi eki shártti qanaatlandırsa:
1) (7) sisteması D oblastında C1 ,C2 ,...,Cn erikli turaqlılarına qarata sheshiledi:
C1	1 x, y1 , y2 ,..., yn ,
			x, y , y					,
C		2	x, y , y		2	,..., y	n	,
2		2	1		2		n		(8)
									(8)
.....................................
			x, y , y					.
C		n	x, y , y		2	,..., y	n	.
n		n	1		2		n

2)	( x, y1 , y2 ,..., yn )	tochkası D oblastında ózgergende	(8) formulaları menen
anıqlanatuǵın C1 ,C2 ,...,Cn		erikli turaqlılarınıń barlıq mánislerinde (7) funkciyalar jıynaǵı			(3)
sistemanıń sheshimi boladı.
(5)	sheshim dara sheshim dep ataladı, egerde onıń qálegen tochkası arqalı (3)			sistemanıń
basqa sheshimi ótpese, yaǵnıy bul sheshimniń hár bir tochkasında			Koshi máselesi sheshimi
birden-bir	bolsa. (7) ulıwma sheshiminen C1 ,C2 ,...,Cn erkli		turaqlılarınıń	belgili	bir

mánislerinde alınatuǵın sheshim dara sheshim boladı. Eger (5) sheshimniń hár bir tochkasında Koshi máselesi sheshiminiń birden-birligi buzılsa, onda bul sheshim ayrıqsha sheshim dep ataladı.

Takirarlaw ushın sorawlar

1.Differenciallıq teńlemeniń normal sisteması qanday ulıwma túrge iye? Onıń tártibi degen ne? Normal sistemanıń sheshimi (integrallıq iymek sızıǵı) degen ne?

2.Normal sistema ushın Koshi máselesi qalay qoyıladı? Qanday jaǵdayda ol sheshimge iye? Qanday shártte bul sheshim birden-bir boladı?

3.Normal sistemanıń ulıwma sheshimi degen ne? Ulıwma sheshim formulası járdeminde Koshi máselesi qalay sheshiledi?

19 – lekciya

DTS-lardıń baslanǵısh integralları. Simmetriyalıq kórinistegi sistemalar

1.Sistemanıń integralı. Birinshi integrallar. Ulıwma integral. Ǵárezsiz birinshi integrallar. Birinshi integrallardıń tolıq sistemasınıń bar bolıwı haqqında.

2.Normal sistemanıń simmetriyalıq túri. Integrallanıwshı kombinaciyalar.

Meyli

dyi	f
dyi		i	(x, y ,..., y	n	)	i 1, n
			(x, y ,..., y		)	i 1, n
dt			1
dt

normal sistemasınıń ulıwma sheshimi

y1		1 ( x,C1 ,C2 ,...,Cn ),

y	2		2	( x,C ,C		,...,C	n	),
	2		2	1	2		n

.......................................

y	n		n	( x,C ,C		,...,C	n	)
	n		n	1	2		n

bolsın. Eger (2) sistemanı erikli turaqlılarǵa qarata sheshsek,

	1		1	n				1
		( x, y ,..., y					) C ,
	2		( x, y ,..., y		n			) C	2		,
	2		1		n				2
.................................

	n		1			n		) C		n
	n		1			n				n
			( x, y ,..., y

(1)

(2)

(3)

sistemasın alamız. Bul sistemanıń hár bir teńlemesi (1) sistemanıń birinshi integralı dep ataladı. Al, olardıń jıynaǵı bolǵan (3) sistema (1) sistemanıń ulıwma integralı boladı.

Solay etip, birinshi integral, bul ǵárezsiz ózgeriwshi menen sistemanıń belgisiz funkciyaları arasındaǵı

(x, y1 ,..., yn ) C

(4)

túrindegi usı differenciallıq teńlemeler sistemasınan keltirilip shıǵarılǵan hám yi diń ornına

sistemanıń yi i (x) , i		sheshimin qoyǵanda, bul dara sheshimniń barlıq tochkalarında
sistemanıń yi i (x) , i	1, n
birdeylikke aylanatuǵın qatnastan ibarat.
(4) qatnası (1) sistemanıń birinshi integralı bolıwınıń, zárúrli hám jetkilikli shárti, bul
		n
				fi (x, y1,..., yn ) 0	(5)
	x	i 1	y
		i 1	i

birdeyliginiń orınlanıwı bolıp tabıladı.

Geyde birinshi integral dep, (x, y1 ,..., yn )

funkciyası túsiniledi.

Eger (1) sistemanıń n

ǵárezsiz

birinshi integralları 1 (x, y1 ,..., yn ),

2 (x, y1 ,..., yn ), ...,

n (x, y1 ,..., yn )

belgili bolsa, onda joqarıdaǵı aytqanday olardan dúzilgen (3) teńlemelerdiń

jıynaǵı (1) sistemanıń ulıwma integralın beredi.

(3) ulıwma

integraldan

onı y1, y2 ,..., yn

ge qarata

sheshe otırıp, (1) sistemanıń ulıwma

sheshimin alıwǵa boladı. 1, 2 ,..., n

birinshi integrallar ǵárezsiz bolıwı ushın olardıń yakobianı

nolden ózgeshe bolıwı tiyis:

... 1

( 1, 2

,..., n )

... 2

( y , y

)

,..., y

.........................

n ... n

Demek, (1) sistemanı integrallaw ushın onıń n ǵárezsiz birinshi integralın tabıw jetkilikli.

Egerde differenciallıq teńlemeler sisteması simmetriyalı túrde berilgen bolsa, onda, birinshi integral járdeminde bul sistemanı integrallaw máselesi ayrıqsha qolaylı boladı.

(1) sistemanı

	dx	dy1		dy2	...	dyn	(6)
1		f1 (x, y1 , y2 ,..., yn )	f2 (x, y1 , y2 ,..., yn )			fn (x, y1 , y2 ,... yn )
túrinde jazıwǵa boladı. Al, x, y1 ,..., yn				ózgeriwshileriniń ornına x1, , x2 ,..., xn			ózgeriwshilerin

jazsaq hám ápiwayılıq ushın ózgeriwshilerdiń sanın n 1 emes,al n arqalı belgilesek, onda (6) sistemanı tómendegi túrde jazıwǵa boladı.

	dx1							dx2					...			dxn					(7)
X (x , x		2	,..., x	n	)	X	2	(x , x	2	,..., x	n	)	...	X	1	(x , x	2	,..., x	n	)	(7)
1	1	2		n			2	1	2		n				1	1	2		n

Bul (7) sistema simmetriyalıq formadaǵı differenciallıq teńlemelar sisteması dep ataladı. Bul sistemanıń ulıwma integralı

1 (x1 , x2 ,..., xn ) C1 , 2 (x1 , x2 ,..., xn ) C2 , . . . , n 1 (x1 , x2 ,..., xn ) Cn 1

(8)

túrinde jazıladı.

(7) sistemadan normal sistemaǵa ótiw ushın ózgeriwshilerdiń birewin, mısalı xn di ǵárezsiz ózgeriwshi retinde alamız. Sonda

dx1

dx2

X 2

, . . . ,

dxn 1

X n 1

(7 )

dxn

X n

dxn

X n

dxn

X n

boladı. Bunda

oń jaqlardıń úzliksizligi

buzılmauı ushın x0

, x0 ,..., x0

baslanǵısh

mánislerde

(x0

, x0 ,..., x0 ) 0 bolıwı tiyis.

(8) birinshi integrallarınıń hár biriniń yamasa ulıwma aytqanda

(x1 , x2 ,...xn ) C

(8)

túrindegi qatnastıń (7) sistemanıń birinshi integralı bolıwınıń analitikalıq shártin tabıw ushın tómendegidey isleymiz.

(7) sistemanıń integrallıq iymek sızıǵı

boylap funkciyası turaqlı mánis

saqlaydı,

demek,onıń usı iymek sızıq boylap alınǵan tolıq differencialı nolge teń:

...

Biraqta integrallıq iymek sızıqlar boyınsha

dxi differencialları (7) sistemaǵa muwapıq X i

funkciyalarınıń mánislerine proporcional, demek, hár bir integrallıq iymek sızıq boyınsha

(x , x

,..., x

)

(x , x

,..., x

)

... X

(x , x

,..., x

)

(9)

boladı. Onda joqarıda

aytqan analitikalıq shárt tómendegishe beriledi: (7) sistemanıń

birinshi

integralı bolǵan (x1, x2 ,..., xn )

funkciyası (9) teńlemeni birdeylik túrde qanaatlandıradı hám

kerisinshe (9) teńlemeni qanaatlandıratuǵın ıqtıyarlı

(x1, x2 ,..., xn )

funkciyası (7) sistemanıń

birinshi integralı boladı.

Mısal.

teńlemeler sistemasın sheshiń.

2z y

Sheshiliwi. dyy dzz teńlemeden berilgen sistemanıń birinshi integrallarınıń birin tabamız:

yz C1 . Jáne bir integral tabıw ushın tómendegi integrallanıwshı kombinaciyanı dúzemiz:

dx	2dz dy	,	d (x 2z y) 0.
2z y	2z y

Bunnan x 2z y C2 . Tabılǵan bul birinshi integrallar ǵárezsiz boladı.

Solay etip, berilgen sistemanıń barlıq sheshimleri y C1z, x 2z y C2 qatnaslarınan anıqlanadı.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.Normal sistemanıń integralı degen ne?

2.n -tártipli normal sistema qansha ǵárezsiz integrallarǵa iye bolıwı múmkin?

3.Normal sistemanıń birinshi integralı degen ne?

4.Qanday birinshi integrallar ǵárezsiz boladı?

5.n -tártipli normal sistemanıń ulıwma integralı degen ne?

6.Simmetriyalı kórinistegi differenciallıq teńlemeler sisteması degen ne? Onıń integralı, birinshi integralı, ulıwma integralı degen ne?

20-lekciya. Sızıqlı differenciyallıq teńlemeler sisteması.

Reje:

1.Ulıwma túsinikler.

2.Bar bolıw hám birden-birlik teoreması.

3.Bir tekli teńlemeler sistemaları. Sheshimlerdiń tiykarḡı qāsiyetleri.

Tayanısh sόzler: Sızıqlı differenciyallıq teńlemeler sisteması. Bir tekli sızıqlı sistema.Bir tekli bolmaḡan sızıqlı sistema.Bar bolıw hām birden-birlik teoreması.Bir tekli sistemanıń sheshimleriniń qāsiyetleri.

10 . Differenciallıq teńlemelerdiń normal sistemasınıń dara túri sızıqlı differenciallıq teńlemeler sisteması boladıı.

Eger normal sistema belgisiz funkciyalarǵa hám onıń tuwındılarına qarata sızıqlı bolsa, yaǵnıy olar sistemanıń hár bir teńlemesinde birinshi dárejede qatnassa, onda bunday sistema sızıqlı differenciallıq teńlemeler sisteması dep ataladı.

Bunday sistema

						(1)

		{
kórinisinde, yamasa
			∑
					[	] bazıbir berilgen


túrinde jazıladı, bunda				– ǵárezsiz ózgeriwshiniń
úzliksiz haqıyqıy funkciyaları, olar sistemanıń koefficientleri dep ataladı; al
–	[	] ǵárezsiz ózgeriwshini		bazıbir berilgen úzliksiz	haqıyqıy	funkciyalar, olar
sistemanıń erkin aǵzaları delinedi.
	Eger			bolsa, onda (1) sistema

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 148 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf