Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1302 вуза, 5108 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Каракалпакский государственный университет им. Бердаха
Предмет:
Дискретная математика
Файл:

Apiwayi differencialliq tenlemeler

.pdf
Скачиваний:
4
Добавлен:
09.08.2024
Размер:
3.06 Mб
Скачать
☆

Meyli (1) teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması y1(x), y2(x),..., yn (x) belgili bolsın. Sonda bul birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi

 

 

 

y =

еn

C iyi (x )

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(2)

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

túrinde jazıladı, bunda C1,C 2,...,C n

-

erikli

turaqlılar.

 

Bul

ańlatpa birtekli

teńlemeni

qanaatlandıradı hám demek, ol C i

ler turaqlı bolǵanda (1) teńlemeni qanaatlandırmaydı. Biz (1)

teńlemeniń sheshimin de

usı (2)

túrinde izleymiz, biraqta bundaǵı C1,C 2,...,C n di ǵárezsiz

ózgeriwshi x tıń funkciyaları bolsın dep esaplaymız, yaǵnıy (1) teńlemeniń sheshimin

 

 

 

 

 

y =

еn

C i (x )yi (x )

 

 

 

 

 

 

 

 

(3)

 

 

 

 

i= 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

túrinde izleymiz, bunda C1(x),C 2(x),...,Cn (x)

 

házirshe belgisiz funkciyalar. Bul funkciyalardı

anıqlaw ushın

n teńleme kerek. Olardıń birewin (3) ańlatpası (1) teńlemeni qanaatlandıradı

degen shártten alınadı da, al qalǵan n 1 teńleme erkin túrde saylap alınadı, biz olardı

y ten

alınǵan tuwındılar júdá ápiwayı túrde bolatuǵınday etip saylap alamız.

 

 

 

(3) teńligin

x boyınsha differenciallaymız:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C (x) y (x) C

(x) y

2

(x) ... C (x) y

n

(x)

 

 

 

 

1

1

 

2

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

C (x) y (x) C

2

(x) y ' (x) ... C (x) y (x).

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

2

 

 

 

n

 

 

n

 

 

Endi qosımsha saylap alınatuǵın

n 1 teńlemeniń birinshisi esabında sońǵı teńliktiń oń

jaǵındaǵı C (x),C (x),...,C (x) tuwındıları qatnasqan

aǵzalardıń

 

qosındısın nolge

teńewden

1

2

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

alınatuǵın

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C (x) y C (x) y

2

... C

(x) y

n

0

 

 

 

 

(4)

 

 

1

1

2

 

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

teńlemesin alamız. Sonda

y ushın

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C (x) y C (x) y ... C

(x) y

 

(5)

 

 

 

 

1

 

1

 

2

2

 

 

n

 

 

n

 

 

ańlatpasına iye bolamız. Bul (5) teńligin

x boyınsha differenciallap, alınǵan nátiyjede

Ci (x)

funkciyalarınıń tuwındıları qatnasqan aǵzalardıń qosındısın nolge teńeymiz:

 

 

 

 

C (x) y C (x) y ... C

(x) y 0.

 

(6)

 

 

 

1

1

2

 

 

2

n

 

n

 

 

 

 

 

Bul ekinshi qosımsha teńleme boladı. Sonda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y C (x) y

C (x) y ... C (x) y

 

(7)

 

 

 

 

1

1

 

2

 

2

 

 

n

 

 

n

 

 

boladı. Usılay dawam ete otırıp, n 1-qádemde n 1- qosımsha teńleme alamız

 

 

 

C (x) y n 2

C (x) y n 2

... C

(x) y

(n 2)

0

 

 

 

 

1

 

 

 

2

2

 

 

 

n

n

 

 

 

 

hám y(n 1) ushın tómendegi ańlatpaǵa iye bolamız

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y(n 1)

C (x) y n 1

C (x) y n 1

... C (x) y(n 1) .

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

2

2

 

 

 

n

n

 

 

 

 

Bul (9) teńligin x boyınsha differenciallap,

y(n) ushın

 

 

 

 

 

 

 

y(n) C (x) y(n 1)

C

(x) y n 1 ... C (x) y(n 1)

 

 

 

 

 

1

 

1

 

2

2

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

 

C (x) y(n)

C

2

(x) y n

... C

n

(x) y(n)

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

2

 

 

 

n

 

 

 

 

 

 

ańlatpasın alamız. Endi (3), (5), ..., (10) ańlatpaların (1) teńlemege qoyıp,

 

 

n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C

( x)[ y(n ) p ( x) y(n 1)

... p

n

1

( x) y p

n

( x) y

(x)]

i

 

 

i

1

 

 

i

 

 

 

1

 

 

i

 

i 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

C ( x) y(n 1) C (x) y(n 1)

... C

( x) y(n 1) f (x)

 

 

1

 

 

1

2

 

 

2

 

 

n

 

n

 

 

 

 

 

(8)

(9)

(10)

 

 

 

 

 

 

 

 

teńlemesin alamız. Al,

yi yi (x),

i 1,n

funkciyaları cáykes birtekli sızıqlı teńlemeniń dara

sheshimleri bolǵanlıqtan, qosındı belgisi astındaǵı Ci (x)

qasındaǵı barlıq kóbeytiwshiler nolge

aylanadı hám Ci (x) funkciyaların anıqlaw ushın kerek bolǵan

n -teńlemeni alamız

 

C (x) y(n 1)

C

(x) y(n 1)

... C (x) y(n 1)

f (x).

(11)

1

1

2

2

 

 

 

n

n

 

 

 

 

 

Solay etip, biz belgisizleri

Ci (x) , i

1,n

bolǵan (4), (6), ..., (8), (11) túrindegi

n birtekli

emes sızıqlı teńlemeler sistemasına iye boldıq. Bul sızıqlı sistemanıń anıqlawıshı (1) - teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması ushın Vronskiy

 

 

 

 

anıqlawıshı bolıp, ol nolge aylanbaydı, demek, bul sistemanı

Ci (x) , i

1,n

tuwındılarına qarata

 

sheship, Ci (x) i (x) , i

1,n

teńlemelerine iye bolamız. Bul teńlemelerdi integrallasaq

 

 

Ci (x) 1(x)dx Ci

(12)

boladı, bunda Ci - jańa erikli turaqlılar.

 

 

 

Ci (x) funkciyalarınıń bul tabılǵan (12) ańlatpaların (3) formulaǵa qoyıp, (1) teńlemeniń ulıwma sheshimine iye bolamız:

n

 

y C1 y1 ( x) C2 y2 (x) ... Cn yn ( x) yi i ( x)dx.

(13)

i 1

Solay etip, (1) teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması belgili bolǵanda (1) birtekli emes sızıqlı teńlemeniń sheshimin kvadratura járdeminde alıwǵa boladı hám bul (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi (13) formulası menen beriledi.

y C1 (x)cos x C2 (x)sin x

 

 

1

 

Mısal. y

y sin x

teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń.

 

Sheshiliwi. Berilgen sızıqlı teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńleme, yaǵnıy y y 0 teńlemesi y1 cos x, y2 sinx túrindegi sheshimlerdiń fundamentallıq sistemasına iye

bolǵanlıqtan, onıń ulıwma sheshimi y C1 cos x C2 sin x túrinde jazıladı, bunda C1 ,C2 - erikli turaqlılar. Endi usı erikli turaqlılardı variaciyalaymız hám berilgen teńlemeniń sheshimin

kórinisinde izleymiz, bundaǵı C1 (x) hám C2 (x) funkciyaları

 

 

 

(x)sin x 0,

 

C1

(x) cos x C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

1

2

 

 

 

C (x)sin x C (x) cos x

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sistemasınan anıqlanadı. Bul sońǵı sistemanı C1 (x) hám C2 (x) tuwındılarına qarata sheship,

C (x) 1,

C

(x)

cos x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

sin x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńlemelerine iye bolamız, al olardı integrallasaq, C1 (x) x C1,

 

C2 (x) ln

 

sin x

 

C2 boladı.

 

 

Bul tabılǵan ańlatpalardı izlengen sheshimge qoysaq, berilgen teńlemeniń

y C1 cos x C2 sin x x cos x sin x ln

 

sin x

 

 

 

 

túrindegi ulıwma sheshimin alamız, bunda C1 ,C2

- erikli turaqlılar.

 

 

 

 

 

 

 

 

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.Eger birtekli emes sızıqlı teńlemeniń bir dara sheshimi hám sáykes birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi belgili bolsa, berilgen teńlemeniń ulıwma sheshimin qalay tabıw múmkin?

2.Birtekli emes sızıqlı teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıwdıń Lagranj usılı neden ibarat?

16-lekciya. Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı.

Reje:

4.Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı.

5.Xarakteristikalıq teńleme. Onıń korenleriniń hār qıylı jaḡdayları

Tayanısh sόzler: Turaqlı koefficientli sızıqlı bir tekli teńlemeler. Eyler usılı.

Xarakteristikalıq teńleme. Onıń korenleriniń hār qıylı jaḡdayları

Meyli n-tártipli turaqlı koefficientli birtekli sızıqlı teńleme bolǵan

L y y(n) a

y(n 1) a

2

y(n 2)

... a

n 1

y a

n

y 0

(1)

1

 

 

 

 

 

 

teńlemesi berilsin, bunda a1 , a2 ,..., an

koefficientleri turaqlı haqıyqıy sanlar. Sızıqlı teńlemelerdiń

ulıwmalıq qásiyetlerine muwapıq, (1) teńlemeniń ulıwma sheshimin tabıw ushın onıń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzetuǵın, yaǵnıy sızıqlı ǵárezsiz bolǵan n dara sheshimlerin tabıw jetkilikli.

Berilgen (1) birtekli sızıqlı teńlemeniń dara sheshimlerin tabıw ushın 1743-jılı L. Eyler qollanǵan usıldı paydalanamız. Bul Eyler usılına muwapıq, (1) teńlemeniń dara sheshimi

y ekx

(2)

túrinde izlenedi, bunda k - turaqlı, onı (2) funkciyası (1) teńlemeni qanaatlandıratuǵınday etip saylap alamız.

Usı maqsette (2) ańlatpasın x boyınsha izbe-iz túrde n ret differenciallap,

y kekx , y k 2ekx , ..., y(n) k n ekx

(3)

tuwındılarına iye bolamız. Bul (2) hám (3) ańlatpaların (1) teńlemeniń sol jaǵına qoyamız:

 

 

 

L[ekx ] (k)ekx ,

 

 

 

 

(4)

bunda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k) k n a k n 1

a

k n 2 ... a

n 1

k a

.

(5)

1

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

n

 

 

Sonda (2) funkciyası (1) teńlemeniń

sheshimi

boladı,

yaǵnıy L екх 0

birdeyligi

orınlanadı, egerde k sanı

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(k) k n a k n 1

a

k n 2 ... a

n 1

k a

n

0

(6)

1

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

teńlemeniń koreni bolsa. (6) - bul belgisizi k bolǵan n-dárejeli algebralıq teńleme. Ol (1) differenciallıq teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi dep ataladı, al onıń korenleri (1) teńlemeniń xarakteristikalıq sanları dep ataladı. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń sol jaǵı bolǵan

(k) kópaǵzalısı xarakteristikalıq kópaǵzalı dep ataladı.

(1)teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasınıń dúzilisi xarakteristikalıq teńlemeniń korenleriniń túrinen ǵárezli boladı. Bul (6) xarakteristikalıq teńleme n-dárejeli algebralıq teńleme, demek ol n korenge iye. Tómendegi jaǵdaylardı qaraymız

1. Xarakteristikalıq teńlemeniń barlıq korenleri haqıyqıy hám hár qıylı, yaǵnıy ápiwayı korenler

k1 , k2 ,..., kn .

(7)

Bul korenlerdi (2) formulaǵa qoyıp, (1) differenciallıq teńlemeniń n dara sheshimine iye bolamız

y ek1x , y

2

ek2 x ,..., y

n

ekn x .

(8)

1

 

 

 

Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz boladı hám sol sebepli olar (1) teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzedi. Sonda (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi

y C ek1 x C

ek2 x ... C

ekn x

(9)

1

2

n

 

 

túrinde jazıladı, bunda C1 ,C2 ,...,Cn - ler erikli turaqlılar.

1-mısal. y y 2y 0 teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń.

 

 

Sheshiliwi. Berilgen

teńlemeniń

k 2 k 2 0

xarakteristikalıq

teńlemesi

k

 

1 hám

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

k

2

2

korenlerge

iye. Demek,

sheshimlerdiń

fundamentallıq

sisteması

y ex ,

 

y

2

e 2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

boladı,

al ulıwma

sheshim

y C ex

C

e 2 x

túrinde

jazıladı,

bunda

C

hám

C

2

 

-

erikli

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

turaqlılar.

2. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń barlıq korenleri hár qıylı, biraq olardıń ishinde kompleks korenler bolǵan jaǵday.

Berilgen (1) teńlemeniń koefficientleri haqıyqıy sanlar bolǵanlıqtan, eger xarakteristikalıq teńleme kompleks korenlerge iye bolsa, onda olar kompleks túyinles korenler bolıp keledi, yaǵnıy k1 i hám k2 i boladı. Bul kompleks túyinles korenler jubına (2) ge

muwapıq, e( i) x hám e( i ) x túrindegi eki kompleks sheshimler sáykes keledi. Eyler formulası boyınsha bul kompleks sheshimniń haqıyqıy bólegin jorıma bóleginen ajıratıp, tómendegige iye bolamız

e( i ) x e x ei x e x (cos x i sin x) e x cos x ie x sin x.

Demek, k1 i kompleks korenge (1) teńlemeniń

 

y e x cos x, y

2

e x sin x

(10)

1

 

 

túrindegi eki haqıyqıy sheshimi sáykes keledi. Al, k2 i túyinles korenge sáykes keletuǵın

e( i ) x kompleks sheshimdi e( i ) x e x cos x ie x sin x túrinde jazıw múmkin bolǵanlıqtan, bul sheshimniń (10) haqıyqıy sheshimlerdiń kombinaciyası bolatuǵını kórinip tur. Solay etip, (6) xarakteristikalıq teńlemeniń kompleks túyinles k1,2 i korenler jubına (1) teńlemeniń (10) túrindegi eki haqıyqıy dara sheshimi sáykes keledi.

Barlıq kompleks túyinles korenler juplarına sáykes keliwshi haqıyqıy dara sheshimlerdi hám haqıyqıy korenlerge sáykes keliwshi dara sheshimlerdi tawıp, sheshimlerdiń fundamentallıq sistemasına iye bolamız, al bul boyınsha ulıwma sheshimdi dúze alamız.

2-mısal. y y 0 teńlemesiniń ulıwma sheshimin tabıń.

Sheshiliwi. Berilgen teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi k 2 1 0 túrine iye, al onıń korenleri k1,2 i boladı. Olarǵa sáykes keliwshi kompleks sheshimler y eix , y e ix bolıp, al sızıqlı ǵárezsiz haqıyqıy dara sheshimler y1 cos x, y2 sin x boladı. Sonda ulıwma sheshim y C1 cos x C2 sin x túrinde jazıladı, bunda C1 ,C2 - erikli turaqlılar.

3. (6) xarakteristikalıq teńlemeniń korenleri ishinde eseli korenler bolǵan jaǵday.

Bul jaǵdayda ekx túrindegi hár qıylı sheshimlerdiń, yaǵnıy sızıqlı ǵárezsiz sheshimlerdiń sanı n nen az boladı hám demek, olar fundamentallıq sistema dúze almaydı. Sol sebepli, jetkiliksiz bolıp turǵan sızıqlı ǵárezsiz dara sheshimlerdi basqa túrde izlewge tuwra keledi.

Eger (6) xarakteristikalıq teńlemeniń

 

k k0 koreni 4 eseli koren bolsa,

onda oǵan (1)

teńlemeniń

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y ek0 x, ,

y

2

xek0 x

,...,

y

4

x4 1ek0 x

 

 

(11)

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

túrindegi 4 dara sheshimi sáykes keledi. Bunda tómendegi eki jaǵdaydı ayırıp qaraymız.

 

a) Meyli k0

0

sanı (6) xarakteristikalıq teńlemeniń 4 eseli

koreni bolsın. Demek, (6)

xarakteristikalıq

teńlemeniń

sol

jaǵı

k 4

 

 

ulıwma

 

kóbeytiwshige

iye, yaǵnıy koefficientler

an an 1

an r 1

0 , biraq

an 4

0 hám (6) xarakteristikalıq teńleme tómendegi túrde jazıladı

 

 

 

 

 

 

kn + a kn - 1 + ... + a

n - i

k r = 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bul

teńlemege

 

sáykes

 

 

keliwshi

sızıqlı

 

 

 

birtekli

differenciallıq

teńleme

y(n ) + a y(n - 1) + ... + a

n - i

y(r )

= 0

 

túrine iye boladı. Bul sońǵı teńleme

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

=

1, y

2

= x,..., y

r

=

x r - 1

 

 

(12)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

túrindegi dara sheshimlerge iye, sebebi teńlemede r

 

den kishi tártiptegi tuwındılar qatnaspaydı.

Bul (12)

funkciyalar

(- Ґ ;Ґ )

aralıǵında sızıqlı

ǵárezsiz. Solay

etip, (6)

xarakteristikalıq

teńlemeniń r eseli k = 0 korenine (12) túrindegi

 

r

 

sızıqlı ǵárezsiz dara sheshimler sáykes

keledi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3-mısal. y IV -

y II = 0 teńlemesin sheshiń.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Sheshiliwi. Bul teńlemeniń xarakteristikalıq teńlemesi

k 4 -

k2 = 0 bolıp, ol k = k

2

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

k3 = - 1,

 

k4 = 1

korenlerge

iye.

Bundaǵı k1

= k2 = 0

 

túrindegi

eki

eseli

korenge

y1 = 1, y2

= x

dara sheshimler,

al

k3 = - 1 hám

k4 = 1

ápiwayı korenlerge, sáykes

 

túrde

y

3

= e- x ,

y

4

= ex

dara sheshimleri sáykes keledi. Bul tabılǵan tórt dara sheshim sızıqlı ǵárezsiz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dara sheshimler bolıp, olar fundamentallıq sistema dúzedi.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solay

etip,

berilgen teńlemeniń

ulıwma sheshimi y = C

1

+ C x + C e- x

+ C ex

túrinde

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

4

 

 

 

jazıladı, bunda C1,C 2,C 3,C 4 - turaqlılar.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b) Meyli k0

№0 sanı (6) xarakteristikalıq teńlemeniń r

eseli koreni bolsın. Bul jaǵdayda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y = ek0x z

 

 

 

 

 

 

 

(13)

túrindegi ózgeriwshilerdi almastırıw máseleni nolge teń bolǵan eseli koren jaǵdayına alıp keledi.

Haqıyqatında da, (1) teńlemede (13) almastırıwın ámelge asırsaq, onda

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

(n ) + b z (n - 1)

+ ... + b

z ў+ b z = 0

 

(14)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n - 1

 

 

n

 

 

 

differenciallıq teńlemege kelemiz. Bul (14) teńlemeniń dara sheshimin

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z = epx

 

 

 

 

 

 

(15)

túrinde izleymiz. Sonda onıń xarakteristikalıq teńlemesi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

pn + b pn - 1

+ ... + b

p + b

= 0

 

(16)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

n - 1

 

 

n

 

 

 

 

boladı. Al, (2), (13), (15) ańlatpaların paydalansaq, onda

ekx

= ek0xepx qatnası

kelip shıǵadı,

bunnan k = k0 + p.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Demek, (16) xarakteristikalıq teńlemeniń nolden ózgeshe

r eseli

k0

korenine (16)

teńlemeniń r

eseli

p = 0 koreni sáykes keledi. Al, a) punktine muwapıq, (16) xarakteristikalıq

teńleme

r

eseli

 

p = 0 korenge

iye bolǵanlıqtan, oǵan

sáykes

keliwshi

(14)

differenciallıq

teńleme

z

1

=

1, z

2

=

x,..., z

r

= x r - 1 dara sheshimlerge iye boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Demek,

y = zek0x baylanısı

boyınsha

 

(6) xarakteristikalıq

teńlemeniń r

eseli k №0

korenine

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

1

= ek 0 x , y

2

= x ek0x ..., y

r

= x r - 1ek0x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

dara sheshimleri sáykes keledi. Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz boladı.

17-lekciya.Birtekli bolmaǵan turaqlı koefficientli sızıqlı differenciyallıq teńlemeler

Reje:

1.Ulıwma túri. Anıq emes koefficientler usılı

2.Oń jaḡı kόpaḡzalı bolḡan jaḡday.

3.Oń jaḡı kvazikόpaḡzalı bolḡan jaḡdaylar.

4.Eyler teńlemesi

Tayanısh sόzler:Anıq emes koefficientler usılı.Kόpaḡzalı. Kvazikόpaḡzalı.Dara sheshimdi dúziw.Eyler teńlemesi.

Eger

y

( )

+ p (x)y(n - 1)

+ ... + p

(x)y ў+ p (x)y = f (x)

(1)

 

n

 

 

 

 

 

 

1

n - 1

n

 

birtekli emes sızıqlı teńlemeniń oń jaǵı

f (x) e x [Pn (x) cos x Qm (x) sin x ]

kóriniske iye bolsa, onda onı anıq emes koefficientler usılı menen sheshken qolaylı, bundaPn (x )

hám Qm (x ) - sáykes túrde n hám m dárejeli kópaǵzalılar.

 

 

 

 

Bul jaǵdayda (1) teńlemeniń dara sheshimi

 

 

 

 

 

y(x ) x re x [P (x ) cos x Q

(x ) sin x ]

 

(2)

s

s

 

 

 

 

kóriniste izlenedi, bunda r sanı (1) teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı teńlemeniń

 

n a n 1

... a

a

0

(3)

1

 

n 1

n

 

 

xarakteristikalıq teńlemesiniń i koreni eseligine teń bolǵan san. Eger xarakteristikalıq

teńleme i

kompleks korenge iye bolmasa, r 0 dep alınadı. Al, Ps (x ) hám Qs (x ) lar

s dárejeli anıq

emes koefficientli kópaǵzalılar bolıp, bundas max{n;m } boladı. Bul

kópaǵzalılardıń anıq emes koefficientlerin tabıw ushın (2) ańlatpasın berilgen (1) teńlemege qoyıp, birdey funkciyalar aldındaǵı koefficientlerdi teńlestiriw kerek.

Eger f (x ) f1(x ) f2(x ) ... fp (x ) bolsa, onda (1) teńlemeniń dara sheshimi

y(n ) a y(n 1)

 

y a

 

 

 

 

 

 

... a

y

f

(x )

(i 1, p)

1

 

n 1

n

 

i

 

 

 

 

birtekli emes sızıqlı teńlemelerdiń yi (x ) dara sheshimleriniń qosındısınan ibarat boladı.

Turaqlı koefficientli birtekli emes teńlemelerdi sheshiw usılların qollanıwdı mısallarda kórsetemiz.

1 – mısal. y 4y x 2 teńlemesin integrallań.

Sheshiliwi. Dáslep berilgen teńlemege sáykes keliwshi y 4y 0 birtekli teńlemeni sheshemiz. Bul teńlemeniń sheshimin Eyler metodına muwapıq, y e x kórinisinde izleymiz.

Xarakteristikalıq teńleme 3 4 0 túrinde jazıladı hám ol 1 0, 2 2, 3 2 korenlerge iye boladı. shamasınıń bul tabılǵan mánislerin izlengen sheshimge qoyıp, birtekli teńlemeniń y1 1, y2 e2x , y3 e 2x dara sheshimlerine iye bolamız. Bul dara sheshimler sızıqlı ǵárezsiz funkciyalar bolǵanlıqtan, birtekli teńlemeniń sheshimleriniń fundamentallıq sistemasın dúzedi. Sol sebepli y C1 C 2e2x C 3e 2x ańlatpası birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimin beredi, bunda C1,C 2,C 3 - erikli turaqlılar.

Berilgen birtekli emes teńlemeniń dara sheshimin tabıw ushın anıq emes koefficientler usılın

qollanamız.

0 sanı berilgen

teńlemege sáykes keliwshi birtekli sızıqlı

teńlemeniń

xarakteristikalıq

teńlemesiniń

koreni hám

f (x ) P (x ) x 2 bolǵanlıqtan,

berilgen

 

 

 

 

 

2

 

teńlemeniń

dara

sheshimi

y x(A x 2 Bx C )

yamasa y A x 3 Bx 2 Cx

kórinisinde izlenedi, bunda tómendegige iye bolamız:

A, B,C

- anıq emes koefficientler. Bul ańlatpanı differenciallap,

4 y 3A x 2 2Bx C ,

1

y 6A.

Bul tuwındılardı berilgen teńlemege qoyıp, alınǵan teńliktiń eki jaǵındaǵı x tıń birdey dárejeleri aldındaǵı koefficientlerdi teńlestirip, tómendegilerge iye bolamız:

x 2 12A 1,

x8B 0,

x0 4C 6A 0.

 

Bunnan A

 

1

, B 0,

C

1

.

Demek,

 

izlengen

 

dara

sheshim

 

12

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

x 3

 

x

 

boladı. Al, berilgen teńlemeniń ulıwma sheshimi

 

 

 

 

d .sh.

 

 

 

 

 

 

 

12

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y y y

 

C

 

 

C e2x C e 2x

x 3

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

d.sh.

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

3

12

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

boladı.

2–mısal. y y 4ex teńlemesiniń

qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıń.

y(0) 4, y (0) 3 baslanǵısh shártlerin

Sheshiliwi: Berilgen teńlemege sáykes keliwshi birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi 1 – mısalda tabılǵan edi: y C1 cos x C 2 sin x . Endi berilgen teńlemeniń dara sheshimin anıq emes koefficientler usılı menen tabamız.

1 sanı 2 1 0 xarakteristikalıq teńlemeniń koreni bolmaǵanlıqtan berilgen

teńlemeniń dara sheshimi y A ex

kórinisinde izlenedi, bunda A - anıq emes

koefficient. A

koefficientti tabıw ushın izlengen sheshimdi eki márte differenciallap, y hám

y ti berilgen

teńlemege qoyıp, alınǵan teńlikti

ex qa qısqartqannan keyin A A 4

qatnasına iye

bolamız, bunnan A 2. Demek, berilgen teńlemeniń dara sheshimi y 2ex

boladı, al onıń

ulıwma sheshimi

 

 

y(x) C1 cos x C 2 sin x 2ex

boladı.

Endi ulıwma sheshimdi C 1 hám C 2 erikli turaqlıların berilgen baslanǵısh shártler boyınsha

 

 

 

 

 

 

 

 

C 2 cos x 2e

x

tabamız. Tabılǵan ulıwma sheshimdi differenciallap, y (x) C1 sin x

 

ańlatpasın

alamız.

y(0) 4

hám

y (0) 3

 

ekenin

esapqa

alıp,

C1 2 4,

C 2 2

3

teńliklerin alamız, bunnan

C1

2, C 2 5.

Demek,

y 2 cos x 5 sin x 2ex

funkciyası berilgen Koshi máselesiniń izlengen sheshimi boladı.

3 – mısal.y 3y 2y sin x teńlemesin sheshiń.

 

 

 

 

 

Sheshiliwi: a)

2 3 2 0

xarakteristikalıq teńleme 1,

2 korenlerge

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

iye. Sáykes birtekli teńlemeniń ulıwma sheshimi y C ex C e2x

boladı.

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

 

 

 

 

b) Berilgen differenciallıq teńlemeniń oń jaǵı

f (x ) sin x . Bunı (2) formulanıń oń jaǵı

menen salıstırsaq,

0, Pm (x ) 0,Qm (x ) 1,

1 .

Al i i sanı

xarakteristikalıq

teńlemeniń koreni

emes. Sol sebepli

berilgen

teńlemeniń

dara sheshimi

 

 

 

 

lardı tabamız:

 

yd.sh. A cos x B sin x kórinisinde izlenedi. y , y

 

 

y A sin x B cos x,

y A cos x B sin x.

Endi y, y , y lardı berilgen teńlemege qoyıp, tómendegi teńlikke kelemiz:

A cos x B sin x 3( A sin x B cos x ) 2(A cos x B sin x ) sin x

yamasa

(A 3B ) cos x (3A B ) sin x sin x.

Соседние файлы в предмете Дискретная математика
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности