Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Apiwayi differencialliq tenlemeler

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2024

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

(2) differenciallıq teńleme ushın Koshi máselesi

yamasa baslanǵısh másele dep,

(2)

teńlemeniń x x0

bolǵanda berilgen

,..., y

(n 1)

y(x0 ) y0 , y (x0 ) y0

(x0 ) y0

(3)

baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın

y y(x)

sheshimin tabıw máselesine aytıladı, bunda

(n 1)

,..., y0

berilgen sanlar bolıp, olar baslanǵısh mánisler dep ataladı. Koshi máselesi

x0 I, y0 , y0

sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema támiyinleydi.

Teorema (Pikar teoreması). Meyli (2) differenciallıq teńlemeniń oń jaǵı

R :

x x

y y

b, ...,

y(n 1) y(n 1)

oblastında anıqlanǵan bolıp, tómendegi eki shártti qanaatlandırsın :


	(n 1)	) funkciyası		R oblastında úzliksiz hám demek, ol shegaralanǵan:
1) f (x, y, y ,..., y		) funkciyası		R oblastında úzliksiz hám demek, ol shegaralanǵan:
			f (x, y, y ,..., y(n 1) )		M	(M 0);
			f (x, y, y ,..., y(n 1) )		M	(M 0);

			(n 1)	)	funkciyası
2) f (x, y, y ,..., y				)	funkciyası
qanaatlandıradı :
	f (x, y , y ,..., y (n 1) )
	f (x, y , y ,..., y (n 1) )
			1	1	1
bunda L 0, y	(0)	y,
	(0)			al	(x, y1, y1,...,
				al	(x, y1, y1,...,

tochkaları.

y, y ,..., y(n 1) ózgeriwshileri boyınsha Lipshic shártin

n 1

(n 1)

)

(k )

f (x, y2 , y2 ,..., y2

(4)

k 0

(n 1)

) hám

(n 1)

(x, y2

, y2

,..., y2

)

R oblastınıń qálegen

Sonda (2) differenciallıq teńleme (3) baslanǵısh shártlerdi qanaatlandıratuǵın

	anıqlanǵan birden-bir y y(x)			x x0		h
				x x0		h
aralıǵında			sheshimge iye boladı, bunda
						b
	h min a,								.
	h min a,		max( M ,\| y \|,...,\|				y(n 1)		.
			max( M ,\| y \|,...,\|				y(n 1)	\|)
Eskertiw. Eger (2) teńlemeniń oń							(n 1)	boyınsha shegaralanǵan dara
Eskertiw. Eger (2) teńlemeniń oń			jaǵı y, y ,..., y					boyınsha shegaralanǵan dara
tuwındılarǵa iye bolsa:
		f

				K,	k 0, n		1,

		y ( k )
onda (4) Lipshic shárti sózsiz orınlanadı hám bunda						L K boladı.
Meyli	G - hár bir tochkasında (2) teńleme ushın Koshi máselesi birden-bir sheshimge iye
bolatuǵın oblast bolsın.

Anıqlama. n erikli turaqlı C1,C2 ,...,Cn														di óz ishine alǵan
							y (x,C1,C2 ,...,Cn )																							(5)
funkciyası (2) teńlemeniń G oblastındaǵı													ulıwma sheshimi dep ataladı, egerde
1) funkciyası x					boyınsha n			ret		úzliksiz differenciallanatuǵın bolsa;
2) qálegen (x	0	, y	0	, y		,..., y	(n 1) ) G tochka ushın
	0		0		0		0
								y0			(x0 ,C1 ,C2 ,...,Cn ),
								y			(x							0		,C ,C			2	,...,C			n	),
									0									0			1		2				n
								........................................
								y(n 1)			(n 1) (x										0	,C ,C			2	,...,C			n	)
								0													0		1		2				n
sisteması C1,C2 ,...,Cn					turaqlılarına qarata bir mánisli sheshimge																									iye
							C 0			1	( x	0		, y		0		, y			,..., y (n 1) ),
							1			1		0				0				0				0
							C 0			2	( x	0		, y		0		, y			,..., y ( n 1) ),
							2			2		0				0				0				0						(6)
																														(6)
							............................................
							C 0			n	( x		0		, y		0		, y ,..., y (n 1) )
							n			n			0				0			0				0

bolsa;

3) (6) qatnasları menen anıqlanǵan C10 ,C20 ,...,Cn0 erikli turaqlılarınıń qálegen mánislerinde

	(n 1)	) tochkası G oblastına tiyisli bolǵanda			0	0	0
(x0 , y0 , y0 ,..., y0		) tochkası G oblastına tiyisli bolǵanda			(x,C1 ,C2 ,...,Cn ) funkciyası				(2)
teńlemeniń sheshimi bolsa.
Solay etip, n -tártipli			(2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma sheshimi n				erikli turaqlını óz
ishine aladı.
Geometriyalıq		jaqtan,	ulıwma sheshim xOy tegisliginde C1,C2 ,...,Cn				lerden	ibarat	n
parametrden ǵárezli bolǵan integrallıq iymek				sızıqlar toparın	beredi.
(2) differenciallıq teńlemeniń ulıwma				sheshiminen C1,C2 ,...,Cn		turaqlılarınıń		belgili	bir
sanlıq mánislerinde alınatuǵın hár qanday sheshim usı teńlemeniń dara sheshimi delinedi.
Eger (5) ulıwma sheshim G oblastında anıq emes túrde
			(x, y,C1,C2 ,...,Cn ) 0						(7)

qatnası menen berilse, onda bul (7) qatnası (2) teńlemeniń G oblastındaǵı ulıwma integralı dep ataladı. Al, (7) qatnasınan C1,C2 ,...,Cn turaqlılarınıń belgili bir sanlıq mánislerinde kelip shıǵatuǵın hár qanday (x, y) 0 qatnası berilgen teńlemeniń dara integralı dep ataladı.

Geypara jaǵdaylarda (2) teńleme ushın ulıwma sheshimdi yamasa ulıwma integraldı anıqlaw qıyın bolıp, bul teńlemeni integrallay otırıp, x hám y ti bazıbir t parametriniń funkciyası retinde ańlatıw múmkin. Eger bul funkciyalar barlıǵı bolıp n erikli turaqlını óz ishine alıp, (2) teńlemeni qanaatlandırsa hám erikli turaqlılardıń belgili bir sanlıq mánislerinde usı teńlemeniń bazıbir dara sheshimin berse, onda olardı (2) differenciallıq teńlemeniń parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimi dep ataydı hám

x (t,C1 ,C2 , ,Cn ),
			(8)
			(8)
y (t,C ,C		, ,C	)
	1 2	n

túrinde jazadı.

Eger (8) teńliklerinen t parametrin shıǵarıp taslaw múmkin bolsa, onda ádettegi formadaǵı

ulıwma sheshimge yamasa ulıwma integralǵa iye bolamız.

Hár bir tochkasında Koshi máselesiniń sheshiminiń birden-birligi

buzılatuǵın

sheshim

ayrıqsha

sheshim

dep

ataladı. n -tártipli (2) teńleme

n 1-erikli turaqlılardan

ǵárezli

bolǵan

ayrıqsha sheshimlerdiń toparına iye bolıwı múmkin.

(n k )

,C1,C2 ,...,Ck ) 0

(2) differenciallıq

teńlemeni integrallaw procesinde 1 (x, y, y ,..., y

qatnasına iye bolamız, bunda

belgisiz

funkciya,

C1,C2 ,...,Ck -

erikli turaqlılar. Bunday

qatnas (2) teńlemeniń k

- tártipli aralıq integralı dep ataladı.

Al,

n 1-tártipli

tuwındıǵa

iye

hám bir

erikli turaqlını

óz

ishine

alatuǵın

(n 1)

,C1 )

0 túrindegi aralıq integralı (2) teńlemeniń birinshi integralı dep ataladı.

1 (x, y, y ,..., y

Eger

hár

qıylı

ǵárezsiz birinshi integral belgili bolsa, onda

olardan

(n 1)

y , y ,..., y

tuwındılarınıń barlıǵın

shıǵarıp

taslap, berilgen teńlemeniń ulıwma integralın alamız.

y(n)

tuwındıǵa qarata sheshilmegen (1) teńlemesi ushın da Koshi máselesi, (2) teńlemesi

ushın Koshi máselesine uqsas qoyıladı :

yaǵnıy (1) teńlemeniń

x x0

bolǵanda

berilgen (3)

baslanǵısh

shártlerin

qanaatlandıratuǵın

sheshimin

tabıw

talap

etiledi.

Bunda,

egerde

(n 1)

(n)

) 0

,..., y0

berilgen

baslanǵısh

mánislerge

hám

,..., y0

, y

x0 , y0 , y0

F(x0 , y0 , y0

teńlemesinen anıqlanatuǵın	y(n) mánisleriniń hár birine tek bir sheshim ǵana sáykes kelse, onda
Koshi máselesi birden-bir	sheshimge iye delinedi. Keri jaǵdayda, Koshi máselesiniń

sheshiminiń birden-birligi buzılǵan dep esaplanadı.

(1) teńleme ushın Koshi máselesi sheshiminiń bar bolıwın hám onıń birden-birligin tómendegi teorema tastıyıqlaydı.

Teorema.

Meyli F

funkciyası

D oblastında

úzliksiz

bolıp, usı

oblastta y, y ,..., y(n)

boyınsha

úzliksiz

dara

tuwındılarǵa

iye

bolsın.

Sonda

F(x

, y

,... y(n) ) 0,

, y

,..., y(n) ) 0

shártlerin qanaatlandıratuǵın

qálegen

y(n)

(x	0	, y	0	, y	,..., y(n 1) ) D
	0		0	0	0

anıqlanǵan hám n ret sonday-aq y(n) (x0 ) y0(n)

tochka ushın (1) teńlemeniń x0 I tochkasınıń bazıbir dógereginde úzliksiz differenciallanatuǵın, (3) shártlerin qanaatlandıratuǵın hám bolatuǵın birden-bir y y(x) sheshimi bar boladı.

Bul teoremanı dálillewde kóp argumentli anıq emes funkciyanıń bar bolıwı haqqındaǵı teorema hám usı lekciyada keltirilgen Pikar teoreması paydalanadı.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.y (n) ge qarata sheshilgen n-tártipli teńleme qanday kóriniske iye? (2) teńlemeniń sheshimi (integrallıq iymek sızıǵı) degen ne? Ol qanday kórinislerde beriliwi múmkin?

2.y (n) ge qarata sheshilgen n-tártipli teńleme ushın Koshi máselesi qalay qoyıladı?

3.Ekinshi tártipli teńleme ushın Koshi máselesi qanday geometriyalıq hám mexanikalıq maǵanaǵa iye?

4.Qanday shártlerde Koshi máselesi sheshimge iye? Qashan bul sheshim birden-bir

boladı?

5.Ulıwma sheshim degen ne? Ulıwma sheshim formulasınan Koshi máselesi qalay sheshiledi? Koshi kórinisindegi ulıwma sheshim degen ne?

6.Qanday sheshim dara sheshim delinedi? Ayrıqsha sheshim degen ne? Qanday jaǵdaylarda teńleme ayrıqsha sheshimlerge iye emes?

11-lekciya. Kvadraturalarda integrallanatuǵin teńlemeler

Reje:

1.y(n) f (x) túrindeḡi teńlemeler.

2.F(x, y(n) ) 0 túrindeḡi teńlemeler

3.F( y(n 1) , y(n) ) 0 , F( y(n 2) y(n) ) 0 túrindeḡi teńlemeleri.

Tayanısh sόzler:Joqarı tártipli differenciallıq teńleme. Kvadratura. Integrallanatuḡın teńlemeler túrleri.

Joqarı tártipli differenciallıq teńlemelerdiń kvadraturalarda integrallanatuǵın bazı bir túrlerin qarastıramız.

1. Ǵárezsiz ózgeriwshini hám belgisiz funkciyanıń n-tártipli tuwındısın baylanıstıratuǵın

teńleme:

F(x, y(n) ) 0 .

(1)

Bul teńleme

y(n)

ge qarata sheshilse, yaǵnıy

y(n) f (x)

túrine alıp keliw múmkin bolsa,

onda onıń ulıwma sheshimi

Y ... f (x)dxdx...dx

xn 1

... Cn 1 x Cn

n 1

(n 1)!

túrine iye boladı, bul jerde C1, C2 ,...,Cn - erikli turaqlılar.

Meyli (1) teńleme

y(n) ge qarata sheshilmeytuǵın, biraq

qa qarata sheshiletuǵın teńleme

bolsın, yaǵnıy

x f ( y(n) ) . Onda

y(n) p

dep

alıp, onıń

parametrlik formadaǵı ulıwma

sheshimin

x f ( p),

C1 x

n 1

C2 x

n 2

y ( p)

... Cn 1 x Cn

(n 1)!

(n 2)!

túrinde kórsetiwge boladı.

Eger teńleme x qa qarata yamasa y(n)

ge qarata sheshilmese, onda x (t), y(n) (t)

belgilewin jasap, onıń

x t ,

y t, C , C

,..., C

túrindegi parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimin alıwǵa boladı.

Mısal. x y 2 1 teńlemesin integrallań.

Sheshiliwi.

y t

dep belgileymiz.

Sonda

x t2

bunnan

dx 2tdt . Al,

dy y dx tdx 2t2dt

bolǵanlıqtan, dy 2t 2dt C1 yamasa

boladı. Bunnan

dy y dx

C1 2tdt bolǵanlıqtan, y

2tdt

C1t

C2 .

Solay etip, berilgen teńlemeniń parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimi

x t 2 1,

t5 C t 2

túrinde jazıladı.

2. Ǵárezsiz ózgeriwshi anıq túrde qatnaspaytuǵın

F( y(n 1) , y(n) ) 0

(2)

túrindegi teńlemeler. Bul teńlemede z y(n 1)

dep alıp, onı

F(z,

) 0

(3)

túrindegi ǵárezsiz ózgeriwshi argument qatnaspaǵan birinshi tártipli differenciallıq teńlemege alıp keliwge boladı. Eger ol tuwındıǵa qarata sheshilse, onda dxdz f (z) bolıp, bunnan x (z,C1 ) boladı.

Meyli bul teńlik z	ke qarata z (x, C ) túrinde sheshilsin. Onda	y(n 1)	(x,C ) bolıp,
	1		1
	y ... (x, C1 )dxdx...dx C2 xn 2 ... Cn
	n 1
boladı.

Eger (3) teńleme z ke qarata elementar funkciyada sheshilse, yaǵnıy z f ( dxdz ) bolsa, onda dxdz p parametrin engizip,

		f ( p )
x C1				dp,
x C1		p		dp,
			xn 2
y ( p )	C2				... Cn 1x Cn
y ( p )	C2				... Cn 1x Cn
			( n 2)!

túrindegi parametrlik formadaǵı ulıwma sheshimge iye bolamız. 3. Ǵárezsiz ózgeriwshi anıq túrde qatnaspaytuǵın

F( y(n 2) , y(n) ) 0

(4)

túrindegi teńlemeler. Bul

teńlemeni y

(n 2)

almastırıwı járdeminde

0 túrindegi

F(z, z )

ekinshi tártipli teńlemege alıp kelemiz.

Meyli ol z ke qarata

z f (z) túrinde sheshiletuǵın bolsın. Onda bunı integrallap,

x C2

2 f (z)dz C1

yamasa y(n 2) z ti esapqa alsaq, (x, y(n 2) ,C ,C ) 0

túrindegi aralıq integralǵa iye bolamız.

Bul teńleme n-2-tártipli differenciallıq teńleme

bolıp,

onı joqarıdaǵı

usıllardıń

biri menen

integrallawǵa boladı.

Tákirarlaw ushın sorawlar.

1.y(n) f (x) teńlemesiniń ulıwma sheshimi qanday kóriniske iye?

2.F (x, y(n) ) 0 teńlemesiniń ulıwma sheshimin qalay tabıwǵa boladı?

3.F(y(n 1) , y(n) ) 0 teńlemesi qalay integrallanadı?

4.F(y(n 2) , y(n) ) 0 teńlemesi qalay integrallanadı?

12-lekciya. Joqarı tártipli differensiyallıq teńlemelerdiń tártibin tómenletiw

Reje:

1.Belgisiz funkciya hám onıń k-tārtipke shekemgi tuwindıları qatnaspaḡan teńlemeler

2.Ǵárezsiz ózgeriwshi qatnaspaǵan teńlemeler.

3.y, y ,..., y(n 1) ge qarata bir tekli teńleme.

4.Ulıwmalasqan bir tekli teńlemeler.

5.Dál tuwındılardaǵı teńlemeler.

6.Tayanısh sόzler: Belgisiz funkciya qatnaspaḡan teńlemeler.Ǵárezsiz ózgeriwshi

qatnaspaǵan

teńlemeler.

Bir

tekli

teńleme.

Ulıwmalasqan bir

tekli

teńlemeler. Dál

tuwındılardaǵı teńlemeler.

Meyli

F(x, y(k ) , y(k 1) ,..., y(n) ) 0

(1 k n)

(1)

túrindegi teńlemeni qarayıq. Bul teńlemeni

y(k ) z

belgilewi járdeminde jańa

z z(x) belgisiz

funkciyasın engiziw arqalı (n k) -tártipli teńlemege alıp keliwge boladı:

(n k )

) 0.

(2)

F(x, z, z ,..., z

Eger

(2) teńleme

kvadraturada

integrallanatuǵın

bolsa,

onda

onı

integrallap,

z (x,C1,...,Cn k )

ulıwma sheshimin yamasa (x, z,C1,...,Cn k ) 0

ulıwma integralın alamız.

Sonda biz qaytadan

y ózgeriwshisine ótip, (1) teńlemeniń

y(k )

(x,C ,...,C

)

yamasa (x, y(k ) ,C ,...,C

) 0

(3)

n k

aralıq integralına iye bolamız. Alınǵan (3) teńleme

(10.1) tipindegi teńleme boladı.

1-mısal.

xy y 0

teńlemesin integrallań.

Sheshiliwi. Berilgen teńlemede belgisiz funkciya

hám onıń birinshi tártipli tuwındısı

qatnaspaǵan, yaǵnıy bul 10

tiptegi teńleme. y z dep, jańa z

belgisiz funkciyasına ócek, onda

berilgen teńleme xz z 0 teńlemesine keledi. Bunnan

z 0,

lnC1 , ln

lnC

1, z C1x.

Endi

ózgeriwshige qayta ócek, onda

y C1x teńlemesine iye bolamız. Bul teńlemeni

eki ret izbe-iz integrallap, berilgen teńlemeniń y C1

C2 x C3

ulıwma sheshimin alamız,

bunda C1,C2 ,C3 - erikli turaqlılar.

Bunday teńleme

F( y, y , y ,..., y(n) ) 0

(4)

túrine iye. Biz

y p

(5)

formulası járdeminde

jańa

p p( y)

belgisiz

funkciyasına

ótemiz, bul

jerde y ti ǵárezsiz

(n)

tuwındıların p

hám onıń

y boyınsha alınǵan

ózgeriwshi retinde qabıl etemiz. y , y ,..., y

tuwındıları arqalı ańlatamız. Sonda

dy dx

d dp

(6)

dx dy

dy2

…………………………………………………………….,

( n )

d n 1 p

w p,

,...,

n 1

Endi (5) hám (6) tuwındıların (4) teńlemege qoysaq,

teńlemege iye bolamız. Bul (n ulıwma sheshimin tapsaq, onda

	dp		dp		d n 1 p
y, p,		p,..., w p,		,...,			0
y, p,		p,..., w p,		,...,		n 1	0
	dy		dy		dy	n 1
	dy		dy		dy

1) -tártipli teńleme. Eger onı sheship, y belgisiz funkciyasına qaytadan ótip,

(7)

p ( y,C1,...,Cn 1 )

y ( y,C1,...,Cn 1 )		(8)
teńlemesin alamız. Bul teńlemeni integrallap, (4) teńlemeniń		ulıwma sheshimin tabamız.
2-mısal. у cos y y 2 sin y y , y( 1) ,	y ( 1) 2	Koshi máselesiniń sheshimin tabıń.
6

Sheshiliwi. Berilgen teńleme ǵárezsiz ózgeriwshi x anıq túrde qatnaspaǵan teńleme boladı. y p almastırıwı járdeminde jańa p p( y) belgisiz funkciyasın kiritemiz. Sonda berilgen teńleme

p dpdy cos y p2 sin y p

túrine keledi. Izlengen sheshim ushın p 0, y 0 . Sol sebepli sońǵı teńlemeniń eki jaǵında p cos y ke bólip,

dp	sin y	p	1
dy	cos y		cos y

teńlemesin alamız. Bul birinshi tártipli birtekli tómendegi formula arqalı anıqlanadı:

sin y dy

p e cos y C1

emes sızıqlı teńleme. Onıń ulıwma sheshimi

1		sin y
			dy
		cos y	dy
	e			dy ,
cos y	e			dy ,
cos y

bunnan p C cos y sin y . Bundaǵı	C	erikli turaqlını berilgen baslanǵısh	shártlerdi
1	1

paydalanıp tabamız. Shártke muwapıq,	y( 1)				2	bolǵanlıqtan, sońǵı
paydalanıp tabamız. Shártke muwapıq,	y( 1)		, y ( 1) p		2	bolǵanlıqtan, sońǵı
		6		6

teńlikten

C 3

ekeni kelip shıǵadı. Demek,

3 cos y sin y yamasa

p 2 sin y

Endi

y p almastırıwın esapqa alsaq, onda

2dx,

2 sin y

sin y

2x C2 ,

ln tg

2x C2 .

sin y

Bunnan baslanǵısh shártlerdi esapqa alsaq, C2 2 ekeni kelip shıǵadı. Sol sebepli berilgen Koshi máselesiniń sheshimi

y			2x 2
ln tg

	2	6

qatnası menen anıqlanadı.

Eskertiw. Usı mısalda kórsetilgenindey-aq, joqarı tártipli teńlemeler ushın Koshi máselesin tártibin tómenletiw usılı menen sheshkende erikli turaqlılardı hár bir integrallawdan keyin tawıp barǵan maqul boladı.

Meyli

	(n)	) 0							(9)
F(x, y, y ,..., y		) 0							(9)
teńlemesi berilsin. Bul teńleme belgisiz funkciyaǵa					hám onıń tuwındılarına qarata birtekli
teńleme dep ataladı, egerde F funkciyası y, y ,..., y(n)					ge qarata birteklilik kórsetkishi m bolǵan
			(n)	) t		m		(n)	) birdeyligi orınlansa.
birtekli funkciya bolsa, yaǵnıy F(x,ty,ty ,...,ty				) t			F(x, y, y ,..., y		) birdeyligi orınlansa.
Bul jaǵdayda
	y yu								(10)

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 145 6 7 8 9 10 11 12 13 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб5Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf