Добавил:

aysultan Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Каракалпакский государственный университет им. Бердаха

Предмет:

Дискретная математика

Файл:

Apiwayi differencialliq tenlemeler

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

09.08.2024

Размер:

3.06 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

32-lekciya. Ekinshi tártipli DT-lerdi dárejeli qatarlar járdeminde integrallaw

Reje:

1.Ekinshi tártipli DT-lerdi dárejeli qatarlar járdeminde sheshiw

2.Uliwmalasqan dārejeli qatarlar

Tayanısh sōzler: Dárejeli qatarlar. Uliwmalasqan dārejeli qatarlar

Birinshi tártipten joqari tártipli ózgermeli koefficientli siziqli differencialliq teńlemeniń sheshimleri bárhá elementar funkciyalarda ańlatila bermeydi hám bunday teńlemeni integrallaw kvadratularǵa da siyrek alip kelinedi.

Bunday teńlemelerdi integrallawdiń eń kóp tarqalǵan usili izlengen sheshimdi dárejeli qatar túrinde kórsetiw bolip tabiladi.

Ekinshi tártipli teńleme bolǵan

		y'' p(x) y' q(x) y 0		(1)
teńlemesin qarayiq.
Meyli (1) teńlemeniń	p(x)	hám q(x) koefficientleri	x x0		a intervalda analitikaliq
Meyli (1) teńlemeniń	p(x)	hám q(x) koefficientleri	x x0		a intervalda analitikaliq
funkciyalar bolsin, yaǵniy	x x0	a bolǵanda jiynaqli bolǵan dárejeli qatarlarǵa jayilatuǵin
funkciyalar bolsin, yaǵniy	x x0	a bolǵanda jiynaqli bolǵan dárejeli qatarlarǵa jayilatuǵin

bolsin:

p(x) pk (x xo )k ,

q(x) qk (x xo )k ,

(2)

k 0

Teorema. Eger p(x)

hám q(x) funkciyalari

x x0

bolǵanda analitikaliq funkciyalar

bolsa, onda (1) teńlemesiniń hár qanday y y(x) sheshimi

x x0

a bolǵanda analitikaliq

funkciya boladi, yaǵniy

x x0

a bolǵanda

jiynaqli

bolatuǵin

dárejeli

qatarǵa jayiladi:

y(x) ck (x xo )k ,

k 0

Bul teorema (1) teńlemeni integrallawǵa yaǵniy oniń sheshimin dárejeli qatar kórinisinde dúziwge múmkinshilik beredi. Bunday dúziwdiń algoritmi tómendegiden ibarat. A’piwayiliq

ushin x0 0 dep esaplaymiz. (1) teńlemeniń sheshimin			x tiń dárejeleri boyinsha jayilǵan aniq
emes koefficientli qatar túrinde izleymiz:

	y(x) ck xk ,			(3)
		k 0
bunda ck , k 0,1,2,... - aniq emes koefficientler. (3) qatardi (1) teńlemege qoyip,

k(k 1)ck xk 2 pk xk kck xk 1 qk xk ck xk 0
k 2	k 0	k 1	k 0	k 0

teńligin alamiz.
Bul	teńlikti		x0 , x1, x2 , x3 ,... dárejeleri aldindaǵi koefficientlerdi nolge								teńlestirip, belgisiz
c0 ,c1 ,c2 ...		koefficientlerin aniqlaw ushin rekurrentlik teńlemeler sistemasin alamiz:
				q0c0 p0c1 1 2c2 0
				q1c0 (q0 p1 )c1 2 p0c2 2 3c3 0
				................................................
				k							(4)
				qk i ci (i 1) pk i ci 1 (k 1)(k 2)ck 2 0
				i 1
				..................................................................
bundaǵi	c0	hám	c1 koefficientlerin erkin aliwǵa boladi. c0 hám							c1 di belgilep, (1) teńlemeniń
y(0) c	,	y' (0) c ,		baslanǵish shártlerin qanaatlandiratuǵin						sheshimin	izleymiz. Birinshi
0			1
teńlemeden c2 , ekinshi teńlemeden c3 ti tabamiz hám t.b.
Eger (1) teńlemede				p(x) hám q(x) funkciyalari racional funkciyalar bolsa, yaǵniy
				p(x)	p1 (x)		q(x)	q1 (x)
						,			,
					p0 (x)	,		q0 (x)	,

bolip, p0 (x), p1 (x),q0 (x),q1 (x) - kopaǵzalilar bolsa, onda p0 (x) =0 yamasa q0 (x) 0 bolatuǵin tochkalar (1) teńlemeniń ayriqsha tochkalari dep ataladi.

Ekinshi tártipli
			x2 y'' xp(x) y' q(x) y 0				(5)
teńlemesi ushin p(x) hám q(x)				x	a araliqta analitikaliq funkciyalar bolǵanda
teńlemesi ushin p(x) hám q(x)			funkciyalari	x	a araliqta analitikaliq funkciyalar bolǵanda
x 0 tochkasi	ayriqsha	tochka	boladi, eger	p(x) hám q(x)		funkciyalarin	dárejeli qatarǵa
jayǵandaǵi p0	yamasa	q0 koefficientleriniń		birewi nolden		ózgeshe bolsa.	Bul regulyarliq

ayriqsha tochka (yamasa birinshi tekli ayriqsha tocka) dep atalatuǵin eń ápiwayi ayriqsha tochkaniń misali boladi.

x x0 ayriqsha tochkaniń dógereginde dárejeli qatar kórinisindegi sheshim bar bolmawi múmkin. Bul jaǵdayda sheshimdi uliwmalasqan dárejeli qatar túrinde izlew kerek:


	y (x x0 ) ck (x x0 )k ,	(6)
	k 0
bunda hám c0 ,c1 ,c2 ... , c0	c aniqlawi tiyis.
(5) teńlemeni x 0 bolǵanda qaraymiz. Bul teńlemege (6) ańlatpasin		x0 0 bolǵanda
qoyip, tómendegige iye bolamiz:

( 1) p0 q0 c0 ( 1) p0 ( 1) q0 c1 (p0 q0 )c0 x ...

( k)( k 1) ... p0 ( k) q0 ck ... (p0 q0 )c0 xk ... 0

Bundaǵi x tiń dárejeleri aldindaǵi koefficientlerdi nolge teńlestirip, rekurrentlik teńlemeler sistemasin alamiz:

f0	( )c0 0
f0	( 1)c1 f1 ( )c0 0	(7)
.............................................
f0 ( 1)ck f1 ( k 1)ck 1 f2 ( k 2)ck 2 ...		fk ( )c0 0

..........................................................................................

Bunda

	f0	( ) ( 1) p0 q0	,	(8)
	fm ( ) pm qm , m 1			(8)
	fm ( ) pm qm , m 1
Al, c0 0	bolǵanliqtan aniqlawshi teńleme dep atalatuǵin
		( 1) p0 q0 0
				(9)

teńlemeni qanaatlandiriwi tiyis.

Meyli 1 , 2 - usi teńlemeniń korenleri					bolsin. Eger 1 2 ayirmasi pútin san bolmasa,
onda	f0 ( 1 k) 0,			f0 ( 2 k) 0, barliq	k>0 pútin sani ushin, demek, kórsetilgen metod
penen (1) teńlemeniń eki siziqli ǵarezsiz dara sheshimin dúziwge boladi:

				y1 x 1 ck(1) x k	hám y2 x 2 ck(2) x k
				k 0	k 0
Egerde 1		2	ayirmasi pútin san bolsa, onda joqarida kórsetilgen usil menen uliwmalasqan
qatar	túrinde	bir	y1 (x) sheshimdi dúziwge boladi. Bul sheshimdi bile otirip, Liuvill –

Ostrogradskiy formulasi járdeminde y1 (x) penen siziqli ǵarezsiz bolatuǵin ekinshi sheshimdi tabiw múmkin.

		(x) y (x)	e	p( x)dx
y			e			dx
	2

		1		y 2	(x)
				y 2	(x)
				1

Bul formuladan y2 (x) sheshimdi		y2 (x) Ay1 (x) ln x x 1 ck xk túrinde izlew múmkin

k 0

ekenligi kelip shiǵadi.

33-lekciya.Dara tuwındılı birinshi tártipli sızıqlı teńleme hám onıń ulıwma sheshimi

Reje:

1.Tiykarǵı túsinikler hám anıqlamalar.

2.Dara tuwındılı birinshi tārtipli sızıqlı teńleme

3.Ulıwma sheshim.

Tayanısh sōzler: Dara tuwındılı differensiallıq teńleme.Tārtibi. Birinshi tārtipli sızıqlı teńleme. Sheshim. Koshi māselesi. Ulıwma sheshim.

Bir neshe ǵárezsiz ózgeriwshilerdi, olardıń belgisiz funkciyasın hám onıń dara tuwındıların baylanıstıratuǵın teńleme dara tuwındılı differenciallıq teńleme dep ataladı. Teńlemedegi eń joqarı tártipli tuwındınıń tártibi teńlemeniń tártibi delinedi. Eki ózgeriwshili z z(x, y) funkciyası jaǵdayında bunday teńlemeniń ulıwma túri tómendegishe jazıladı:

F (x, y, z,

2 z

,...) 0.

x y

Al, x1, x2 ,..., xn

túrindegi n ǵárezsiz ózgeriwshili dara tuwındılı

teńlemeni

F (x , x ,..., x , u,

,...,

,...) 0

(1)

1 2

túrinde jazıw múmkin, bunda F - óz argumentleriniń berilgen funkciyası.

(1) teńlemeniń sheshimi dep, x1, x2 ,..., xn

lerdiń bazıbir ózgeriw oblastında teńlemege kirgen

óziniń tuwındıları menen anıqlanǵan hám

teńlemeni birdeylikke

aylandıratuǵın hár qanday

u u(x1, x2 ,..., xn )

funkciyasına aytıladı. Al,

F (x , x ,..., x ,u,

,...,

) 0

(2)

kórinisindegi teńleme birinshi tártipli n ózgeriwshili dara tuwındılı teńleme boladı.

(2) dara tuwındılı differenciallıq teńleme ushın Koshi máselesi tómendegishe qoyıladı: Ǵárezsiz ózgeriwshilerdiń birewiniń belgilengen mánisinde, máselen xn xn(0) bolǵanda berilgen úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyaǵa aynalatuǵın, yaǵnıy xn xn(0) bolǵanda

u (x1,..., xn 1 )

(3)

bolatuǵın (2) teńlemeniń

u u(x1, x2 ,..., xn )

(4)

sheshimin tabıw talap etiledi. (3) shártler (4) sheshimniń baslanǵısh shártleri delinedi.

Meyli eki ǵárezsiz ózgeriwshili birinshi tártipli teńleme berilsin:

F (x, y, z,	z	, z ) 0.	(5)
	x	y
Bul teńlemeniń z z(x, y) sheshimine	(x, y, z) keńisliginde bazıbir betlik sáykes keledi.
Bul betlik (5) teńlemeniń integrallık betligi dep ataladı. (5) teńleme ushın Koshi máselesi			x x0
bolǵanda berilgen
z z(x0 , y) ( y)			6
z z(x0 , y) ( y)
baslanǵısh shártin qanaatlandıratuǵın
z z(x, y)			(7)

sheshimin tabıwdan ibarat, yaǵnıy x x0 tegisliginde jatıwshı berilgen (6) iymek sızıǵı arqalı ótiwshi (7) integrallıq betlik izlenedi.

(6) baslanǵısh shártlerdi ózgerte otırıp, biz bir ıqtıyarlı funkciyadan ǵárezli sheshimler kópligine iye bolamız.

Joqarı tártipli dara tuwındılı differenciallıq teńlemeler sisteması ushın sheshimniń bar bolıwı hám birden-birligi haqqındaǵı teoremanı saykes funkciyalardıń hám baslanǵısh shártlerdiń analitikalıq bolıwı shártlerinde dálillegen S.V. Kovalevskaya boldı.

Eger (2) teńlemede belgisiz funkciyalardıń dara tuwındıları sızıqlı túrde qatnassa, bunday teńleme sızıqlı teńleme delinedi. Ol tómendegishe jazıladı:

(x ,..., x , u)

... X

(x ,..., x , u)

R(x ,..., x , u),

onda

(8)

bunda X1, X2 ,..., Xn , R - berilgen funkciyalar. Teńlemeniń oń jaǵı

R birdeylik túrde nolge teń,

al X1, X2 ,..., Xn koefficientleri u ózgeriwshisine ǵárezli bolmaǵanda (8) sızıqlı teńleme

(x ,..., x )

... X

(x ,..., x )

(9)

n x

túrine iye boladı hám ol birtekli sızıqlı teńleme dep ataladı. Keri jaǵdayda, ol birtekli emes sızıqlı teńleme delinedi.

Simmetriyalıq formadaǵı

	dx1				dx2		...			dxn		(10)
X	(x ,..., x )		X	2	(x ,..., x )		...	X	n	(x ,..., x )		(10)
1	1	n		2	1	n			n	1	n

ápiwayı differenciallıq teńlemeler sisteması (9) birtekli sızıqlı dara tuwındılı differenciallıq teńlemege sáykes keliwshi sistema delinedi.

Teorema. Eger (x1,..., xn ) funkciyası (10) sistemasınıń úzliksiz differenciallanatuǵın integralı bolsa, onda u (x1,..., xn ) funkciyası (9) teńlemeniń sheshimi boladı.

Teorema. Eger u u1 (x1,..., xn ) const (9) teńlemeniń sheshimi bolsa, onda u1 (x1,..., xn ) funkciyası (10) sistemanıń integralı boladı.

Haqıyqatında da, birinshi tastıyıqlaw simmetriyalı formadaǵı ápiwayı differenciallıq teńlemeler sistemasınıń integralınıń anıqlamasınan kelip shıǵadı. Al, ekinshi tastıyıqlawdıń orınlı ekeni de ap-anıq derlik. Xaqıyqatında da, u1 (x1,..., xn ) funkciyasınıń tolıq differencialı (10) sistemaǵa muwapıq, birdeylik túrde nolge teń ekenin dálillew kerek, yaǵnıy

du u1

(x ,..., x ) u1

(x ,..., x ) ...

(x ,..., x ) 0.

(11)

Bul u u1 (x1,..., xn ) funkciyasınıń (9) teńlemeniń sheshimi ekeninen kelip shıǵadı.

Demek, bul teoremadan (9) teńlemeni hám (10) sistemanı integrallaw máseleleriniń ekvivalent ekeni kelip shıǵadı.

Berilgen shártlerde (10) sistema dál n-1 ǵárezsiz integrallarǵa iye boladı:

		1 (x1,..., xn ), 2 (x1,..., xn ),..., n (x1,..., xn ).			(12)
Bul integrallar	(x(0)	, x(0)	,..., x(0) )	baslanǵısh tochkanıń bazıbir dógereginde anıqlanǵan hám
	1	2	n

úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyalar boladı. Al, (12) integrallarınıń qálegen úzliksiz differenciallanatuǵın

u F(1, 2 ,..., n 1)

(13)

funkciyası da usı (10) sistemanıń integralı boladı hám demek, ol (9) dara tuwındılı teńlemeniń sheshimi boladı. (13) sheshim (9) teńlemeniń ulıwma sheshimi dep ataladı, bunda F - óziniń argumentleriniń qálegen úzliksiz differenciallanıwshı funkciyası.

Eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńleme jaǵdayın qaraymız:

P(x, y)	z	Q(x, y)	z	0,	(14)
	x		y
bunda z z(x, y) - belgisiz funkciya, al P(x, y)			hám Q(x, y)		- berilgen funkciyalar. (14)

teńlemeniń hár bir sheshimine (x, y, z) keńisliginde bazıbir betlik - usı teńlemeniń integrallık betligi sáykes keledi. Bul jaǵdayda (10) sistema bir teńlemege aynaladı:

		dx	dy
				.	(15)
		P(x, y)	Q(x, y)	.	(15)
Meyli (x, y)	usı teńlemeniń integralı bolsın, yaǵnıy (x, y) C				- ulıwma integral. Sonda
(14) teńlemeniń ulıwma sheshimi
		z F[ (x, y)]			(16)

funkciyası boladı, bunda F - qálegen úzliksiz differeciallanatuǵın funkciya.

Geometriyalıq jaqtan, (14) ulıwma sheshimge bir erikli funkciya F ten ǵárezli bolǵan (16) integrallıq betlikler toparı sáykes keledi.

Tákirarlaw ushın sorawlar

1.Dara tuwındılı differenciallıq teńleme degen ne, onıń sheshimi degen ne? Eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńlemeniń sheshimi qanday geometriyalıq mániske iye?

2.Qanday teńlemege birinshi tártipli dara tuwındılı sızıqlı teńleme dep ataydı? Qanday jaǵdayda ol birtekli, birtekli emes dep ataladı?

3.Birinshi tártipli dara tuwındılı teńleme ushın Koshi máselesi qalay qoyıladı? Ol eki ǵárezsiz ózgeriwshili teńleme jaǵdayında qanday geometriyalıq maǵanaǵa iye boladı?

4.Birinshi tártipli dara tuwındılı birtekli sızıqlı sistemanıń ulıwma sheshimi qalay dúziledi? Bul teńleme ushın Koshi máselesi qalay sheshiledi?

34-lekciya. Dara tuwındılı kvazisızıqlı birinshi tártipli DT-ler

Reje:

1.Dara tuwındılı kvazisızıqlı birinshi tártipli differenciyallıq teńleme

2.Xarakteristikalar hām integrallıq betlikler.

3.Koshi máselesi sheshiminiń bar-bolıwı hām birden birligi haqqındaḡı KoshiKovalevskaya teoreması

Tayanısh sōzler: Kvazisızıqlı teńleme.Xarakteristikalar. Integrallıq betlik. KoshiKovalevskaya teoreması

Meyli

(x ,..., x

,u)

(x ,..., x

,u)

... X

(x ,...x

,u)

R(x ,..., x

,u)

(1)

teńlemesi berilsin.

Bundaǵı

X1, X 2 ,..., X n

koefficientleri

hám R oń

jaǵı

baslanǵısh

x1(0) , x2(0) ,..., xn(0) ,u(0)

tochkasınıń bazıbir dógereginde dara tuwındıları menen birge anıqlanǵan hám úzliksiz bolsın, sonıń menen birge,

X	n	(x(0)	,..., x(0)	,u(0) ) 0	.	(2)
	n	1	n		.	(2)
(1) teńlemeniń sheshimin anıq emes túrde
V (x1,..., xn ,u) 0						(3)

túrinde izleymiz, bunda V - óziniń argumentleriniń bazıbir úzliksiz differenciallanatuǵın funkciyası, sonıń menen birge,

V (x(0) ,..., x(0) ,u(0) )

(4)

(3) qatnasın xk boyınsha differenciallaymız, bunnan

u dı x1,...., xn

diń (3) teńlemeden

anıqlanatuǵın funkciyası dep qarastıramız. Sonda

k 1,..., n ,

(5)

u xk

bunnan

k 1,...,n .

(6)

x k

(6) nı (1) ge qoyıp hám

V ǵa kóbeytip tómendegige iye bolamız:

... X

R V 0.

(7)

1 x

(7) teńleme V belgisiz funkciyaǵa qarata birtekli sızıqlı teńleme. Oǵan sáykes keliwshi sistema

	dx1		dx2	...	dxn		du	(8)
	X1		X 2	...	X n		R	(8)
	X1		X 2		X n		R
tómendegi n ǵárezsiz integralǵa iye:
1 (x1, x2 ,..., xn ,u),..., n (x1, x2 ,..., xn ,u).								(9)
Sonlıqtan,
		V F( 1, 2 ,..., n )						(10)
qatnası (7) teńlemeniń ulıwma sheshimi boladı. (10) dı (3) ke qoyıp, (1) teńlemeniń								izlengen
sheshimine iye bolamız:
	F( 1, 2 ,..., n ) 0.							(11)
Bul (1) teńlemeniń ulıwma sheshimi				boladı,		bunda F - ıqtıyarlı		úzliksiz
differenciallanıwshı funkciya.

Meyli

P(x, y, z)	z	Q(x, y, z)	z	R(x, y, z)	(12)
	x		y

berilsin, bunda z z( x, y) - belgisiz funkciya (1) sistema

		dx			dy	dz			(13)
					Q	R			(13)
		p			Q	R
túrine	iye. Eger 1 (x, y, z), 2 (x, y, z) usı			sistemanıń			ǵárezsiz	integralları bolsa,	onda (14)
teńlemeniń ulıwma sheshimi
	F ( 1 , 2 ) 0.								(14)
Sızıqlı bir tekli bolmaǵan teńleme ushın Koshi máselesiniń sheshiliwin qarayıq.
Koshi máselesi (1) teńlemeniń

	u	xn x0 (x1,..., xn 1 )							(15)
shártti	qanaatlandıratuǵın u f (x1,..., xn )		sheshimin				tabıwdan	ibarat, bunda	berilgen

úzliksiz differenciallanatuǵın funkciya. (1) teńlemeniń ulıwma sheshimin bilgen halda, Koshi máselesi sheshimin qalay tabıw kerekligin kórsetemiz. Bul jerde tiykarǵı másele ulıwma sheshimdegi F funkciyanıń kórinisin anıqlawǵa keledi.

(9)birinshi integrallarda xn

i arqalı belgilep alamız, yaǵnıy

ornına baslanǵısh xn0 mánisti qoyıp, payda bolǵan ańlatpalardı


		(x ,..., x	0		,u)			,
		(x ,..., x			,u)			,
	1	1	n			1

		(x ,..., x		0	, u)				,
	2	(x ,..., x		n	, u)	2			,
	2	1		n		2
										(16)
................................

		(x ,..., x		0	,u)				.
	n	(x ,..., x		n	,u)		n		.
	n	1		n			n

(15) baslanǵısh shártti tómendegi kóriniste jazamız: x

de u (x ,..., x

) . Bul

n 1

shártti (11) teńlik penen salıstırıp F funkciyanı

F( 1, 2 ,..., n ) u (x1, x2 ,..., xn 1)

(17)

teńlik orınlanatuǵınday etip saylap alamız. (16) sistemanı

x1, x2 ,..., xn ,u

larǵa

qarata

sheshemiz:


					x
					x			(				,				,...,				),
					1			1			1				2				n
					x
					x			(					,			,...,				),
						2		1			1				2				n
					...................................


								1 1 ( 1 , 2 ,..., n ),
					xn			1 1 ( 1 , 2 ,..., n ),

						( 1 ,..., n ).
					u	( 1 ,..., n ).
Endi F ushın

		F ( 1, 2 ,..., n ) ( 1, 2 ,..., n )
	1 (				1,		2 ,...,											1,			2 ,...,	n )
	1 (				1,		2 ,...,		n ),..., n 1 (									1,			2 ,...,	n )
funkciyanı alsaq, (17) shárt orınlanadı. Demek,
(	1,		2 ,...,	n ) 1(						1,				2 ,...,			n ),..., n 1(						1,	2 ,...,	n ) 0
(	1,		2 ,...,	n ) 1(						1,				2 ,...,			n ),..., n 1(						1,	2 ,...,	n ) 0	(18)

formula izlenip atırǵan Koshi máselesiniń sheshimin anıq emes túrde beredi. (18) teńlemeni y ke qarata sheship, Koshi máselesi sheshimin anıq túrde tabamız.

		u	u
Mısal. (1	u x y )	u	u	2	teńlemesiniń	y 0 bolǵanda	z 2x baslanǵısh
		x	y

shártin qanaatlandıratuǵın sheshimin tabıń.

Sheshiliwi. Berilgen dara tuwındılı teńlemege sáykes keliwshi ápiwayı differenciallıq

teńlemeler

sisteması

túrine

iye.

Onıń

integralları

u x y

1 u 2 y, 2 2

u x y y boladı. Bul integrallarda

y 0 dep esaplap, tómendegige iye

bolamız:

u 1 ,

2 u x

Bul sistemanı x hám u ǵa qarata sheship,

x 2 2 ,1 4

u 1

qatnasların tabamız. Sonlıqtan (18) formulaǵa muwapıq, berilgen Koshi máselesiniń sheshimi

	2(		2		2	0
1		1	2 ) 0, 2	1
			4		2

boladı yamasa 1 hám 2 lerdi olardıń ańlatpaları menen almastırsaq, onda

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 / 1413 14 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Дискретная математика

#
10.08.20242.46 Mб6Aniq integrallar.pdf
#
09.08.20243.06 Mб4Apiwayi differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20243 Mб7Differencialliq tenlemeler.pdf
#
09.08.20241.38 Mб17Joqari matematika paninen lekciyalar.pdf
#
09.08.20241.17 Mб11Matematika (Lekciya).pdf
#
10.08.20247.89 Mб15Matematikaliq analiz oqiw qollanba.pdf
#
10.08.20244.64 Mб17Matematikaliq analiz.pdf