Apiwayi differencialliq tenlemeler
.pdf
(x) (1) (x) (2) (x) ... (m) (x)
vektorfunkciya berilgen (4) sistemanıń sheshimi boladı.
Eger (1) birtekli emes sızıqlı sistemaǵa sáykes keliwshi birtekli sızıqlı sistemanıń sheshimleriniń fundamentallıq sisteması belgili bolsa, onda bul (1) sistemanıń ulıwma sheshimin erikli turaqlılardı variaciyalaw usılı (Lagranj usılı) járdeminde tabıwǵa boladı.
Meyli (3) birtekli sızıqlı sistemanıń J (x) fundamentallıq matricası belgili bolsın. Sonda onıń ulıwma sheshimi
Y J (x)C
túrinde jazıladı, bunda C - erikli turaqlı vektor. Endi (1) birtekli emes sistemanıń sheshimin
Y J (x)C(x) |
(5) |
túrinde izleymiz, bunda - házirshe anıq emes vektor-funkciya. Onı anıqlaw ushın (5) ti differenciallap (1) sistemaǵa qoyamız. Sonda
J (x) dC(x) F(x) dx
teńlemesine iye bolamız. Bul teńliktiń eki jaǵında soldan J 1(x) matricaǵa kóbeytemiz:
|
|
dC(x) |
J 1(x)F(x). |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dx |
|
|
|
Endi sońǵı teńlikten x0 den x qa shekem integrallap, x, x0 I tómendegige iye bolamız: |
|||||
|
|
|
x |
|
|
|
C(x) C J 1(s)F (s)ds. |
|
|||
|
|
|
x0 |
|
|
Bul tabılǵan ańlatpanı (5) formulaǵa qoysaq, onda |
|
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
Y (x) J (x)C K(t, s)F (s)ds |
(6) |
|||
|
|
|
|
x0 |
|
formulasına iye bolamız, bunda |
K(x, s) J (x)J 1(s) |
- Koshi matricası. |
|
||
Bul (6) formula (1) sistemanıń ulıwma sheshimin beredi. Eger (1) sistema menen birge |
|||||
|
|
|
Y (x0 ) Y0 |
(7) |
|
baslanǵısh shárt te berilse hám |
J (x) (3) sistemanıń x x0 bolǵanda birlik matricaǵa aylanıwshı |
||||
fundamentallıq matricası bolsa, yaǵnıy Y (x0 ) E |
bolıp, ol normallastırılǵan |
fundamental |
|||
matrica bolsa, onda (6) formuladan (1), ( 7) Koshi máselesiniń sheshimin alıwǵa boladı
|
|
|
x |
|
|
Y (x) J (x) y0 K(x, s)F (s)ds |
|
(8) |
|||
|
|
|
x0 |
|
|
Bul (8) formula Koshi formulası |
dep te ataladı. |
|
|
||
Meyli turaqlı koefficientli sızıqlı birtekli emes sistema bolǵan |
|
|
|||
|
|
|
|
{ } |
(1) |
|
|
|
|
||
sisteması berilsin, bunda |
ólshemli |
turaqlı matrica |
- |
||
haqıyqıy sanlar, |
- |
bazıbir |
intervalda anıqlanǵan |
hám |
|
úzliksiz vektor-funkciya. |
|
|
|
|
|
Bul (1) birtekli emes sızıqlı sistemanı sáykes birtekli sistemanıń ulıwma sheshimin taba otırıp, Lagranjdıń erikli turaqlılardı variaciyalaw usılı járdeminde sheshiwge boladı.
Eger (1) sistemada |
vektorfunkciyanıń hár bir |
dúziwshisi kvazikópaǵzalı bolsa, |
|
yaǵnıy eger |
funkciya |
cos |
funkciyalarınıń kóbeymeleri |
hám qosındılarınan tursa, onda onıń dara sheshimin anıq emes koefficientler usılı járdeminde tabıwǵa boladı.
Meyli bolsın, yaǵnıy kópaǵzalı,
vektor – funkciyanıń hár bir koordinatası |
kvazikópaǵzalı |
túrine iye bolsın, bunda |
- -dárejeli |
̅̅̅̅̅ |
|
Eger sanı sáykes birtekli sistemanıń A matricasınıń menshikli sanı bolmasa, onda (1) sistemanıń dara sheshimi
|
(2) |
túrinde izlenedi, bunda |
bul m dárejeli anıq emes koefficientli kópaǵzalı. Onıń |
koefficientleri anıq emes koefficientler usılı menen tabıladı.
Eger sanı sáykes birtekli sistemanıń xarakteristikalıq teńlemesi ushın r eseli koren bolsa, onda dara sheshim
|
|
|
|
|
(3) |
túrinde izlenedi, bunda |
|
-bul dárejesi |
|
ge teń bolǵan anıq emes koefficientli |
|
kópaǵzalı. Bul jaǵdayda da |
kópaǵzalınıń |
anıq emes koefficientleri anıq emes |
|||
koefficientler usılı járdeminde yaǵnıy (3) ańlatpası |
(1) sistemaǵa qoyılıp hám uqsas aǵzalardıń |
||||
koefficientlerin salıstırıw jolı menen tabıladı. |
|
|
|
||
Mısalı: 1) |
vektor-funkciyasınıń hár |
bir |
dúziwshisi dárejesi |
ten úlken |
|
bolmaǵan kóp aǵzalı bolǵanda, yaǵnıy
|
|
|
|
|
|
|
1 |
s |
1 |
s 1 |
|
1 |
1 |
|
f |
1 |
(x) |
|
A0 x |
|
A1 x |
|
... As 1x As |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... A2 |
x A2 |
|
|
f |
2 |
(x) |
|
A2 x s A2 x s 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
s 1 |
s |
|
||
|
|
... |
|
.......... .......... .......... .......... ........ |
|
|
||||||||
|
f |
n |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
... An |
|
|
|
|
|
|
|
An x s An x s 1 |
x An |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
s 1 |
s |
|
bolǵanda:
a) eger A matricası nolge teń menshikli sanǵa iye bolmasa, yaǵnıy oniń xarakteristikaliq teńlemesiniń korenleri nolge teń bolmasa ̅̅̅̅̅ bolsa, onda berilgen (1) sistemanıń dara sheshimi
|
|
|
|
1 |
s |
1 |
s 1 |
|
1 |
1 |
|
y |
|
|
B0 x |
|
B1 x |
|
... Bs 1x Bs |
|
|||
1 |
|
|
2 x s B 2 x s 1 |
... B 2 |
x B 2 |
|
|||||
y |
2 |
|
B |
|
|||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
s 1 |
s |
|
|
|
... |
.......... .......... .......... .......... ........ |
|
|
|||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
... B n |
|
|
|
n |
B n x s B n x s 1 |
x B n |
||||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
s 1 |
s |
|
túrinde izlenedi.
b) eger sanı sáykes birtekli sistemanıń xarakteristikalıq teńlemesi ushın r eseli koren
bolsa, yaǵnıy |
|
|
|
bolsa, onda dara sheshim |
dárejeli kópaǵzalı túrinde |
||||||
izlenedi, yaǵnıy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
1 |
s r |
1 |
s r 1 |
1 |
|
|
|
|
B0 x |
|
B1 x |
|
... Bs r |
|
|||||
|
1 |
|
|
2 x s r B 2 x s r 1 |
... B 2 |
|
|
||||
y |
2 |
|
B |
|
|
||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s |
r |
||
|
|
... |
.......... .......... .......... .......... |
........ |
|
|
|||||
y |
n |
|
|
|
|
|
|
... B n |
|
||
|
|
|
B n x s r B n x s r 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s |
r |
|
2) Meyli tómendegi túrge iye bolsın:
f |
|
|
|
|
|
x |
1 |
s |
1 |
s 1 |
1 |
|
|
1 |
|
||
1 |
(x) |
e |
|
( A |
0 x |
|
A1 x |
|
... As 1x As ) |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
2 (x) |
|
e x |
( A |
2 x s |
A2 x s 1 |
... A2 |
|
x A |
2 ) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s 1 |
|
|
s |
|
||
... |
|
.......... .......... .......... .......... ........ |
|
|
|
|
|
||||||||||
f |
|
|
(x) |
|
|
x |
( An x s An x s 1 ... An |
|
|
|
|
|
|||||
|
n |
|
|
e |
1 |
x An ) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s |
|
s |
|
||
a) eger xarakteristikaliq teńlemeniń kóreni |
|
ǵa teń bolmasa, yaǵniy |
bolsa, onda |
|||||||||
dara sheshim tómendegi túrde izlenedi: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
x |
1 |
s |
1 s 1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
y |
|
|
e |
(B0x |
|
B1x |
... Bs 1x Bs ) |
|
|
|||
1 |
|
|
(B2xs B2xs 1 |
|
|
|
|
|
||||
y |
2 |
|
e x |
... B2 |
x B2) |
|
||||||
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s 1 |
s |
|
|
||
|
... |
................................................ |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
(Bnxs Bnxs 1 |
... Bn |
|
|
|
|||||
|
n |
|
e x |
x Bn) |
|
|||||||
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
s |
1 |
s |
|
|
|
b) Eger |
sanı xarakteristikaliq teńlemeniń eseli kóreni bolsa, yaǵnıy |
|||
|
bolsa, onda dara sheshim tómendegi túrde izlenedi: |
|
|||
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
̇ |
|
|
|
|
3) Meyli |
tómendegi túrge iye bolsın: |
|
||
|
|
( |
) |
( |
) |
|
|
̇ |
|
|
|
|
|
|
|
( |
) |
a) |
Eger |
sanı |
xarakteristikaliq teńlemeniń kóreni |
bolmasa, onda dara sheshim |
|
tómendegi túrde izlenedi: |
|
|
|
||
( )
̇
( |
) |
|
|
( |
) |
b) Eger |
sanı xarakteristikaliq teńlemeniń |
eseli koreni bolsa, onda dara sheshim |
|
tómendegi túrde izlenedi: |
|
||
|
( |
) |
|
|
|
̇ |
|
|
|
( |
) |
( |
) |
Tákirarlaw ushın sorawlar
1.Eger birtekli emes sızıqlı sistemanıń bir dara sheshimi hám sáykes birtekli sızıqlı sistemanıń ulıwma sheshimi belgili bolsa, onıń ulıwma sheshimi qalay dúziledi?
2.Birtekli emes sızıqlı sistemanıń ulıwma sheshimin tabıwdıń Lagranj usılı neden ibarat?
3. Turaqlı koefficientli birtekli emes sistemanı sheshiwdiń anıq emes koefficientler usılı neden ibarat?
4. Turaqlı koefficientli birtekli sistemanıń A matricasınıń menshikli sanlarına hám sistemanıń oń jaǵına baylanıslı túrde dara sheshimler qanday kóriniste izlenedi?
23-lekciya. Matrica kόrinisindegi sızıqlı teńlemeler sisteması.Eksponenciallıq matrica. Matricalı differenciallıq teńlemelerdi integrallaw
Reje:
1.Eksponenciallıq matrica hām onıń qāsiyetleri.
2.Sızıqlı bir tekli turaqlı koefficientli teńlemeler sistemasın sheshiwdiń matricalıq usılı
Tayanısh sόzler:Eksponencial matrica. Matrica eksponentasınıń qāsiyetleri. Matricalıq usıl. A matricasınıń Jordan forması.Fundamentallıq matricanı dúziw.
Skalyar |
shama |
a |
nıń eksponencialı |
|
|
ea 1 a |
a2 |
|
... |
a p |
... |
qatarı |
menen |
||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
p! |
|
|
||||
kórsetiletuǵını |
belgili. Usıǵan uqsas túrde |
A |
kvadratlıq |
matricasınıń eksponencialı |
túsinigi |
||||||||||||||||||||||||
kiritiledi. A matricasınıń eksponencialı dep, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
exp A eA |
A |
|
E |
|
A |
|
A |
... |
A |
|
|
... |
|
(1) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
p 0 |
p! |
|
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
p! |
|
|
|
|
|
||||||||
qatarı túsiniledi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bul (1) qatar qálegen |
kvadratlıq |
matrica ushın jıynaqlı, sebebi bul matricanıń |
norması |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|| A || |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ushın dúzilgen |
|
|
skalyar qatarı jıynaqlı boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(1) qatardıń qálegen A kvadratlıq matrica ushın jıynaqlıǵınan |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( At) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qatardıń da jıynaqlıǵı kelip shıǵadı, bunda t |
– skalyar kóbeytiwshi. Bul qatar |
At kóbeymeniń |
|||||||||||||||||||||||||||
eksponencialın beredi, yaǵnıy eAt . Solay etip, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
( At) p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
eAt |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Eksponencialdıń bazıbir qásiyetlerin keltiremiz.
1) eA(t s) eAt |
eAs eAs eAt . Haqıyqatında da, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
k |
k |
|
l |
l |
|
p |
|
k |
|
p k |
|
|
|
|
p |
|
s) |
p |
|
eAt eAs |
A t |
|
|
A s |
|
Ap |
t |
|
s |
|
|
|
|
A |
|
(t |
|
eA(t s) . |
|||
k ! |
l! |
|
k !( p k)! |
|
|
p! |
|
||||||||||||||
|
k 0 |
l 0 |
|
p 0 |
k 0 |
p 0 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Al, eA(t s) eA(s t ) |
bolǵanlıqtan, |
keltirilgen |
teńliklerden |
|
|
eAt |
hám |
eAs matricalarınıń |
|||||||||||||
kommutativligi de kelip shıǵadı. s t |
|
dep esaplap, eAt e At |
eA0 |
E ekenin alamız. Demek, |
|||||||||||||||||
eAt – mudamı aynımaǵan matrica hám onıń keri matricası e At |
matricasına teń. |
|
|||||||||||||||||||
2) Eger AB BA bolsa, onda eA B eA eB eB eA .
3) Eksponencialdıń tuwındısı. (2) qatardı formal túrde differenciallaǵannan alınǵan qatarda teń ólshewli jıynaqlı boladı, sonlıqtan, (2) qatardı aǵzama-aǵza differenciallaǵan nızamlı. Bunı esapqa alsaq, onda
|
|
|
|
deAt |
A |
A2t |
|
A3t |
... Ae At |
eAt A . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
dt |
1! |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
Meyli a – haqıyqıy san bolsın. t R |
ózgeriwshiniń eat |
kórsetkishli funkciyası jáne bir |
|||||
xarakteristikalıq qásiyetke iye: eat |
funkciyası |
x ax skalyar |
differenciallıq teńlemesin hám |
|||||||
|
1 baslanǵısh shártin qanaatlandıradı. |
|
|
|
|
|||||
x |
|
t 0 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Bul qásiyetti de kórsetkishli funkciyanıń anıqlaması sıpatında alıwǵa boladı.
Differenciallıq teńlemeler teoriyasında matricanıń eksponentasin anıqlaǵanda kórsetkishli funkciyanıń usı xarakteristikalıq qásiyetin tiykar etip alıwǵa boladı.
Anıqlama. t A matricanıń eksponentası (eksponencialı) dep,
x Ax |
|
|
|
(3) |
birtekli sızıqlı sistemanıń X (0) E |
shárti menen normalastırılǵan |
X (t) fundamentallıq |
||
matricasına, yaǵnıy |
|
|
|
|
X AX , |
X |
|
t 0 E |
(4) |
|
||||
|
|
|
||
matricalıq Koshi máselesiniń sheshimine aytıladı.
Solay etip, anıqlama boyınsha
d |
eAt AeAt , eAt |
|
E. |
(5) |
|
|
|||||
|
|||||
dt |
|
|
t 0 |
|
|
|
|
|
Al, eA(t t0 ) matricası
dXdt AX , X (t0 ) E
matricalıq teńlemeniń sheshimi boladı hám demek,
dxdt Ax
birtekli sızıqlı sistemanıń fundamentallıq matricası boladı. Usıǵan baylanıslı A – turaqlı matrica bolǵanda
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
Ax f (t) |
|
(6) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
birtekli emes |
sızıqlı sistemanıń |
|
x(t0 ) C |
baslanǵısh |
shártin qanaatlandıratuǵın ulıwma |
|||||||
sheshimin tómendegishe kórsetiwge boladı: |
|
|
|
|
||||||||
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
x(t) eA(t t0 )C eA(t t0 )e A(s t0 ) f (s)ds yamasa |
x(t) eA(t t0 )C eA(t s) f (s)ds. |
|
|
|||||||||
|
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
t0 |
|
|
|
Endi (3) birtekli sızıqlı sistemanı matricalıq usıl menen sheshiw máselesin qarayıq. |
|
|
||||||||||
Meyli H – A matricasın J |
jordan formasına túrlendiretuǵın matrica bolsın, demek, |
|
|
|||||||||
|
A H J H 1 |
|
|
(7) |
||||||||
(3) teńlemede |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x Hy |
|
|
(8) |
||||||||
ózgeriwshilerdi almastırıwın orınlaymız. Sonda |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
dy |
H 1 A Hy . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||
Endi (7) esapqa alsaq, onda |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dy |
Jy |
|
|
(9) |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|||||
sistemasına iye bolamız. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Bundaǵı |
J matricası kvazidiagonallıq strukturaǵa iye: J diag(J1 ( 1 ),..., J p ( p )), |
i |
– |
|||||||||
bul A matricasınıń menshikli mánisleri. Baǵanalıq matrica |
y ti sonday bloklarǵa bólemiz, |
j |
– |
|||||||||
bloktıń qatarlar sanı. J j ( j ) jordan kletkasınıń tártibine teń bolsın. Sonda |
|
|
||||||||||
|
y |
|
|
|
J |
( ) |
||
d |
1 |
|
|
|
1 |
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|||||
|
y |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
J |
p |
( |
p |
) y |
|
|
|
|
|
|
|
p |
|||
Solay etip, biziń vektorlı-matricalı teńlememiz p ǵárezsiz teńlemelerge ajıraladı:
dy j |
J |
|
( |
) y |
|
( j 1, 2,..., p). |
(10) |
|
j |
j |
|||||
dt |
j |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Bul (10) |
sistemanıń fundamentallıq |
matricası |
|
Y |
j |
eJ j ( j )t túrine iye boladı yamasa |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J |
j |
( |
) E |
N |
bolǵanlıqtan, |
Y |
j |
e j teNk j t |
boladı. Al, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
j |
j k j |
|
k j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
k j |
1 |
k j 1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Nk |
t |
E |
|
|
Nk |
t |
|
Nk |
j |
t |
|
... |
|
Nk |
j |
|
|
t |
||||||||||
|
|
|
|
|
e |
j |
|
|
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k j |
|
|
|
1 |
|
2! |
|
|
|
|
|
|
(k j |
1)! |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
Demek, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
t |
|
t2 |
|
|
... |
|
|
tk j 1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
|
|
(k j |
1)! |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
eNk j t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
k j 2 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 |
|
|
|
t |
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(k j |
|
2)! |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... |
|
|
... |
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
|
... |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Solay etip,
|
|
|
|
t2 |
|
|
|
1 |
t |
|
... |
|
|
||||
|
|
|
|
2! |
|
|
|
|
|
|
|
Yj |
(t) e jt |
0 |
1 |
t ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... ... ... ... |
||||
|
|
0 |
0 |
0 ... |
|
|
|
||||
|
tk j 1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
(k j |
1)! |
||
|
|
|||
|
tk j 2 |
|
||
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
(k j |
2)! |
|||
|
|
... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
Al, (10) teńlemeniń fundamentallıq matricasın bile otırıp, (9) teńlemeniń fundamentallıq matricasın tómendegi kvazidiagonallıq túrde dúziw múmkin:
|
|
Y |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
. |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Yp |
|
|
||
Meyli |
|
|
|
|
|
||
|
dX |
A(t) X XB(t), |
X (t |
) C |
(11) |
||
|
|
||||||
|
dt |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
matricalıq teńleme berilgen bolsın. |
|
|
|
|
|
||
Teorema. (11) matricalıq teńlemeniń sheshimi |
|
|
|
|
|||
|
|
X Y (t)C Z(t) |
|
|
|
(12) |
|
kórinisinde kórsetiledi, bunda Y (t) hám Z (t) – sáykes túrde
dY |
A(t)Y , |
Y (t |
) E |
(13) |
|
||||
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
dZ |
ZB(t), |
Z (t |
) E |
|
|
|
|
|
(14) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
dt |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
matricalıq teńlemelerdiń sheshimleri. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Dálillew. (12) formulasın |
|
|
t boyınsha |
differenciallap, |
(13) hám (14) |
ti |
esapqa alıp, |
||||||||||||||||
tómendegige iye bolamız: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
|
|
|
dY |
C Z Y C |
dZ |
|
AY C Z Y C Z B. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
dt |
|
|
|
|
dt |
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Kórinip turǵanınday, usınday túrge (11) teńlemeniń oń jaǵı da keledi, eger |
X tıń ornına |
||||||||||||||||||||||
(12) qoyılsa. Teorema dálillendi. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-saldar. Mına |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dX |
A(t) X XA(t), X (t |
) C |
|
(15) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
matricalıq teńlemeniń sheshimi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X Y (t)C Y 1(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(16) |
||||||||||
kórinisine iye boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Haqıyqatında da, bul jaǵdayda (13), (14) teńlemeleri |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dY |
A(t)Y , |
Y (t |
) E, |
|
|
(17) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
dZ |
ZA(t), Z (t |
) E |
|
|
(18) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
túrine iye boladı. (18) teńleme (17) teńlemege |
túyinles |
teńleme boladı |
hám sonlıqtan |
||||||||||||||||||||
Z (t) Y 1(t) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Bunnan (12) ge muwapıq, (16) ańlatpası kelip shıǵadı.
2-saldar. Eger (11) teńlemede A hám B turaqlı matricalar bolsa, onda bul teńlemeniń sheshimi
X eA(t t0 ) C eB(t t0 )
túrinde kórsetiledi.
24-lekciya. Sheshimniń dawamlanıwı.Sheshimniń baslanǵısh shārtlerge hám parametrlerge úzliksiz ǵárezligi haqqındaḡı teorema.
Reje:
1.Sheshimniń dawamlanıwı.
2.Sheshimniń parametrden úzliksiz ǵárezligi haqqındaḡı teorema.
3.Sheshiminiń baslanǵısh berilgenlerden úzliksiz ǵárezligi haqqndaǵı teorema
Tayanısh sόzler: Sheshimniń dawam etiliwi. Dawamsız sheshimler. Sheshimniń parametrler boyınsha úzliksizligi. Sheshiminiń baslanǵısh berilgenler boyınsha úzliksizligi
Meyli differenciallıq teńlemelerdiń normal sisteması bolǵan
sisteması yamasa vektorlıq túrde jazılǵan |
|
|
|
|
(1) |
|
|
|
sisteması berilgen bolsın, bunda |
|
– ólshemli vektor- |
funkciya. |
|
|
Bul normal sistema ushın bar bolıw hám birden-birlik teoremasınıń shártleri orınlanadı dep uyǵaramız.
Biz (1) teńlemeler sistemasnıń oń jaǵı bolǵan |
vektor-funkciyası bazıbir |
||||||
parametrden de ǵárezli bolǵan jaǵdaydı qaraymız: |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
sonıń menen birge, |
parametriniń qálegen mánisi ushın sheshimniń bar bolıw hám birden-birligi |
||||||
haqqındaǵı teorema shártleri orınlı boladı dep uyǵaramız. Sonda (2) sistemanıń |
|
||||||
baslanǵısh shártlerin qanaatlandıratuǵın |
sheshimi |
parametriniń |
bazıbir |
||||
funkciyası boladı. |
|
|
|
|
|
|
|
Meyli berilgen |
(2) sistemada |
– |
ólshemli |
vektor |
hám |
||
– parametr bolıp, |
– |
ólshemli |
vektor-funkciya |
||||
bolsın. |
|
|
|
|
|
|
|
Bul (2) teńlemeler sisteması menen birge |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
(3) |
baslanǵısh shártlerdi de qaraymız, bunda |
– berilgen |
ólshemli turaqlı |
|||||
vektor. |
|
|
|
|
|
|
|
Tómendegi tastıyıqlaw orınlı. |
|
|
|
|
|||
Teorema. Meyli |
vektor-funkciyası |
|
|
|
|
||
oblastta anıqlanǵan bolıp, tómendegi shártlerdi qanaatlandırsın: