ТВиМС ответы на экзамен

37. Проверка гипотезы об однородности двух выборок по критерию знаков.

На практике встречаются ситуации, когда требуется проверить отсут­ствие изменений в законе распределения НСВ ξ. Такие изменения могут возникнуть, когда меняются условия проведения случайного эксперимента. Различного вида гипотезы об отсутствии изменений в законе распределе­ния НСВ ξ называют гипотезой однородности.

Одним из наиболее простых критериев проверки гипотезы однородности является критерий знаков. Пусть Х = [X1,X2,…Xn]^T и Y=[Y1,Y2,…,Yn]^T – выборки из распределения двух НСВ ξ и η с функциями распределения F_ξ и F_η. По гипоттезе Н₀ : F_ξ=F_η Будем полагать, что выборки Х и Y не содержат одинаковых соответствующих по номеру элементов. В противном случае эти совпадающие элементы из выборок исключаем. Построим новую выборку Z=[Z1,Z2,…Zn1]^T, Найдем распределение Z_k, когда верна гипотеза Н₀. Так как случайные величины X_k и Y_k независимы и их распределение одинаково, то распределение Z_k имеет вид табл 3.6. Таким образом, выборку Z можно рассматривать как последовательность успехов (Z_i=1) и неудач (Z_i=-1) в n испытаниях Бернулли с вероятностью успеха р=1/2 в одном испытании. Если - число успехов в n испытаниях, то распределение - биноминальное с вероятностью успеха р=1/2:

Если взять в качестве критериальной функции, то критическая область Q(α) строится следующая образом. Выберем число r_α так, чтобы выполнялись условия: При этом в силу симметрии Если | то гипотеза H₀ отклоняется. Для перехода к односторонней критической области обозначим , где =n- . Тогда критерий принимает вид: если _, то Н₀ отколняется. Для выбора значения r_α имеются специальные таблицы, рассчитываемы по формулам биноминального распределения.

38. Лемма Неймана-Пирсона.

Лемма. При сделанных ранее предположениях существует наиболее мощный критерий проверки гипотезы Н₀ против альтернативы Н₁ с критической областью Q^*( )={X:L_n(x)≥ } где порог c_α определяется условием (c_α) = α. Док-во. Рассмотрим любой другой критерий уровня значимости α₁ определяемый критической областью Q(α) (рис.3.7). Его мощность

= + .

Аналогично

= +

Тогда

= - В точках множества Q^*( ) L_n(x)≥ , в точках множества L_n(X)<c.Значит,

= + + ≤ - =

+ ( - )

По условию P(X )=p(X )=α ,или

(3.2) = =α

Область интегрирования в (3.1) в одном интеграле представляет собой (рис 3.7) Q(α)/( Q(α) Q^*( α)), а во втором- Q^*(α)/( Q(α) Q^*( α)),поэтому каждый из интегралов в (3.1), с учетом (3.2),отлтчается от α на величину Значит сумма интегралов в (3.1) равна нулю и

β ≤ β∗, т.е. критерий Q∗- наиболее мощный.

Критерий Неймана-Пирсона часто называют также критерием отношения правдоподобия.

­­­­­­­­­­­­­­­­______________________________________________ На счет критерия Н-П(отдельно). Наилучшим критерием с точки зрения его мощности является РНМ-критерий. К сожалению, РНМ-критерии сущ., скорее, как исключения лишь в некоторых простых случаях. Вместе с тем, если рассматривать задачу выбора из двух простых параметрическиских гипотез (при заданных основной гипотез (при заданных основной гипотезе Н₀ и альтернативной Н₁), то можно доказать существование наиболее мощного критерия. Такой критерий носит название критерия Неймана-Пирсона.