ПР3

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МИРЭА  Российский технологический университет» РТУ МИРЭА

Институт информационных технологий (ИИТ)

Кафедра прикладной математики (ПМ)

ОТЧЕТ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Прикладные задачи математической статистики»

Практическое задание № 3

Студент группы ИНБО-01-17	ИНБО-06-20	(подпись)
Преподаватель	Юрченков И. А.	(подпись)
Отчет представлен	«12» декабря 2022 г.

Москва 2022 г.

Постановка задачи:

1. Скачать папку с исходными данными по ссылке. Открыть папку, соответствующую своей группе. Далее открыть папку с вариантом, совпадающим с вашим номером в списке.

2. В папке 6 файлов с данными. Данные имеют различные распределения:

• 1 и 4 файлы - нормальное распределение;

• 2 и 5 файлы - равномерное распределение;

• 3 и 6 файлы - показательное распределение.

Необходимо идентифицировать распределения в каждом файле двумя способами:

- с помощью критерия согласия Пирсона;

-методом анаморфоз.

3. Методом Пирсона для каждого файла нужно проверить истинное распределение (то, к которому действительно относятся данные в файле, оно дано выше) и одно ложное. Например, если данные в файле распределены нормально, то нужно проверить нормальное распределение и одно из двух: показательное или равномерное. При расчете теоретических частот в качестве параметров распределений брать их точечные несмещенные оценки.

4. В отчет вставить гистограммы по каждому файлу, расчетные формулы и результаты проверки распределения.

5. При проверке распределения методом анаморфоз нужно построить 3 графика для каждого из 6 файлов. Каждый график представлен в координатах соответствующей анаморфозы. Тот график, на котором достигнуто спрямление, соответствует истинному распределению. Для проверки качества спрямления необходимо построить линейный тренд (провести линейную регрессию) и показать значения коэффициента детерминации (𝑅2). Он должен быть близок к 1.

6. По параметрам прямой (угловому коэффициенту и свободному члену) найти параметры распределения. Для построения анаморфозы нормального распределения мат. ожидание заменить его несмещенной точечной оценкой.

7. В выводах сравнить результаты, полученные двумя способами.

Исходные данные:

В качестве исходных данных дано шесть статистических рядов. Ряды 1-3 имеют 32 значения. Ряды 4-6 имеют 128 значений.

Ход работы:

Перед применением тестов необходимо сформировать гистограммы данных и расcчитать число групп 𝑔, границы групп , 𝑖 ∈ , абсолютные и относительные частоты групп ( , ), 𝑗 ∈ , опираясь на значения полученной выборки данных. Узел «Квантование» в Loginom рассчитывает данные параметры автоматически, так что применение формул не требуется.

Затем необходимо построить вариационный ряд для подсчёта абсолютных и относительных частот. Результат представлен на Рисунках 1-6.

Рисунок 1 – Вариационный ряд для первого набора данных

Рисунок 2 – Вариационный ряд для второго набора данных

Рисунок 3 – Вариационный ряд для третьего набора данных

Рисунок 4 – Вариационный ряд для четвертого набора данных

Рисунок 5 – Вариационный ряд для пятого набора данных

Рисунок 6 – Вариационный ряд для шестого набора данных

По результатам расчетов вариационного ряда наступает возможность визуализировать практическое приближенное распределение значений выборки в виде гистограммы. Результат представлен на Рисунках 7-12.

Рисунок 7 – Гистограмма для первого набора данных

Рисунок 8 – Гистограмма для второго набора данных

Рисунок 9 – Гистограмма для третьего набора данных

Рисунок 10 – Гистограмма для четвертого набора данных

Рисунок 11 – Гистограмма для пятого набора данных

Рисунок 12 – Гистограмма для шестого набора данных

Далее была найдена точечная оценка математического ожидания по формуле: . Затем были рассчитаны точечные оценки дисперсии по формуле: . Квадратный корень из оценки дисперсии дает оценку среднеквадратического отклонения. Все расчеты были сделаны с помощью узлов «Калькулятор» и «Группировка». Результаты представлены в Таблице 1.

Таблица 1 – Точечные оценки параметров генеральной совокупности имеющихся выборок

№ выборки
1	-1,06	5,98	2,45
2	-1,55	4,13	2,03
3	3,52	24,87	4,99
4	-1,34	11,22	3,35
5	0,11	27,15	5,21
6	4,42	20,31	4,51

Принадлежность выборок к известному распределению была определена при помощи критерия согласия Пирсона: ,

где — теоретические частоты попадания в i-ый интервал.

Теоретическая частота — это количество элементов из предполагаемого нами распределения, попавших в данный интервал. При этом в качестве параметров теоретического распределения используются рассчитанные нами ранее их точечные оценки. Из этого следует формула для расчёта теоретических частот:

где — параметры теоретического распределения;

— функция плотности теоретического распределения;

— функция вероятности теоретического распределения.

Рассчитанные теоретические частоты, значения критерия Пирсона, критические значения и сделанные на основе этого выводы представлены в Таблице 2.

Таблица 2 — Гипотезы, значения критериев и выводы, сделанные на их основе

Выборка № 1. H0:
				Вывод
1	0.67	5.24	7.82	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.
1	3.17
8	7.88
15	10.24
5	6.98
2	2.49
Выборка № 1. H0:
				Вывод
1	5.33	18.25	7.82	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.
1	5.33
8	5.33
15	5.33
5	5.33
2	5.33
Выборка № 2. H0:
				Вывод
4	5.33	2.88	7.82	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.
6	5.33
7	5.33
2	5.33
9	5.33
4	5.33
Выборка № 2. H0:
				Вывод
4	2.56	10.4	7.82	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.
6	4.87
7	6.79
2	6.92
9	5.17
4	2.82
Выборка № 3. H0:
				Вывод
19	21.15	8.548	9.488	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по экспоненциальному закону.
10	6.72
2	2.13
0	0.68
0	0.22
1	0.07
Выборка № 3. H0:
				Вывод
19	11.72	24.53	7.81	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.
10	10.12
2	3.4
0	0.44
0	0.22
1	0.07
Выборка № 4. H0:
				Вывод
2	6	3.907	11.07	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.
16	15.44
31	26.92
33	31.81
29	25.49
12	13.84
4	5.09
1	1.27
Выборка № 4. H0:
				Вывод
2	16	51.25	11.07	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.
16	16
31	16
33	16
29	16
12	16
4	16
1	16
Выборка № 5. H0:
				Вывод
9	16	5.13	11.07	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.
16	16
21	16
11	16
24	16
20	16
15	16
12	16
Выборка № 5. H0:
				Вывод
9	6.65	36.45	11.07	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.
16	11.76
21	17.29
11	21.16
24	21.56
20	18.28
15	12.9
12	7.58
Выборка № 6. H0:
				Вывод
44	63.65	3.44	12.59	, принимается H0 о том, что выборка распределяется по экспоненциальному закону.
45	31.92
20	16.01
10	8.03
5	4.03
2	2.02
1	1.01
1	0.51
Выборка № 6. H0:
				Вывод
44	16	248.62	11.07	, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.
45	16
20	16
10	16
5	16
2	16
1	16
1	16

Проверим гипотезу о распределении выборки при помощи анаморфоз.

Анаморфоза нормального распределения представлена в формуле:

В данном случае при построении анаморфозы нормального распределения заменяется точечной, полученной ранее.

Анаморфоза равномерного распределения представлена в формуле:

Анаморфоза экспоненциального распределения представлена в формуле:

Соответствующие анаморфозы, построенные для каждой из выборок, представлены на Рисунках 13-18.

Рисунок 13 – Метод анаморфоз для первой группы

Рисунок 14 – Метод анаморфоз для второй группы

Рисунок 15 – Метод анаморфоз для третьей группы

Рисунок 16 – Метод анаморфоз для четвертой группы

Рисунок 17 – Метод анаморфоз для пятой группы

Рисунок 18 – Метод анаморфоз для шестой группы

Итак, наибольшее спрямление имеют выборки:

1. Первая группа – анаморфоза нормального распределения.

2. Вторая группа – анаморфоза равномерного распределения.

3. Третья группа – анаморфоза экспоненциального распределения.

4. Четвертая группа – анаморфоза нормального распределения.

5. Пятая группа – анаморфоза равномерного распределения.

6. Шестая группа – анаморфоза экспоненциального распределения.

На основе этих предположений получаем гипотезы, представленные в Таблице 3:

Таблица 3 — Гипотезы, сделанные на основе графиков анаморфоз

№ выборки	H0	H1
1
2
3
4
5
6