Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

ПР3

.docx
Скачиваний:
2
Добавлен:
30.07.2024
Размер:
959.05 Кб
Скачать

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «МИРЭА Российский технологический университет»

РТУ МИРЭА

Институт информационных технологий (ИИТ)

Кафедра прикладной математики (ПМ)

ОТЧЕТ ПО ПРАКТИЧЕСКОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Прикладные задачи математической статистики»

Практическое задание № 3

Студент группы ИНБО-01-17

ИНБО-06-20

(подпись)

Преподаватель

Юрченков И. А.

(подпись)

Отчет представлен

«12» декабря 2022 г.

Москва 2022 г.

Постановка задачи:

  1. Скачать папку с исходными данными по ссылке. Открыть папку, соответствующую своей группе. Далее открыть папку с вариантом, совпадающим с вашим номером в списке.

  2. В папке 6 файлов с данными. Данные имеют различные распределения:

• 1 и 4 файлы - нормальное распределение;

• 2 и 5 файлы - равномерное распределение;

• 3 и 6 файлы - показательное распределение.

Необходимо идентифицировать распределения в каждом файле двумя способами:

- с помощью критерия согласия Пирсона;

-методом анаморфоз.

  1. Методом Пирсона для каждого файла нужно проверить истинное распределение (то, к которому действительно относятся данные в файле, оно дано выше) и одно ложное. Например, если данные в файле распределены нормально, то нужно проверить нормальное распределение и одно из двух: показательное или равномерное. При расчете теоретических частот в качестве параметров распределений брать их точечные несмещенные оценки.

  2. В отчет вставить гистограммы по каждому файлу, расчетные формулы и результаты проверки распределения.

  3. При проверке распределения методом анаморфоз нужно построить 3 графика для каждого из 6 файлов. Каждый график представлен в координатах соответствующей анаморфозы. Тот график, на котором достигнуто спрямление, соответствует истинному распределению. Для проверки качества спрямления необходимо построить линейный тренд (провести линейную регрессию) и показать значения коэффициента детерминации (𝑅2). Он должен быть близок к 1.

  4. По параметрам прямой (угловому коэффициенту и свободному члену) найти параметры распределения. Для построения анаморфозы нормального распределения мат. ожидание заменить его несмещенной точечной оценкой.

  5. В выводах сравнить результаты, полученные двумя способами.

Исходные данные:

В качестве исходных данных дано шесть статистических рядов. Ряды 1-3 имеют 32 значения. Ряды 4-6 имеют 128 значений.

Ход работы:

Перед применением тестов необходимо сформировать гистограммы данных и расcчитать число групп 𝑔, границы групп , 𝑖 ∈ , абсолютные и относительные частоты групп ( , ), 𝑗 ∈ , опираясь на значения полученной выборки данных. Узел «Квантование» в Loginom рассчитывает данные параметры автоматически, так что применение формул не требуется.

Затем необходимо построить вариационный ряд для подсчёта абсолютных и относительных частот. Результат представлен на Рисунках 1-6.

Рисунок 1 – Вариационный ряд для первого набора данных

Рисунок 2 – Вариационный ряд для второго набора данных

Рисунок 3 – Вариационный ряд для третьего набора данных

Рисунок 4 – Вариационный ряд для четвертого набора данных

Рисунок 5 – Вариационный ряд для пятого набора данных

Рисунок 6 – Вариационный ряд для шестого набора данных

По результатам расчетов вариационного ряда наступает возможность визуализировать практическое приближенное распределение значений выборки в виде гистограммы. Результат представлен на Рисунках 7-12.

Рисунок 7 – Гистограмма для первого набора данных

Рисунок 8 – Гистограмма для второго набора данных

Рисунок 9 – Гистограмма для третьего набора данных

Рисунок 10 – Гистограмма для четвертого набора данных

Рисунок 11 – Гистограмма для пятого набора данных

Рисунок 12 – Гистограмма для шестого набора данных

Далее была найдена точечная оценка математического ожидания по формуле: . Затем были рассчитаны точечные оценки дисперсии по формуле: . Квадратный корень из оценки дисперсии дает оценку среднеквадратического отклонения. Все расчеты были сделаны с помощью узлов «Калькулятор» и «Группировка». Результаты представлены в Таблице 1.

Таблица 1 – Точечные оценки параметров генеральной совокупности имеющихся выборок

выборки

1

-1,06

5,98

2,45

2

-1,55

4,13

2,03

3

3,52

24,87

4,99

4

-1,34

11,22

3,35

5

0,11

27,15

5,21

6

4,42

20,31

4,51

Принадлежность выборок к известному распределению была определена при помощи критерия согласия Пирсона: ,

где — теоретические частоты попадания в i-ый интервал.

Теоретическая частота — это количество элементов из предполагаемого нами распределения, попавших в данный интервал. При этом в качестве параметров теоретического распределения используются рассчитанные нами ранее их точечные оценки. Из этого следует формула для расчёта теоретических частот:

где — параметры теоретического распределения;

— функция плотности теоретического распределения;

— функция вероятности теоретического распределения.

Рассчитанные теоретические частоты, значения критерия Пирсона, критические значения и сделанные на основе этого выводы представлены в Таблице 2.

Таблица 2 — Гипотезы, значения критериев и выводы, сделанные на их основе

Выборка № 1. H0:

Вывод

1

0.67

5.24

7.82

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.

1

3.17

8

7.88

15

10.24

5

6.98

2

2.49

Выборка № 1. H0:

Вывод

1

5.33

18.25

7.82

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.

1

5.33

8

5.33

15

5.33

5

5.33

2

5.33

Выборка № 2. H0:

Вывод

4

5.33

2.88

7.82

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.

6

5.33

7

5.33

2

5.33

9

5.33

4

5.33

Выборка № 2. H0:

Вывод

4

2.56

10.4

7.82

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.

6

4.87

7

6.79

2

6.92

9

5.17

4

2.82

Выборка № 3. H0:

Вывод

19

21.15

8.548

9.488

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по экспоненциальному закону.

10

6.72

2

2.13

0

0.68

0

0.22

1

0.07

Выборка № 3. H0:

Вывод

19

11.72

24.53

7.81

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.

10

10.12

2

3.4

0

0.44

0

0.22

1

0.07

Выборка № 4. H0:

Вывод

2

6

3.907

11.07

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.

16

15.44

31

26.92

33

31.81

29

25.49

12

13.84

4

5.09

1

1.27

Выборка № 4. H0:

Вывод

2

16

51.25

11.07

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.

16

16

31

16

33

16

29

16

12

16

4

16

1

16

Выборка № 5. H0:

Вывод

9

16

5.13

11.07

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.

16

16

21

16

11

16

24

16

20

16

15

16

12

16

Выборка № 5. H0:

Вывод

9

6.65

36.45

11.07

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по нормальному закону.

16

11.76

21

17.29

11

21.16

24

21.56

20

18.28

15

12.9

12

7.58

Выборка № 6. H0:

Вывод

44

63.65

3.44

12.59

, принимается H0 о том, что выборка распределяется по экспоненциальному закону.

45

31.92

20

16.01

10

8.03

5

4.03

2

2.02

1

1.01

1

0.51

Выборка № 6. H0:

Вывод

44

16

248.62

11.07

, отвергается H0 о том, что выборка распределяется по равномерному закону.

45

16

20

16

10

16

5

16

2

16

1

16

1

16

Проверим гипотезу о распределении выборки при помощи анаморфоз.

Анаморфоза нормального распределения представлена в формуле:

В данном случае при построении анаморфозы нормального распределения заменяется точечной, полученной ранее.

Анаморфоза равномерного распределения представлена в формуле:

Анаморфоза экспоненциального распределения представлена в формуле:

Соответствующие анаморфозы, построенные для каждой из выборок, представлены на Рисунках 13-18.

Рисунок 13 – Метод анаморфоз для первой группы

Рисунок 14 – Метод анаморфоз для второй группы

Рисунок 15 – Метод анаморфоз для третьей группы

Рисунок 16 – Метод анаморфоз для четвертой группы

Рисунок 17 – Метод анаморфоз для пятой группы

Рисунок 18 – Метод анаморфоз для шестой группы

Итак, наибольшее спрямление имеют выборки:

  1. Первая группа – анаморфоза нормального распределения.

  2. Вторая группа – анаморфоза равномерного распределения.

  3. Третья группа – анаморфоза экспоненциального распределения.

  4. Четвертая группа – анаморфоза нормального распределения.

  5. Пятая группа – анаморфоза равномерного распределения.

  6. Шестая группа – анаморфоза экспоненциального распределения.

На основе этих предположений получаем гипотезы, представленные в Таблице 3:

Таблица 3 — Гипотезы, сделанные на основе графиков анаморфоз

выборки

H0

H1

1

2

3

4

5

6

Соседние файлы в предмете Прикладные задачи математической статистики