Савандер В.И., Увакин М.А. Физическая теория ядерных реакторов. Часть 1. Однородная размножающая среда и теория гетерогенных структур

где Ф(E) – спектр нейтронов в размножающей среде. Используя для потока нейтронов выражение, полученное в п. 2.4, получим число нейтронов, замедлившихся ниже Eпр, в расчете на один нейтрон деления 235U, то есть величину µ:

Eпр

Это выражение не учитывает поглощение быстрых нейтронов в реакциях радиационного захвата, которое обычно включается в расчет резонансного поглощения нейтронов (коэффициент ϕ), а также размножение быстрых нейтронов за счет деления ядер 235U, так как для топлива низкого обогащения этим фактором можно пренебречь.

В многогрупповом приближении коэффициент размножения быстрых нейтронов представляется в виде

В выражении (4.1.3) g0 – число энергетических групп, расположенных выше порога деления 238U. В том случае, когда все нейтроны, имеющие энергию выше порога деления 238U, так называемые надпороговые нейтроны, объединяются в одну группу (g0 = 1), то выражение для коэффициента µ принимает следующий вид:

61

Сечение увода Σ1a,d для надпороговых нейтронов включает в

себя сечение захвата и неупругого рассеяния нейтронов на 238U σ(ad1),8 = σ(a1,)8 +σ(d1,)8 и сечение увода за счет упругого рассеяния с яд-

рами замедлителя σ(d1,)зам . Из-за малой концентрации 238U его вклад

в сечение увода в первой группе не будем учитывать. В результате зависимость коэффициента размножения на быстрых нейтронах от

разбавления С = ρзам будет иметь вид:

ρ8

При увеличении концентрации ядер замедлителя, то есть при возрастании разбавления размножающей среды, вероятность реакции деления на 238U уменьшается, а поэтому коэффициент размножения на быстрых нейтронах должен снижаться по мере роста разбавления. Из выражения (4.1.5) также следует, что коэффициент размножения уменьшается с ростом разбавления топлива замедлителем. Формально, максимального значения этот коэффициент дос-

тигает при С → 0 , а именно, µ =1+(v1f −1) σ1f ,8 χ1 ≈1.23. Однако

при малых разбавлениях топлива размножающую среду уже нельзя будет отнести к средам с тепловым спектром нейтронов.

62

4.2. Вероятность избежать резонансного поглощения

Энергетическая зависимость сечений взаимодействия нейтронов с тяжелыми ядрами имеют четко выраженную резонансную структуру. Резонанс в нейтронных сечениях наблюдается и у ядер со средними и малыми атомными массами, но главную роль в физике реакторов играют резонансные сечения тяжелых ядер, особенно 238U. В последующем изложении будем иметь в виду главным образом 238U, хотя все изложенное здесь будет справедливо и для смеси 232Th с делящимися изотопами.

Основные характеристики резонансного взаимодействия нейтронов. При столкновении нейтрона с ядром, имеющим массовое число A, могут происходить взаимодействия двух типов. В первом случае нейтроны рассеиваются на ядре как на «твердом шарике», без проникновения в ядро и, тем самым, не возбуждая его внутренних степеней свободы. Такой процесс носит название упругого потенциального рассеяния и его сечение σp слабо зависит от

энергии нейтронов (для 238U σp ≈11 б). Однако существует и дру-

гая возможность, когда сталкивающийся нейтрон проникает в ядро, образуя так называемое «составное ядро» в возбужденном состоянии. Энергия возбуждения составного ядра складывается из энергии связи нейтрона в ядре Есв и кинетической энергии нейтрона Ек, так что энергия возбуждения Ев = Есв + Ек. Возбуждение ядра оказывается довольно сильным, поскольку Есв ≈ 7 МэВ.

Атомное ядро является квантовой системой с определенными энергетическими уровнями Еi. Когда Ев близко к одному из квантовых уровней Еi, вероятность образования составного ядра резко возрастает, что приводит к пикам в нейтронных сечениях. Положение резонанса на оси кинетических энергий нейтрона дается выражением Ек = Еi – Есв, а частота следования резонансов определяется плотностью уровней составного ядра.

Энергетические уровни составного ядра не являются стационарными, имеют конечное время жизни τ и ядро распадается по одному из нескольких возможных каналов (рис. 4.1).

63

В простейшем приближении энергетическая зависимость сечения резонансного взаимодействия нейтрона с ядром вблизи резонансной энергии E0 описывается одноуровневой формулой Брейта

– Вигнера:

Частота следования резонансов определяется плотностью уровней составного ядра. Среднее расстояние между резонансами 238U

D 20 эВ. Величина резонансного сечения в максимуме σr0 при

малых энергиях резонансов весьма велики, достигая при E 10 эВ величины 10000 б. С ростом энергии σr0 уменьшается и при

E 100 КэВ оказывается сравнимой с сечением потенциального рассеяния σp . В действительности, подобное сглаживание резо-

нансной структуры сечений происходит при более низких энергиях ( 30 кэВ) за счет «доплеровского» уширения резонансов.

Резонансное поглощение в размножающей среде. Резонанс-

ный интеграл. Пусть имеется однородная бесконечная среда – смесь резонансного поглотителя с концентрацией ρП и сечением

потенциального рассеяния σp и замедлителя с концентрацией ρзам и сечением рассеяния σs . Полное сечение потенциального рассеяния для такой однородной среды Σsp = σр ρП +σs ρзам .

Рассмотрим резонансное поглощение нейтронов при замедлении на примере единичного изолированного резонансного уровня при энергии Ei. Введем следующие параметры резонансов:

Ei – энергия резонансного уровня;

σ0i – сечение в центре резонансной линии при E = Ei ;

Г– ширина резонанса;

D – расстояние между резонансами;

65

∆Ei – эффективная ширина резонанса, то есть область энергий,

где еще учитывается воздействие резонанса на спектр нейтронов. Если D >> Г , то резонанс можно считать изолированным.

Для одиночного изолированного резонанса (рис. 4.2) справедлива указанная выше формула Брейта – Вигнера:

Рис. 4.2. Резонансная линия Брейта – Вигнера σr (E)

Как известно, в случае слабого поглощения среды ( Σa << Σt ),

поток нейтронов в ней описывается возрастным приближением, а вероятность избежать резонансного поглощения в возрастном приближении имеет вид:

66

Сечение потенциального рассеяния поглотителя и замедлителя слабо меняются в пределах резонансного уровня, поэтому величину ξΣs можно вынести из-под знака интеграла. В результате полу-

чим выражение:

где pi – есть вероятность нейтрону испытать поглощение на i-м

Вычислим резонансный интеграл для одиночного резонансного уровня:

Если область действия резонанса ∆Ei << Ei , то переменную E в

знаменателе подынтегрального выражения можно вынести из-под знака интеграла, присвоив ей значение резонансной энергии

E = Ei :

67

Производя стандартную замену переменных интегрирования

Пределы интегрирования по переменной x симметричны относительно x = 0 . Наибольшего значения подынтегральное выражение принимает в центре резонансной линии при x = 0 . При энергиях, отличных от резонансной энергии, подынтегральное выражение резко уменьшается и стремится к нулю. Поэтому пределы интегрирования можно распространить от –∞ до +∞, так как основное значение интеграл набирает в области E [Ei − Г, Ei + Г], x ≈1 . Та-

ким образом, получим для резонансного интеграла выражение

Однако если концентрация резонансного поглотителя достаточно велика, поглощение в резонансе становится существенной величиной, поток нейтронов в районе резонанса сильно изменяется в зависимости от энергии и возрастное приближение становится неприменимым для этого случая.

Приближение узких резонансов. Эффективный резонансный интеграл. Резонанс считается сильным, если выполнено условие

Для определения потока нейтронов в области действия резонанса, когда резонанс считается сильным, воспользуемся газокинетиче-

68

ским уравнением замедления для однородной бесконечной среды. Для резонансов, которые относятся к категории сильных резонансов, расположенных в области энергий от нескольких эВ до 10 кэВ, источником нейтронов служит только реакция рассеяния нейтронов на ядрах замедлителя и резонансного поглотителя, причем за время замедления нейтроны успевают совершить большое число рассеивающих столкновений:

где αП,αзам – минимальное значение относительной энергии нейтрона на один акт рассеяния на ядрах урана и замедлителя соответ-

(A −1)2

ственно α = (A +1)2 .

Резонанс считается узким, если ширина резонанса много меньше ступеньки замедления как для замедлителя, так и для резонансного поглотителя, при этом выполняются условия:

Для узкого резонанса основной вклад в интеграл рассеяния вносит область энергий, далекая от энергии резонанса. В этой области энергий поток нейтронов от единичного источника описывается

нов от распределения Ферми заключено в области энергий, сравнимой с шириной резонанса. Но так как эта область составляет малую часть всей области интегрирования (узкий резонанс), то при интегрировании по энергии в правой части уравнения баланса по-

69

ложим Ф(E )= Ф0 (E ) во всей области интегрирования. Кроме того, будем считать, что в пределах всей ступеньки замедления Σзамs = const, Σp = ρП σp . С учетом принятых упрощений, урав-

нение для определения спектра нейтронов в области резонанса примет вид:

для определения потока нейтронов в области действия резонанса:

Полученное решение носит название спектра Вигнера, которое, в отличие от спектра Ферми, описывает спектр нейтронов в области действия сильного резонанса.

Вблизи энергии резонанса сечение резонансного взаимодействия, как и полное сечение Σt (E ), резко возрастает, что приводит к

падению потока резонансных нейтронов. Таким образом, оказывается, что чем выше сечение резонансного взаимодействия, тем ниже поток нейтронов в этой области энергий. Этот эффект называется резонансной блокировкой (рис. 4.3). В результате действия этого эффекта поглощение резонансных нейтронов осуществляется примерно с одинаковой интенсивностью во всей области действия резонанса, поскольку резонансное поглощение определяется произ-

70