Савандер В.И., Увакин М.А. Физическая теория ядерных реакторов. Часть 1. Однородная размножающая среда и теория гетерогенных структур

мощности источника. Именно на этом принципе основано действие подкритических систем с внешним источником, в качестве которого рассматриваются ускорители протонов.

2.3. Модель последовательных поколений нейтронов

Ранее были рассмотрены две модели описания цепного ядерного процесса. Для простейшей модели сменяющихся поколений величина коэффициента размножения была определена как отношение числа нейтронов в двух последовательных поколениях. Для гомогенной бесконечной среды, где не выделялось различных поколений нейтронов, было получено выражение коэффициента размножения в виде отношения усредненных макроконстант среды. Можно показать, что оба эти выражения для коэффициента размножения эквиваленты.

Как уже отмечалось, в реальной ситуации в любой момент времени в среде присутствуют нейтроны разных поколений. Предположим, что в начальный момент времени t = 0 в размножающей среде появилось Q0 нейтронов в единице объема. Будем считать их

нейтронами нулевого поколения. Рассмотрим развитие цепного процесса от поколения к поколению, при этом под поколением нейтронов понимаются все нейтроны, рожденные от нейтронов предыдущего поколения, при этом будем рассматривать нейтроны всех энергий, принадлежащих к данному поколению

∞

n(t) = ∫ n(E,t)dE .

0

В общем случае первоначальный источник нейтронов может иметь произвольное распределение нейтронов по энергиям. Очевидно, что и каждое поколение нейтронов будет иметь свой собственный энергетический спектр нейтронов. Однако, как будет показано в дальнейшем, в асимптотике временного процесса энергетическое распределение нейтронов в каждом поколении будет идентичным. Поэтому, не умаляя общности, предположим, что энергетическое распределение нейтронов источника соответствует асим-

31

птотическому. Тогда одногрупповые макроконстанты Σa , ν f Σ f , V во всех поколениях будут также одинаковыми.

Временное поведение нейтронов нулевого поколения будет удовлетворять уравнению.

Часть нейтронов нулевого поколения будет поглощена ядрами среды и вызовет их деление, что и даст начало следующему поко-

лению – n(1) (t) . Для нейтронов первого поколения уравнение временного изменения их плотности в среде имеет вид

N (1) (0) = 0, lim N (1) (t) = 0.

t→∞

В общем случае, для произвольного n-го поколения нейтронов можно записать аналогичное уравнение:

N (i) (0) = 0, lim N (i) (t) = 0, i = 0,1,...

t→∞

Каждое поколение объединяет все нейтроны от момента их рождения до момента исчезновения (поглощения), и каждое новое поколение служит источником следующего. Временное поведение различных поколений нейтронов во времени представлено на рис. 2.1.

32

N(t)

Рис. 2.1. Последовательные поколения нейтронов

Полное число нейтронов в каждом поколении будет равно интегралу по времени от источника этих нейтронов

∞

Q(i) = ∫ ν f Σf V N (i−1) (t)dt . Проинтегрируем каждое уравнение

0

для плотности нейтронов в поколении по времени в интервале (0,∞) и введем в рассмотрение интегральную по времени плотность

∞

нейтронов в каждом поколении ∫ dt N (i) (t) = N (i) :

0

33

Запишем соотношения для последовательных поколений нейтронов Q(i) :

По определению коэффициент размножения есть отношение общего числа нейтронов в двух последовательных поколениях

Q(i)

K∞ = Q(i−1) . Учитывая полученные выше соотношения, запишем:

Q(i) = ν f Σ f Ф(i−1) , Q(i−1) = ν f Σ f Ф(i−2) = Σa Ф(i−1) .

В результате получим выражение для коэффициента размножения в бесконечной размножающей среде:

Таким образом, в итоге получили эквивалентность обоих выражений для коэффициента размножения в бесконечной размножающей среде. Отметим два важных следствия из полученных соотношений. Во-первых, отношение интегральных потоков нейтронов для двух последовательных поколений также равно коэффициенту

Ф(i) Q(i)

размножения: Ф(i−1) = Q(i−1) = K∞ . Во-вторых, баланс нейтронов для одного поколения выглядит следующим образом:

−ΣaΦ(i) + ν f Σf Φ(i) = 0 . Физически это означает равенство коли-

K∞

чества рожденных нейтронов и количества поглощенных.

34

2.4.Энергетическое распределение нейтронов

вбесконечной однородной среде

Для вычисления коэффициента размножения однородной бесконечной среды необходимо иметь усредненные по энергетическо-

му спектру нейтронов макроконстанты среды ν f Σ f и Σa . Таким

образом, для бесконечной однородной среды задача вычисления коэффициента размножения сводится к задаче определения энергетического спектра нейтронов в этой среде. Для получения уравнения, которому удовлетворяет спектр нейтронов бесконечной однородной среды, воспользуемся системой нестационарных уравнений для модели последовательных поколений в среде.

Запишем уравнение переноса нейтронов в однородной бесконечной среде в операторной форме:

щий за рождение нового поколения нейтронов, Q0 – внешний ис-

точник нейтронов. Будем считать, что внешний источник в начальный момент времени породил нейтроны первого поколения, причем энергетическое распределение этих нейтронов произвольное.

Представим себе следующую картину развития цепного процесса. Часть нейтронов, испущенных внешним источником Q0 , произ-

ведет деление ядер среды и даст начало следующему, второму поколению нейтронов, которое, в свою очередь, породит третье поколение и т.д. Поток нейтронов, отвечающий i -му поколению нейтронов, обозначим Φi (E,t) . Тогда цепной процесс деления будет

описываться бесконечной системой уравнений

35

Проинтегрируем каждое из уравнений системы по времени в интервале (0,∞), и, учитывая, что Фi (E,0) = Фi (E,∞) = 0, получим

∞

где Φ(i) (E) = ∫ Φi (E,t)dt – интегральный по времени поток ней-

0

тронов i -го поколения. Отличительной особенностью каждого уравнения бесконечной системы (2.4.2) является то, что в левой части присутствует поток нейтронов i -го поколения, а в правой части – поток нейтронов предыдущего поколения. Учитывая, что коэффициент размножения бесконечной среды равен отношению полного числа нейтронов в двух последовательных поколениях, разумно предположить, что такое же соотношение будет выполнено для отношения интегральных по времени потоков нейтронов в двух последовательных поколениях при любых значениях энергии нейтронов:

Подставим соотношение (2.4.3) в уравнение для i -го поколения нейтронов, получим равенство

36

Уравнение (2.4.4) как в левой, так и в правой части содержит поток нейтронов только одного поколения. Можно показать, что спектр нейтронов в бесконечной среде удовлетворяет именно этому уравнению. Для доказательства этого утверждения чисто формально рассмотрим уравнение на собственные функции и собственные значения операторного уравнения:

Отметим, что если состав размножающей среды известен, то тем

ˆ ˆ

самым полностью определены операторы L и Q , входящие в состав уравнения (2.4.5). Спектр собственных значений {Ki }, отвечающих собственным функциям задачи {Ψi (E)}, расположим в порядке их убывания K0 > K1 >... > Kn . Предполагая, что система собственных функций обладает требуемыми свойствами, разложим функции Ф(i) (E) в ряд по собственным функциям этого уравнения

Φ(i) (E) = ∑Am(i) Ψm (E) , где Ψm (E) – собственная функция урав-

m

нения (2.4.5), отвечающая собственному числу Km . Тогда верно

Подставим разложения в систему уравнений последовательных

37

С помощью полученного рекуррентного соотношения, интегральный поток нейтронов в каждом поколении можно представить в виде выражения

Учитывая, что собственные числа мы расположили в порядке

значений индекса поколений i можно записать следующее выражение:

Таким образом, мы показали, что для нейтронов, относящихся к поколениям с достаточно большими номерами, то есть далекими от начального источника, энергетическое распределение становится подобным друг другу и отвечает собственной функции с максимальным собственным числом. Отметим, что это распределение не зависит от спектра начального источника нейтронов, а зависит только от состава размножающей среды. Кроме того, отношение интегральных потоков нейтронов в двух последовательных поколениях как раз равен максимальному собственному числу K0 , то

есть это число и есть коэффициент размножения среды K∞ = K0 .

Полный интегральный поток нейтронов определяется суммированием по всем поколениям нейтронов:

38

Φ(E) = ∑Φ(i) (E) = ∑(K0 )i A0(0) Ψ0 (E) =

ii

=Ao(0) ∑(K∞ )i Ψ0 (E).

i

Для критической размножающей среды K∞ =1, а стационарный

поток нейтронов Φ(E) = Ao(0) Ψ0 (E) . Для некритических сред интегральный поток нейтронов зависит от номера поколения нейтронов, причем он возрастает для надкритической среды K0 >1 и убывает для подкритической среды K0 <1. Заметим, что устано-

вившийся спектр нейтронов характерен только для сред, у которых коэффициент размножения не сильно отличается от критического значения. Таким образом, спектр нейтронов в рассматриваемой бесконечной однородной размножающей среде определяется из

чающее максимальному собственному числу K0 . По физическому

смыслу это и есть коэффициент размножения нейтронов в рассматриваемой среде.

В явной форме уравнение для спектра нейтронов в бесконечной однородной среде имеет следующий вид:

Уравнение (2.4.8) линейное относительно функции Ф(E) и по-

этому решение этого уравнения определено с точностью до константы. Выберем константу так, чтобы выполнялось соотношение

39

Физический смысл такой нормировки заключается в том, что полный источник деления принимается равным единице, то есть спектр нейтронов нормируется на один нейтрон деления. В результате получаем уже неоднородное уравнение для спектра нейтронов:

Удобство выбранной нормировки состоит в том, что, получив решение уравнения (2.4.10) Ф0 (E) , мы можем определить коэффи-

циент размножения среды простым интегрированием по полученному спектру:

2.5. Многогрупповое приближение

Размножающие среды, составляющие активные зоны ядерных реакторов, содержат ядра различных элементов. В состав размножающих сред входит топливная компонента, которая содержит как делящиеся нуклиды, такие, как 235U, 239Pu, так и пороговые нуклиды 235U, 232Th. Для отвода тепла используются различные теплоносители, состоящие как из легких ядер, такие, как H2O, D2O, так и из тяжелых, включая расплавленные металлы Na или Pb. В большинстве существующих реакторов используется замедлитель нейтронов, состоящий из ядер легких элементов. Для предотвращения контакта теплоносителя с топливом применяются оболочки из различных металлов, а также различные конструкционные элементы, содержащие ядра Zr, Nb, Fe, Ni и многие другие. Все нетопливные элементы разделим на две группы – замедлители и разбавители. Ядра легких элементов относятся к замедлителям, а ядра тяжелых металлов к разбавителям.

Ввиду того, что ядра различных элементов, входящих в состав размножающей среды, имеют сложные зависимости сечения взаимодействий с нейтронами в различных областях энергий, то получить аналитическое решение уравнения для спектра нейтронов в

40