Савандер В.И., Увакин М.А. Физическая теория ядерных реакторов. Часть 1. Однородная размножающая среда и теория гетерогенных структур

G

∑ ν f Σgf Ag = Kэф , g=1

тем самым сведем систему однородных уравнений (5.7.2) к системе неоднородных уравнений, матрица которой имеет нижнетреугольную структуру:

g −1

(α02 Dg + Σadg ) Ag − ∑ Σsg′→g Ag′ = χg . (5.7.3)

g′=1

Решение этой системы получается последовательно, начиная с первой группы:

Определив все коэффициенты, находим эффективный коэффициент размножения, который соответствует первому собственному

G

числу оператора Лапласа α02 : Kэф = ∑ ν f Σgf Ag .

g=1

Таким образом, решение задачи для однородной размножающей среды в конечном объеме осуществляется тем же способом, как и для бесконечной среды, поскольку пространственное распределение нейтронов во всех группах одинаковое.

Общая схема численного решения многогрупповой задачи с пространственной зависимостью констант. Основная цель чис-

ленного расчета реактора – определить Kэф и найти пространст-

венное распределение потока нейтронов. Уравнения для потока g-й группы в многогрупповом диффузионном приближении имеют вид:

131

Индекс «i» означает номер итерации расчета потока нейтронов, так как для решения системы уравнений (5.7.4) используется итерационная процедура, состоящая в том, что если начать с некого

источника Ф0g , то второе уравнение системы позволит найти ис-

точники нейтронов, сформированные этим потоком qig−1 (r ). Таким

образом, в первом приближении становится известен источник в первом уравнении. Численное решение первого уравнения (схема приводится далее) позволяет определить второе приближение потока нейтронов в данной энергетической группе и второе приближение источника нейтронов. В результате получается итерационная процедура, которая продолжается до тех пор, пока относительное изменение потока нейтронов двух соседних итераций будет превышать заданную точность расчета.

Таким образом, на каждой итерации строится распределение источников, генерируется следующее поколение и, следовательно, новое распределение источников нейтронов. Такой метод расчета реактора носит название метода итераций источника, и является весьма распространенным методом при расчете реакторов. Главным преимуществом данного метода является независимость итогового решения от выбора начального приближения. Коэффициент размножения нейтронов при методе итераций источников может быть определен как отношение просуммированных по группам двух последовательных источников:

132

Очевидно, что для выполнения численных расчетов по методу итерации источника необходимо многократно решать первое уравнение в системе (5.7.4). В самом общем случае будем считать, что реактор имеет произвольное число пространственных зон N, каждая из которых характеризуется своими ядерными свойствами, постоянными в пределах зоны (рис. 5.8). В качестве пространственных зон обычно выделяют отдельные тепловыделяющие элементы или группы элементов, органы регулирования и т.п. Численная схема решения уравнения представляет собой схему решения дифференциального уравнения 2-го порядка стандартным методом обратной прогонки, суть которого такова.

Рис. 5.8. Разбиение реактора на зоны с пространственно-постоянными ядерными свойствами

Представляется следующий вид конечно-разностного уравнения и полученной численной схемы решения:

133

Таким образом, задача решается обратным ходом: сначала идет расчет коэффициентов, а потом, в обратном направлении – расчет потоков:

Ф1 → α1,β1 → αn ,βn → ФN → ФN −1...Фn

Двухгрупповая система уравнений в диффузионно-возраст- ном приближении в реакторе с отражателем. Воспользуемся диффузионно-возрастным приближением, чтобы получить систему двухгрупповых уравнений для реактора на тепловых нейтронах. При описании пространственного распределения нейтронов в диф- фузионно-возрастном приближении рассматриваются две функции: q(rr,τ) – плотность замедления, зависящая от пространственной и

энергетической переменных, и Ф(r ) – плотность потока тепловых нейтронов. Для получения системы двухгрупповых уравнений путем усреднения плотности замедления по переменной τ свернем все замедляющиеся нейтроны в одну группу:

134

q(rr) = 1 τ∫т q(rr,τ)dτ ,

τт 0

и проинтегрируем уравнение для плотности замедления по переменной τ . В результате получим следующее уравнение:

Принимая во внимание начальное условие q(rr,0) = K∞ϕΣa Φ(rr) ,

приведем уравнение к виду:

Предполагая, что справедливо соотношение q(rr,τТ ) ≈ q(rr) , полу-

чим систему двухгрупповых уравнений реактора в диффузионновозрастном приближении:

Применим полученную систему двухгрупповых уравнений для расчета реактора с отражателем. Для упрощения записи системы уравнений воспользуемся обозначениями векторно-матричной формы:

r

Φr = Φq((rrr)) , ∆Φr + χˆ 2Φr = 0 ,

где материальный параметр представляет собой матрицу:

135

Будем искать решение векторно-матричного уравнения для ак-

тивной зоны и отражателя в виде Φr(rr) = ∑2 Irn fn (rr) , где In - соб-

n=1

ственные векторы матрицы χˆ 2 , которые различны для активной зоны и отражателя: χˆ 2Irn = λn Irn ,n =1,2 , а fn (rr) – функции, удовлетворяющие уравнению Лапласа, в котором коэффициент пропор-

циональности α2 = λ2n : ∆fn (rr) + λ2n fn (rr) = 0 .

Поэтому пространственные распределения в активной зоне и отражателе будут также описываться различными функциями. Вид этих функций зависит от геометрии активной зоны и отражателя. Заметим, что это не есть задача на собственные значения, так как не заданы однородные граничные условия. Решение этих уравнений второго порядка будет содержать две функции, зависящие от геометрии реактора, и две произвольные постоянные для каждого значения собственного числа λ .

Применяя стандартную процедуру нахождения собственных чисел матрицы второго порядка, получим для активной зоны:

136

и для отражателя:

Собственные векторы матриц определяются из однородного уравнения, общее решение которого определено с точностью до константы. Эту константу выберем, полагая первую координату

Поток нейтронов в каждой зоне будет представлен в виде линейной комбинации четырех различных, но известных функций с

произвольными коэффициентами: Φk (rr) = ∑ Ak(i) fi(k ) ; k = 0,1.

i=1

Для определения коэффициентов имеются два граничных условия в центре активной зоны, два граничных условия на границе отражателя и четыре условия сшивки потоков и токов в каждой группе на границе активной зоны и отражателя:

137

Φg (0)r < ∞,

Φg (Rextr ) = 0,

Φазg (Rrаз) = Φотрg (Rrаз),

В результате получим систему линейных однородных алгебраических уравнений четвертого порядка, для нетривиальной разрешимости которой требуется обращение в нуль ее определителя. Именно это уравнение играет роль условия критичности, из которого можно найти либо критический размер при заданных свойствах размножающей среды в активной зоне, либо требуемый коэффициент размножения при фиксированных размерах активной зоны и отражателя.

Что касается пространственного распределения нейтронов в реакторе с отражателем, то необходимо отметить следующие два факта. Во-первых, источником быстрых нейтронов в отражателе служит ток нейтронов из активной зоны. В самом отражателе источников нейтронов деления нет. Поэтому скорость спада быстрых нейтронов в отражателе по мере приближения к границе будет существенно выше, чем в активной зоне. Во-вторых, поток тепловых нейтронов в отражателе вблизи границы с активной зоной будет возрастать. Это связано с тем, что макросечение поглощения тепловых нейтронов в отражателе существенно меньше, чем в активной зоне. Поэтому поток тепловых нейтронов в непосредственной близости от активной зоны в отражателе будет возрастать по мере удаления от границы активной зоны и, достигнув максимума, начнет спадать к границе отражателя. Это приведет к увеличению потока тепловых нейтронов в отражателе на границе с активной зо-

ной (рис. 5.9).

138

Глава 6 ГЕТЕРОГЕННЫЕ СТРУКТУРЫ ЯДЕРНЫХ РЕАКТОРОВ

6.1. Понятие бесконечно протяженной решетки

До сих пор рассматривались физические аспекты ядерных реакторов, представляющие собой гомогенные размножающие среды. Однако подавляющее большинство существующих реакторов имеют гетерогенную структуру активной зоны. Во-первых, гетерогенное размещение ядерного топлива в активной зоне позволяет пространственно разделить несовместимые по физико-химическим свойствам материалы топлива, теплоносителя и замедлителя, что способствует повышению надежности и безопасности реакторов. Во-вторых, как будет показано ниже, гетерогенное размещение топлива, замедлителя и теплоносителя приводит к улучшению размножающих свойств активной зоны. Благодаря этому удалось построить первые ядерные реакторы на природном уране.

В настоящее время существует большое разнообразие гетерогенных компоновок активных зон ядерных реакторов. В реакторах на быстрых нейтронах, в которых отсутствует замедлитель, топливные элементы погружены в теплоноситель и омываются им. То же самое имеет место и для реакторов водо-водяного типа (ВВЭР, ВК, PWR и BWR), в которых вода является одновременно и теплоносителем и замедлителем (рис. 6.1). В реакторах, где функции теплоносителя и замедлителя разделены, как, например, в РБМК и CANDY, топливо размещено в каналах и омывается теплоносителем, а сам теплоноситель отделен от замедлителя стенками канала (рис. 6.2). Более сложная гетерогенная структура размещения различных компонентов активной зоны имеет место в газографитовых реакторах, где топливо структурно размещено вместе с замедлителем и такие компакты омываются газообразным теплоносителем.

140