Савандер В.И., Увакин М.А. Физическая теория ядерных реакторов. Часть 1. Однородная размножающая среда и теория гетерогенных структур

из которого следует, что реактор может находиться в стационарном состоянии только при строго определенном значении R:

R0 = R −λextr . Общее решение для потока нейтронов имеет произ-

вольную константу C , которая характеризует уровень потока нейтронов в реакторе. В свою очередь, уровень потока нейтронов определяет мощность, выделяемую в объеме активной зоны:

Произвольность константы отражает тот факт, что критический реактор может иметь произвольную мощность.

Пространственное распределение потока нейтронов (рис. 5.3) характеризуется спадом потока нейтронов к границе реактора, поскольку через границу реактора происходит утечка нейтронов в вакуум.

Рис. 5.3. Пространственное распределение потока нейтронов в сферическом реакторе

102

Реактор цилиндрической формы. Рассмотрим теперь цилинд-

рическую активную зону радиуса R и высоты H (рис. 5.4). Учитывая вид лапласиана в цилиндрической геометрии, получим следующее уравнение на собственные значения:

Рис. 5.4. Реактор в цилиндрической геометрии

Решение уравнения (5.2.5) в частных производных будем искать методом разделения переменных, представив решение в виде Ψ(r, z) =Y (r) Z (z) . После подстановки решения в разделенных

переменных в исходное уравнение

Представляя геометрический параметр в виде суммы двух чисел α2 = α2r + α2z , исходное уравнение можно представить в виде сис-

темы двух обычных дифференциальных уравнений с соответствующими краевыми условиями:

103

Неймана нулевого индекса, которая имеет логарифмическую особенность при x → 0 . Для выполнения условия ограниченности по-

второго уравнения общее решение имеет вид:

Z (z) = D1 sin(αz z) + D2 cos(αz z).

Помещая начало координат в центр активной зоны, мы будем рассматривать симметричное по аксиальной переменной решение

числа и собственные функции задачи находим из выполнения краевых условий, при этом размеры цилиндра выбраны с учетом экстраполированной добавки:

где ξn – корни функции Бесселя нулевого порядка.

104

Отбрасывая все знакопеременные гармоники, получим геометрический параметр для цилиндрической активной зоны и распре-

деление плотности потока нейтронов в реакторе:

ров, радиус которых R < ξχ0 , критичность не достигается ни при

каком значении высоты цилиндра H . Это один из примеров некритического объема, который обладает тем свойством, что при любом количестве размножающего материала в форме цилиндра с данным радиусом, этот объем размножающего материала заведомо будет подкритичен. Этот объем может быть использован для безопасного хранения размножающего материала с данным материальным параметром. Аналогично, если высоту цилиндра взять из условия

Hπ = χ , то критичность такого реактора достигается только при

бесконечно большом радиусе цилиндра и получаем решение задачи на критичность для бесконечной пластины толщиной H :

105

Таким образом, критический размер пластины равен критическому размеру шара, однако для шара критический объем конечен, а для пластины – бесконечен.

Реактор в форме прямоугольного параллелепипеда. Рас-

смотрим активную зону в форме прямоугольного бруса с длинами сторон соответственно a, b и c (рис. 5.5). Для трехмерной прямоугольной геометрии уравнение для потока нейтронов и граничные условия имеют вид

Рис. 5.5. Реактор в прямоугольной геометрии

Применяя к задаче (5.2.9) метод разделения переменных в виде

106

Φ(x, y, z) = X (x) Y ( y) Z (z),

α2 = α2x + α2y + α2z .

Поместим начало координат в центр бруса и преобразуем исходное уравнение в систему трех обычных дифференциальных уравнений:

Решение каждого из этих уравнений аналогично решению для одномерной пластины. С учетом граничных условий общее решение для призматического реактора запишем в виде:

Φ(x, y, z) = C cos(αx x) cos(αy y) cos(αz z) , (5.2.10)

где αx = πa , αy = πb , αz = πc .

Критическое условие принимает вид:

Минимальная критическая масса. Сравним между собой ми-

нимальные критические размеры реакторов различных геометрических форм для одной и той же размножающей среды, характеризующейся материальным параметром χ2. Для цилиндрического и призматического «голого» реакторов получены следующие условия критичности:

107

Если размеры активной зоны удовлетворяют условию критичности, то для заданной размножающей среды критический объем будет равен

Vкр = π R2 H – для цилиндрической активной зоны, Vкр = a b c – для призматической активной зоны.

Следовательно, при заданных свойствах размножающей среды можно получить бесконечное множество критических активных зон, как в цилиндрической геометрии, так и в плоской. Возникает вопрос, при каких соотношениях между размерами реактора получается минимальный критический объем?

Для призматической активной зоны ответ легко получить из общих соображений – ни одно измерение не является выделенным, поэтому оптимальное соотношение удовлетворяет условию a = b = c . Из условия критичности можно определить размер стороны куба, обладающего минимальной критической массой:

Для сферической активной зоны, имеющей только одно измерение, минимальный критический объем

Для цилиндрической активной зоны симметрия измерений отсутствует, то есть симметрии между высотой и радиусом не существует. В этом случае для получения ответа необходимо решить задачу на условный экстремум, а именно: найти минимум функции

108

используя ограничение, одну из переменных через другую и подставим это соотношение в выражение для объема цилиндра. Объем цилиндра при такой операции будет функцией только одной переменной:

Условие экстремальности критического объема

из которого находим радиус и высоту оптимального цилиндра:

Итак, окончательно имеем следующее соотношение между оптимальными критическими объемами для различных геометрий:

Влияние плотности размножающей среды на критический объем. Для простоты рассмотрим сферу конечного радиуса. Если

жающей среде. Предположим, что плотность размножающей среды изменилась, а разбавление среды C =ρзам ρтопл осталось неизмен-

109

ным. Коэффициент размножения среды K∞ не изменится, поскольку эта величина есть отношение усредненных макросечений:

Заметим, что мы пренебрегаем изменением спектра нейтронов в среде при изменении плотности. Изменится и величина длины диффузии. Из выражения для длины диффузии

следует, что L 1ρ, где ρ – ядерная плотность размножающей среды. Но тогда и Rкр 1ρ, а Vкр 1ρ3 . Учитывая, что ρ γ , получим Mкр 1γ2 . Так, например, если плотность ядерного мате-

риала увеличить в два раза, то критическая масса уменьшится в четыре раза, то есть для создания критичности потребуется в четыре раза меньше топлива. Именно на этом принципе построены ядерные заряды малого размера, так называемого «имплозивного» типа.

5.3.Нестационарное уравнение диффузии нейтронов, эффективный коэффициент размножения

Как было показано ранее, условие стационарности цепной реакции деления в реакторе выражается через равенство геометриче-

ского и материального параметра размножающей среды α02 = χ2 .

Предположим, что это условие каким-либо образом нарушено, например введением в активную зону поглотителя нейтронов равномерно по всему объему. В этом случае в активной зоне начнется нестационарный процесс, для описания которого воспользуемся нестационарным уравнением диффузии в одногрупповом приближении:

110