Вопросы ко 2 кр
.pdf
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫЙ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ:
Методы решения:
•Прямые– приводяткточномуконечномурезультату.
•Итерационные – приводят к приближенному решению в результате последовательности приближений.
РЕШЕНИЕМ СЛАУ называют вектор чисел, подставленные в заданном порядке вместо неизвестных x1,x2,…,xn, обращают каждое уравнение СЛАУ в тождество.
n обозначим количество неизвестных переменных
•Если rangA≠rangA|f, то СЛАУ не имеет решений.
•Если rangA=rangA|f и rangA<n, то СЛАУ имеет бесконечное количество решений
•Если rangA=rangA|f и rangA=n, то СЛАУ имеет единственное решение
СОВМЕСТНОСТЬ
Теоре́ма Кро́некера — Капе́лли
СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы.
•СЛАУ называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение.
•Несовместной, если она решений не имеет.
•Если совместная система имеет только одно решение, то она называется определенной
•Неопределенной, если она имеет более чем одно решение
АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ
Метод Гаусса
Вся суть метода Гаусса заключается в том, чтобы путем элементарных преобразований привести данную матрицу к ступенчатому (или как еще говорят треугольному) виду. В таком виде под (или над) главной диагональю матрицы должны быть одни нули.
Итеративные методы
Метод Якоби: для нахождения на n+1 шаге итерации используется x на предыдущем шаге итерации. Метод Зейделя: компоненты находятся с помощью предыдущей итерации этого шага.
УСЛОВИЯ ОСТАНОВКИ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, либо количество сделанных итераций равно заданному
СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
Метод Простой итерации (итерации продолжаются до тех пор, пока изменение всех неизвестных в 2х последовательных итерациях не станут малыми или пока не закончится заданное число шагов)
Успех определяется удачным выбором начального приближения, которое должно быть близко к истинному решению.
Метод Якоби: для нахождения на n+1 шаге итерации используется x на предыдущем шаге итерации.
Метод Зейделя: компоненты находятся с помощью предыдущей итерации этого шага.
Метод Ньютона
ВосновеметодалежитиспользованиеразложенияфункцийврядТейлора,причемчлены,содержащие вторые и более высоких порядков производные, отбрасываются.
Метод состоит в том, что исходное уравнение заменяется последовательностью уравнений, каждое из которых следующее (улучшенное) приближение получается с учётом предыдущего результата
Итерационный процесс стоит в определении превращений к значению неизвестных на каждой итерации.
НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ:
Бывают алгебраические
и трансцендентные – объединяют всё что можно и нельзя (ln x=cos x)
Шаговый метод решения
Находим эпсилон окрестность корня.
Идея: можно говорить, что функ на достаточно малом отрезке изменяется линейно, тогда кривую можно заменить хордой и в качестве приближения взять точку пересечения хорды с Ох.