економіка / cgiirbis_64

•як передбачати результати майбутніх рішень залежно від схильності, нейтральності чи несхильності до ризику;

•аксіоми раціональної поведінки та умови виконання цих аксіом;

•теорему про існування функції корисності, яка регулює раціональний вибір суб’єкта господарювання.

Також студенти повинні вміти:

•порівнювати споживчий ефект від купівлі (продажу) різних товарів, навіть фізично зіставних;

•приписувати результатам кожної альтернативи відповідне значення корисності;

•розраховувати математичне сподівання значень корисності;

•приймати рішення про переваги альтернатив на основі значень їхніх корисностей.

7.1. Термінологічний словник

Гранична корисність — виражає додаткове задоволення, яке отримує споживач від споживання додаткової кількості товарів.

Корисність — ступінь задоволення суб’єкта (особи) від споживання товару або виконання будь-якої дії.

Лотерея L(X min ; p; X max ) — це ситуація, в якій особа може

отримати хmin з ймовірністю р або хmax з ймовірністю (1-р). Функція корисності — деяка функція U(x), визначена на

множині переваг, якщо вона монотонна, тобто з того, що Х < Y випливає U(Х) < U(Y).

2.Лафта Дж. К. Эффективность менеджмента организации / Дж. К. Лафта. — М. : Русская деловая литература, 2007. — 320 с.

3.Льюс Р.Д., Райфа X. Игры и решения / Р. Д. Люс, Х. Райфа.

—М.: Изд-во иностранной литературы, 1961. — С. 49—54.

4.Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономи-

ческое поведение / Дж. Фон Нейман, О. Моргенштерн. — М :

Наука, 1970. — С. 37.

5.Фишберн П. Теория полезности для принятия решений / П. Фишберн. — М. : Статистика, 1978. — 352 с.

101

6. Шумейкер П. Модель ожидаемой полезности: разновидности, подходы, результаты, пределы возможностей / П. Шумейкер

//Thesis. — 1994. — Вып. 5. — С. 32—34.

7.3.Навчальні завдання

Задача 1. Визначте відповідність термінів і визначень: а) аксіом раціональної поведінки

Рис. 7.1. Моделі поведінки залежно від схильності до ризику

102

Задача 2. Опишіть за допомогою математичних функцій графіки, зображені на рис. 1.3 та 1.4.

Рис. 7.2. Модель поведінки реальної особи щодо схильності до ризику

Задача 3. Ви стикаєтеся із ситуацією прийняття рішення про вибір серед двох лотерей, описаних у таблиці.

Завдання для обговорення:

Знайдіть найбільш вигідну для вас лотерею.

Спочатку згідно з аксіомами повноти, транзитивності й неперервності потрібно однозначно упорядкувати результати між собою. Ранговий порядок може бути, наприклад, такий: машинаfкухняfподорожіfгольфfвідеоfфото. Таким чином, у нас є найгірший (фото) і найкращий (машина) результати. Згідно з означенням лотереї ми їм призначаємо значення корисності 0 і 1 за шкалою, що вимірюється від 0 до 1.

Теперпотрібнопорівнятивсірезультатиміжсобоютакимчином. Порівнюємо дві альтернативи: або мати кухню гарантовано, або взяти участь у лотереї та отримати машину з імовірністю 0,1, або фото з імовірністю 0,9. Продовжуємо змінювати ймовірності в лотереї доти, доки не буде байдуже, що отримувати — або гарантовано кухню, або участь у лотереї щодо отримання машини,

103

або фото. 0,2; 0,3 і так далі до 0,9. Наприклад, мені байдуже до отримання кухні гарантовано або участі в лотереї, яка дозволить отримати машину з імовірністю 0,9. Згідно з означенням лотереї за Нейманом 0,9 — це корисність кухні.

Тепер ми порівнюємо дві альтернативи: отримати подорожі гарантовано або взяти участь у лотереї, яка дозволить отримати або машину з імовірністю 0,1, або фото з імовірністю 0,9. Продовжуємо змінювати ймовірності в лотереї доти, доки не буде байдуже, що отримувати — чи гарантовано подорож, чи участь у лотереї щодо отримання машини або фото (0,2; 0,3 і так далі до 0,9). Наприклад, мені байдуже до отримання подорожі гарантовано або участі в лотереї, яка дозволить отримати машину з імовірністю 0,8. Згідно з означенням лотереї за Нейманом 0,8 — це корисність подорожі. І так далі. Відповідно функція корисності щодо обраних результатів лотерей запишеться таким чином:

Тепер знайдемо сподівану корисність кожної лотереї за таблицею:

Сподівана корисність першої лотереї дорівнює:

М(U(x1)) = 0,9 0,2 + 0,75 0,4 + 0,6 0,4 = 0,72.

Сподівана корисність другої лотереї дорівнює:

М(U(x2)) = 0,8 0,2 + 1 0,4 + 0 0,4 = 0,56.

Завдання: Оберіть, у якій лотереї необхідно взяти участь за критерієм сподіваної корисності.

Задача 4. Незважаючи на розмір ваших фінансових заощаджень, ви плануєте подорожі. Мета подорожей упорядкована вами таким чином:

104

Аляска f Бразилія f Цейлон f Домініканська республіка f Еквадор f Франція.

Уявіть собі барабан, в якому знаходяться 10 куль. Одні з них білі, інші — чорні. Якщо ви витягаєте білу кулю, то поїдете на Аляску, якщо чорну — до Франції. Припустимо, що ви вже маєте квиток на карнавал у Ріо-де-Жанейро. Скільки білих куль повинно бути в цьому випадку в барабані для того, щоб ви обміняли цей квиток на шанс витягнути кулю з барабана? Припустимо, що ви погодитеся ризикнути гарантованою порожню до Ріо-де- Жанейро лише за 8 білих і 2 чорних куль, тобто ваша ймовірність байдужості — 0,8 і, відповідно, корисність подорожі до Ріо-де- Жанейро — 0,8.

Вас запросили телевізійні компанії «ТЕТ» і «Інтер» на призове шоу, де можна виграти ваші улюблені варіанти подорожей. Однак барабан виграшів ВТН «ТЕТ» включає лише Аляску, Домініканську республіку та Францію, а ЦТВ «Інтера» — лише Бразилію, Цейлон та Еквадор. На жаль, шоу проводять в один і той самий час. Яке шоу ви відвідаєте?

Ви маєте два рішення: шоу «ТЕТ» і «Інтер», відповідні значення корисностей виграшів наведено в таблиці:

Сподівана корисність першої лотереї дорівнює:

М(U(x1)) = (1 + 0,2 + 0)/3 = 0,4.

105

Сподівана корисність другої лотереї дорівнює:

М(U(x2)) = (0,8 + 0,4 + 0,1)/3 = 0,43.

Завдання: Оберіть канал, який, за критерієм сподіваної корисності, буде більш привабливим для відвідання.

Задача 5.

Ви отримали диплом зі спеціальності «Менеджмент підприємницької діяльності» та стоїте перед вибором:

—на посаді менеджера працювати на фірмі й отримувати фіксовану зарплату(А1);

—надавати консультації різним фірмам на основі оплати за результатами як партнер згідно з договором (А2);

—створити незалежну консультативну фірму (А3).

У таблиці відображено сподівані сценарії відповідно до варіантів ваших рішень, імовірності та щомісячні доходи (грн).

Таблиця 7.4

РОЗПОДІЛ СПОДІВАНИХ СЦЕНАРІЇВ ВІДПОВІДНО ДО ВАРІАНТІВ РІШЕНЬ

Завдання для обговорення:

1.На користь якої альтернативи ви приймете рішення якщо ваша функція корисності записується рівнянням: U (x) = 185 + 5ln x ?

2.У випадку рецесії ваші партнери за договором пропонують вам платіж z додатково до премії, що залежить від результату. Яким повинне бути мінімальне значення z, щоб ви обрали другу альтернативу?

3.Ситуація радикально змінилася. Спочатку знімається надбавка, обумовлена рецесією. До того ж ваша сестра просить допомогти їй вибратися з фінансових труднощів і прийняти на себе на невизначений термін обслуговування її кредиту обсягом 200 000 грн. Яке рішення ви приймете, якщо відсоткова ставка — 6 % і вам не потрібно сплачувати основну частину боргу?

4.Чи приймете ви інше рішення порівняно з пунктом 3, якщо одна з ваших подруг подарує вам 400 000 грн? Виходьте з того, що кредит можна повернути раніше, а ринок капіталу є повним.

106

Обговорення. Спочатку визначимо корисності доходів за таблицеюальтернативних рішень завласноюфункцієюкорисності.

Відповідно, сподівані корисності за альтернативними рішеннями становлять:

М(U(x1)) = 217,5736; М(U(x2)) = 217,298; М(U(x3)) = 217,9076.

Таким чином, ви обираєте альтернативу А3.

Вам байдуже, який сценарій реалізується — А2 або А3, якщо виконується умова:

210,0532 0,2 + 216,8581 0,2 + 219,0946 0,4 + + (185 + 5ln (1448 + z)) 0,2 = 217,9076.

Спрощення дає:

Ln(1448 +z)=7,8875; eln(1448 + z) = e7,8875; 1448 + z = 2663,6915;

z = 2663,6915 – 1448 = 1215,69.

Тобто ви працюєте консультантом лише тоді, коли відповідний контракт у випадку рецесії передбачає платіж у сумі 2663,69 грн. Відповідно, надбавка повинна становити не менше за

1215,69 грн.

Обслуговування відсоткових платежів зменшує ваш місячний доход. Прогнозуючі значення доходів, відповідно, потрібно зменшити на суму процентів. Сума щорічних процентів становить 0,06 200 000 = 12 000 грн, місячна сума становитиме 1000 грн.

107

У таблиці відображено сподівані сценарії відповідно до варіантів ваших рішень, імовірності та щомісячні доходи (грн).

Таблиця 7.6

РОЗПОДІЛ СПОДІВАНИХ СЦЕНАРІЇВ АЛЬТЕРНАТИВНИХ РІШЕНЬ

Відповідно, сподівані корисності за альтернативними рішеннями становлять:

М(U(x1)) = 216,7719; М(U(x2)) = 215,7089; М(U(x3)) = 212,8766.

Ранговий порядок змінився. Якщо вам потрібно обслуговувати кредит, то ви надасте перевагу більш надійній роботі менеджера.

4. Після того як кредит вам повернули, ви можете вкласти 200 000 грн на ринку капіталу. Додатковий дохід у сумі 1000 грн на місяць знов змінить матрицю доходів.

У таблиці відображено сподівані сценарії відповідно до варіантів ваших рішень, імовірності та щомісячні доходи (грн):

Таблиця 7.7

РОЗПОДІЛ СПОДІВАНИХ СЦЕНАРІЇВ АЛЬТЕРНАТИВНИХ РІШЕНЬ ПІСЛЯ ПОВЕРНЕННЯ КРЕДИТУ

Відповідно, сподівані корисності за альтернативними рішеннями становлять:

М(U(x1)) = 218,2643;

108

М(U(x2)) = 218,2409; М(U(x3)) = 218,9612.

Завдання: Оберіть найбільш привабливу альтернативу за сподіваною корисністю та обґрунтуйте відповідь.

Задача 6. Припустимо, що початковий капітал особи, яка приймає рішення, становить 1200 дол., а її функція корисності грошей U(x) = x2. Їй пропонують лотерею, в якій можливі виграш 2000 дол. з імовірністю 0,3 і нейтральний результат з імовірністю 0,7. Чи варто брати участь у лотереї? Скільки можна заплатити за право брати участь у лотереї?

Задача 7. Функція корисності певної особи має вигляд U(x) = 0,2 2. Обчисліть очікуваний виграш, детермінований еквівалент і премію за ризик для цієї особи, якщо вона бере участь у лотереї L (4; 0,5; 12). Побудуйте функцію корисності, зробіть висновок щодо схильності або несхильності особи до ризику. Чи візьме особа участь у лотереї, аби гарантовано отримати х = 8?

Задача 8. Особа має зростаючу функцію корисності вигляду U(x) = 0,02 2 ≥ 0 і повинна обрати нове місце роботи з двох альтернативних варіантів. У першому випадку її невизначений дохід може становити 1000 тис. грн з імовірністю 0,5 або 3000 грн із тією самою ймовірністю. У другому випадку їй пропонують безризиковий дохід у 2000 грн. Яке місце роботи доцільно обрати цій особі?

Задача 9. Функція корисності певної особи визначається логарифмічною залежністю U(W) = ln(W). Вона може з однаковими шансами виграти і програти 100 грн. Скільки особа готова буде заплатити, щоб уникнути ризику, якщо поточний рівень її добробуту дорівнює 1000 грн?

Задача 10. Особа, яка приймає рішення про випуск продукції, має таку шкалу корисності доходу:

Зробіть висновок щодо схильності або несхильності особи до ризику. Прогнозується, що на ринку можуть виникнути дві ситу-

109

ації стосовно попиту на цей вид продукції: у першій ситуації дохід становить 70 тис. грн з імовірністю 0,75, або 210 тис. грн, а в другій — гарантовано 140 тис. грн. Який варіант обере особа за критеріями очікуваного доходу та очікуваної корисності? Розрахуйте її премію за ризик.

Задача 11. Власник підприємства постає перед ситуацією, коли з імовірністю 10 % пожежа може знищити все його майно, з імовірністю 10 % — знизити вартість його, нерухомості до 10 тис. грн, з імовірністю 80 % вогонь не завдасть шкоди і вартість його майна залишиться рівною 20 тис. грн. Яку максимальну суму власник готовий заплатити за страховку, якщо його функція корисності має логарифмічний вигляд U(W) = ln(W), а страхові виплати становлять 20 тис. грн для першого випадку і 10 тис. грн

— для другого?

Задача 12. Нехай функція корисності бізнесмена має такий вигляд: U(x) = 1 + 2x, де х — грошовий виграш. Бізнесмен може вкласти в будівництво магазину 25 тис. грн і вважає, що з імовірністю 0,5 він отримає прибуток у 32 тис. грн, а з імовірністю 0,5 втратить увесь свій капітал. Визначте, чи варто здійснювати інвестування проекту? Якщо буде здійснено інвестування, то яка очікувана корисність цього заходу?

Задача 13. Бізнесмен під час своєї відпустки бажає здійснити навколосвітню подорож, що коштує 10 000 дол. Корисність подорожі можна оцінити кількістю грошей, витрачених на відпочинок (х). Функція корисності виражається залежністю U(х) = ln(х). Визначте: якщо існує ймовірність 25 % утратити під час подорожі 1000 дол., то яка очікувана корисність навколосвітньої подорожі? Яку максимальну грошову суму бізнесмен готовий заплатити за страховку від втрати 1000 дол.?

Задача 14. Родина переїхала в місцевість, де можливі землетруси, та планує побудувати родинний маєток. Вирішується питання, чи будувати будинок у відповідно до високих стандартів, розрахованих на сейсмічну зону. Будівництво будинку відповідно до таких стандартів обійдеться у 850 000 грн, а без урахування стандартів — у 350 000 грн. У випадку землетрусу (його ймовірність дорівнює 0,001) відновлення будинку, побудованого без урахування стандартів, обійдеться у 900 000 грн. Чи будувати будинок відповідно до сейсмологічних стандартів? Обґрунтуйте відповідь, застосувавши поняття лотереї.

110