Вопрос 22
Опр. Числа называются коэффициентами ЛФ f в базисе Е. Заметим, что они же являются координатами ЛФ f в базисе G.
Теор.
(О преобразовании коэффициентов ЛФ при
смене базиса) Пусть
– базисы в ЛП V,
соответствующие
или биортогональные базисы в
.
Пусть далее
и
,
а базисы
связаны матрицей перехода
.
Тогда
.
#
Возьмем
произвольный
и разложим по базисам
и
.
Тогда
.
Аналогичным образом,
в силу произвольности x
(а значит и
)
получаем, что
,
или
.#
Замеч. То есть коэффициенты ЛФ преобразуются с помощью матрицы так же, как и базисы. Такой закон преобразования называется ковариантным.
Замеч. На последнем шаге доказательства использовалась следующая лемма:
Л.
Если
,
то
.
#
Пусть
.
Тогда
Возьмем
.
Тогда
Вопрос 24
Пусть V и W – ЛП над k
Опр.
Правило(закон) по которому
ставится в соответствие единственный
называется оператором с областью
определения V
и областью значений в W.(
или
y
называется образом элемента x
при действии оператора А; х называется
прообразом элемента у
Опр.
Если 1)
2)
,
то А называется линейным оператором(ЛО)
Если
W=k,
то
и является линейным функционалом. Если
W=V,
то
и является линейным преобразованием.
В дальнейшем рассматривая линейного
оператора, в основном будем иметь в виду
линейные преобразования, т.е. рассматривать
случай, когда W=V
Об. Совокупность всевозможных ЛО действующих из V в W обозначим L(V,W)
Далее рассмотрим L(V, V)
Опр.
Пусть
Будем называть их равными, если
Опр.
Суммой операторов А и В называется
оператор С (А+В=С) :
т.е.
Опр.
Произведением ЛО А на скаляр
называется оператор
Теор.
С=А+В и
Док-во:
Рассм. оператор С=А+В
Следовательно,
оператор С=А+В является линейным, т.е.
2)
Рассм. оператор
1)
2)
Следовательно,
оператор
является линейным, т.е.
Опр.
D
называется нулевым оператором, если
Замеч. Очевидно, что
Опр.
Оператор
называется
противоположным к А, если
Теор.
Теор.
является линейным пространством (оно
называется линейным пространством
линейных преобразований ЛПЛП)
Введем
следующий формализм. Пусть
некоторый базис в V.
Строку [
]
мы обозначим [E].
Рассмотрим образование базисных векторов
под действием А : [
] обозначим ее [АE]
Лемма.
Если
Док-во:
;
Опр.
Пусть
F
называется композицией А и В(
,
если
Теор.
Аналогично сами
Теор. (Свойства композиции)
Ассоциативность
(
Вообще говоря
Док-во:
левые
и правые части равны, ч.т.д.
Опр.
называется коммутирующими
Вопрос 25
Теор.(О задании линейного оператора)
Пусть
Е – произвольный базис в V,
произвольная
система из n
векторов в V.
Тогда
т.е. ЛО однозначно задается своим
действием на базисные вектора
Док-во:
Пусть А :
.
Покажем, что
Возьмем
Более
того
.
Далее
Докажем единственность . Пусть В :
но построен каким-либо иным способом.
Тогда
#
Пусть
–базис в V.
Подействуем ЛО А на базисные в-ры и
разложим образы по Е:
Опр.
Матрица, в столбцах которой записаны
координаты образов базисных векторов
в этом базисе
называется матрицей ЛО А в базисе Е
Теор.(О преобразовании координат вектора под действием ЛО)
Пусть
Док-во:
