Вопрос 19 Сумма и пересечение линейных подпространств.

Пусть V – ЛП над полем k, – его ЛПП.

Опр. Множество называется суммой ЛПП .

Об. .

Опр. Множество называется пересечением ЛПП .

Об. .

Теор. – ЛПП of V.

Выберем какие-либо базисы в V₁ и V₂. Пусть это будут в V₁ и в V₂. Тогда, очевидно, .

Теор. .

# max числу ЛНЗ векторов в системе , в силу изоморфизма равна max количеству ЛНЗ столбцов в матрице . Пусть это число равно r. Рассмотрим элемент , тогда , но тогда . В силу получим , или , а это ОСЛАУ. Ранг матрицы системы равен r, число неизвестных равно зависит от N – r произвольных постоянных C₁, …, C_N-r, а именно , где – p-ый элемент i-го столбца ФСР ОСЛАУ, тогда . базис в D, тогда . #

Опр. Пусть V₁ и V₂ – ЛПП of V. Говорят, что V раскладывается в прямую сумму ЛПП V₁ и V₂, если . Об. .

Теор. Пусть V₁ и V₂ – ЛПП of V. Тогда ⇔ выполнено

Примеры:

1. V – сумма плоскости и прямой, не лежащей в этой плоскости

2. Сумма пл-ти и прямой, лежащей в этой пл-ти, не явл-ся прямой суммой

3. Трехмерное пр-во явл-ся суммой двух несовп. Пл-тей, но не явл-ся их прямой суммой

Вопрос 20 Матрица перехода от одного базиса к другому.

Пусть V – ЛП над k, – базисы в V. Разложим элементы второго базиса по элементам первого:

Опр. Матрица называется матрицей перехода от базиса к базису Далее обозначаем её . Можно компактно записать (1) следующим образом: , или .

Теор. не вырождена.

# не вырождена столбцы ЛНЗ. Покажем, что столбцы ЛНЗ. Предположим противное. Пусть существует нетривиальный набор . Рассмотрим тогда – ЛЗ – противоречие ⇒ столбцы ЛНЗ ⇒ . #

Теор. (О матрице обратного перехода) .

# , тогда , т.е. , но , отсюда . #

Теор. (Об изменении координат вектора при смене базиса) Если , т.е. , а в базисе , т.е. , и – матрица перехода, то .

# ;

⇒ #

Замеч. Видим, что базисы преобразуются с помощью матрицы , а координаты вектора в этих базисах - с помощью обратной матрицы Такой закон преобразования называется контравариантным.

Сл. # По закону преобразования координат . Умножим обе части на слева: , т.е. . #

Вопрос 21 Линейные формы (линейные функционалы). Их свойства. Сопряженное пространство. Биортогональный базис.

Пусть V – ЛП над полем k.

Опр. Закон (правило) f, по которому ставится в соответствие единственный скаляр , называется линейной формой (линейным функционалом) (ЛФ), если

1º ;

2º

(т.е. , которое обозначим как , и выполнены свойства 1º и 2º)

Если , то f – вещественный ЛФ, если , то f – комплексный ЛФ.

Об. Совокупность всевозможных ЛФ, определенных на V, обозначим V^*.

Опр. назовем равными, если . Об. .

Опр. f называется суммой ЛФ и , если . Об. .

Опр. f называется произведением ЛФ на , если . Об. .

Опр. Ф называется нуль-формой, если . Очевидно,

1. ;

2. .

Опр. называется формой, противоположной форме f, если .

Теор. (О сопряжённом ЛП) является ЛП, которое называется ЛП, сопряженным к V.

# Операции сложения и умножения на скаляр в определены выше.

Покажем, что , если .

## 1º .

2º . ##

Теперь покажем, что если , то .

## 1º .

2º ##

Докажем теперь, что в относительно линейных операций выполнены свойства 1-8:

##3º Роль нейтрального элемента в играет нуль-форма. Действительно, возьмем произвольный и рассмотрим . .

4º Роль противоположного элемента играет . , тогда , таким образом, . ##

Теор. (О размерности сопряженного пространства) Если V – ЛП над k, , то

# Покажем, что в существует базис из n элементов. Рассмотрим систему , где (1) (Пусть – базис в V).

Покажем, что система G – ЛНЗ. Пусть (2). Тогда подействуем левой и правой частью на Е: . С другой стороны, . Таким образом, . То есть (2) выполнено ⇔ ЛНЗ.

Покажем, что можно разложить по системе G. Возьмем произвольный и разложим его по базису Е: , тогда в силу произвольности х получаем, что .

Докажем *: , т.е. извлекает j-ую координату элемента х. Таким образом, G – ЛНЗ и любой элемент ЛП является ЛК элементов G ⇒ G – базис в #

Сл. Любая ЛФ полностью определяется своим действием на элементы базиса

Опр. Числа называются коэффициентами ЛФ f в базисе Е. Заметим, что они же являются координатами ЛФ f в базисе G.

Опр. Базис , для которого выполнено соотношение , называется биортогональным.