Вопрос 16 Линейные подпространства. Линейные оболочки. Размерность линейной оболочки.

Пусть V – ЛП над полем k. Рассмотрим множество .

Опр. L называется линейным подпространством линейного пространства V (ЛПП of ЛП), если :

1º

2º

Теор. Всякое ЛПП of ЛП V в свою очередь является ЛП над k.

# Сложение элементов и умножение на скаляры из k определены и не выводят из L.

Свойства 1º и 2º выполняются, т.к.

3º

4º

Свойства 5º - 8º выполняются, т.к. #

Рассмотрим систему .

Опр. Совокупность всевозможных ЛК элементов Х называется линейной оболочкой (ЛО) на системе Х или на элементах . X порождает эту ЛО.

Об. или

Пусть .

Теор. (о линейной оболочке) L является ЛПП of ЛП V.

# Пусть ; . #

Теор. (о размерности ЛО) Пусть . Тогда

# Пусть равно БОО можно считать, что ЛНЗ (если это не так перенумеруем элементы Х).

Тогда каждая из систем: будет ЛЗ, значит по критерию ЛЗ

Возьмем произвольный элемент : Любой элемент может быть представлен в виде ЛК упорядоченных ЛНЗ систем образуют базис в L, тогда .#

Теор. (о неполном базисе) Пусть – ЛНЗ и . Тогда ЛНЗ в V. Любая ЛНЗ в ЛП может быть дополнена до базиса.

# Рассмотрим . Тогда . Рассмотрим Она ЛНЗ, т.к. x_k+1 не выражается через . Рассмотрим . Если тогда базис в V построен. Если то повторяем те же шаги, т.е. рассматриваем и т.д. Через (n-k) шагов получим базис ЛП V .#

Замеч. Если базис в V, то .

Вопрос 17 Координаты вектора в базисе.

Пусть V – ЛП в k, – базис в нем. Тогда .

Л1. Разложение по базису единственно.

# ; , тогда ; , в силу ЛНЗ системы Е получаем, что #

Л2. О координатах суммы элементов и произведении элемента на скаляр. Если , то .

# Пусть

. #

Видим, что взаимно однозначное соответствие между вектором и его координатами сохраняет линейные операции.

Замеч. «Свойство сокращения на базис» .

# . Из свойств линейных операций: (т.к. – ЛНЗ система – базис) #

Вопрос 18

Опр. Взаимно однозначное соответствие между элементами двух линейных пространств, сохраняющее линейные операции, называется изоморфизмом.

Сейчас установлено, что существует изоморфизм между произвольным ЛП V и ЛП kⁿ (строк длины n). Этот изоморфизм установлен путем введения базиса в ЛП V. Изоморфизм между двумя ЛП обозначается значком ~.

Замеч. Часто пишут, что , хотя на самом деле надо писать .

Далее часто будем использовать следующий формализм. Рассмотрим – строку элементов базиса и – столбец координат вектора х. Тогда * , или коротко .

Свойства изоморфизма:

1º ;

2º Если , то (вытекает из определения изоморфизма);

3º Если , а , то ;

4º Пусть , тогда ;

# Пусть . Возьмем . В силу взаимно однозначного соответствия этот элемент единственный. #

5º а) ЛЗ системе в V отвечает ЛЗ система в W,

б) ЛНЗ системе в V отвечает ЛНЗ система в W;

# а) Пусть ЛЗ, тогда нетривиальный набор тогда – ЛЗ.

б) Пусть – ЛНЗ, а , отвечающая ей, является ЛЗ (предположим противное). Тогда системе должна отвечать (из пункта а) ЛЗ система . Но – ЛНЗ – противоречие, следовательно, – ЛНЗ. #

6º Сл. Если ,и они конечномерны, то .

# Пусть , тогда система из n элементов – ЛНЗ, а из – ЛЗ в W изоморфные системы из – ЛЗ, а из n – ЛНЗ. тогда . #

Критерий изоморфности двух ЛП. Два конечномерные ЛП над полем k изоморфны их размерности равны.

# – базис в V;

– базис в W. Установим соответствие . Тогда и , тогда . #

Сделаем некоторые замечания об этом формализме. Строка базисных векторов удовлетворяет тем же свойствам линейных операций, что и обычные числовые строки, например, если имеет смысл левая часть, то имеет смысл и правая часть, и они равны между собой.