Вопрос 14 лз и лнз системы векторов

Опр. Упорядоченную совокупность не обязательно различных элементов ЛП V будем называть системой элементов (векторов).

Об.

Опр. Система X называется линейно зависимой (ЛЗ), если нетривиальный набор .

Если же (1) выполняется при , то Х называется линейно независимой системой.

Л1. Если , то Х – ЛЗ.

Док-во:

БОО – это НТЛК

Л2. Любая система Х, содержащая ЛЗ подсистему, является ЛЗ.

Док-во:

БОО считаем, что нетривиальный набор , т.к. – ЛЗ

Л3. Любая подсистема ЛНЗ Х является ЛНЗ.

Док-во:

От противного: если предпол., что ЛНЗ с-ма имеет ЛЗ подс-му, то по Л2 с-ма ЛЗ => противоречие.

Теор. (Критерий ЛЗ)

Х – ЛЗ один из её элементов является ЛК остальных.

Док-во:

нетривиальный набор . БОО

нетривиальный набор .

Примеры.

2) , , … , – ЛНЗ в пространстве длины n.

3) Элементы НСР являются ЛНЗ.

4) : – ЛНЗ. .

5) .

Если бы это было не так, то бы многочлен степени , имеющий более n корней.

6) – ЛНЗ на .

Вопрос 15 Базис и размерность лп.

Пусть V – ЛП над k.

Опр. Будем говорить, что размерность V равна n (Об. ), если в V найдется ЛНЗ система из n элементов, а любая система из элементов является ЛЗ.

Замеч. Если нет ЛНЗ систем, то . Если же ЛНЗ система из n элементов, то говорят, что V – бесконечно мерное пространство.

Опр. Упорядоченная ЛНЗ система элементов ЛП называется базисом ЛП V, если (1) называется разложением по базису, набор – координатами х в базисе Е.

Теор. (о связи базиса и размерности)

# Пусть . Тогда система будет ЛЗ (по определению размерности) нетривиальный набор , причем (т.к. – ЛНЗ) . В силу произвольности получаем, что Х – базис в V, состоящий из n элементов.

Пусть в V . Тогда в V ЛНЗ система из n элементов, например, Е

Покажем, что произвольная система будет ЛЗ. Поскольку Е – базис

Пусть (3)

Подставим (2) в (3). Получим: или . В силу ЛНЗ системы Е из (4) следует:

, или - ОСЛАУ.

Поскольку – кол-во неизвестных нетривиальное решение. Например, . Этот набор удовлетворяет условию (3) . #

Сл1. противоречие - определена однозначно)

Сл2. система из элементов образует базис этого ЛП (показано в первой части теоремы)

Примеры.

1) В kⁿ системе образует базис.

1. Она ЛНЗ, т.к. ;

2. имеет вид .

Со столбцами аналогично .

2) В образует базис.

1. Они ЛНЗ;

2. Любой элемент выражается через них. .

3) Рассмотрим множество всевозможных решений ОСЛАУ Определение ФСР этой ОСЛАУ удовлетворяет всем свойствам базиса (ранее выяснили, что совокупность всех решений является ЛП, назовем его Х). Таким образом, ФСР является базисом Х. В частности, НСР – базис в Х. НСР содержит элементов Любой базис состоит из элементов Любая ФСР состоит из элементов. Более того, любая ЛНЗ система из элементов будет базисом в Х Любая ЛНЗ система из решений является ФСР в Х. (Это завершает доказательство теоремы о ФСР ОСЛАУ_{(главаII §5)})

4) В образует базис .