Вопрос 11

Пусть (1₀) А .

Опр. Упорядоченная ЛНЗ система решений ОСЛАУ … называется фундаментальной системой решений(ФСР) , если

Замеч. Если … решением будет где

Теор. (о ФСР ОСЛАУ)

1. Если Rg A = r<n, то (1₀) обладает ФСР

2. Любая ФСР ОСЛАУ имеет (n-r) элементов

3. Любые (n-r) ЛНЗ упорядоченных решений (1₀) образуют ее ФСР

4. Если … произвольные ФСР ОСЛАУ (1₀), то

Док-во:

1) следует из того, что при r<n НСР, которая является ФСР

2) Рассм. мн-во всевозм. Реш-ий ОСЛАУ. Выясним, что совокупность всех реш-ий явл. ЛП (назовем его Х). Опред. ФСР этой с-мы удовл. всем св-вам базиса. Т.о., ФСР явл. базисом в Х. В частности, НСР – базис в Х. НСР содержит (n-r) элементов элементов любая ФСР содержит (n-r) элементов

3) любая ЛНЗ с-ма из (n-r) эл-тов будет базисом в Х любая ЛНЗ с-ма из (n-r) реш-ий будет ФСР

4) смотри замечание к определению ФСР

Вопрос 12 Общее решение неоднородных слау(нслау)

Рассмотрим (1) А

Теор.(О структуре общего решения НСЛАУ)

, где х_о.о – общее решение ОСЛАУ, х_ч.н. – частное решение

Док-во: Пусть Rg A=r=n. Тогда методом элементарных преобразований она приводится к виду Решение( ( Т.е.

Пусть Rg A<n. Покажем, что является решением (1) А( = . Покажем, что решение (1) входит в (2). Пусть произвольное решение (1), а - какое-либо частное решение. Тогда А( )=

… произвольные ФСР ОСЛАУ А , т.е. любое решение можно представить в таком виде

Вопрос 13 Определение линейного пространства (лп). Примеры.

Рассмотрим множество k, состоящее не менее, чем из двух элементов.

Опр. k называется полем, если введены операции «сложения» и «умножения», не выводящие из k, т.е. , удовлетворяющие следующим свойствам (аксиомам поля):

I. Сложение

(коммутативность)

(ассоциативность)

(существование нейтрального элемента)

(существование противоположного элемента)

II. Умножение

III. Аксиомы дистрибутивности

Пример ℝ, ℚ, ℂ - поля, ℤ - не поле.

Далее рассматриваются .

Опр. Множество элементов произвольной природы V, для элементов которого определены операции сложения и умножения на элементы поля k, не выводящие из V (т.е. ), называется линейным пространством над полем k, если выполнены следующие свойства (аксиомы ЛП):

1º (коммутативность)

2º (ассоциативность)

3º (существование нейтрального элемента)

4º (существование противоположного элемента)

5º (дистрибутивность относительно суммы элементов V)

6º (дистрибутивность относительно суммы элементов поля k)

7º

8º

Замеч. Если , то называется действительным ЛП; если , то называется комплексным ЛП.

Теор. (свойства нейтральных и противоположных элементов)

1º

2º

3º

4º

5º

Замеч. Далее элементы поля k будем называть скалярами и обозначать преимущественно греческими буквами, а элементы ЛП будем называть векторами и обозначать латинскими буквами без стрелок.

#1º (от противного) Пусть - нейтральные элементы, тогда

2º Пусть – противоположные элементы для x, тогда

3º

4º

5º #

Примеры.

1) ЛПВпр, ЛПВпл, ЛПВ – изучены в курсе АГ.

2) ЛП строк (или столбцов) длины (высоты) n:

Остальные свойства также выполнены.

Такое ЛП обозначают . В частности, при n=1 получаем, что поле k также является ЛП. В частности, ℝ и ℂ - ЛП.

3) Совокупность всевозможных решений ОСЛАУ. Если - решения, то тоже решение - является решением; также является решением. Остальные свойства являются свойствами столбцов.

4) Прямоугольные матрицы размером (m*n) c обычными операциями сложения и умножения на числа

; ;

Остальные свойства ЛП выполняются, исходя из свойств линейных операций с матрицами

5) Всевозможные многочлены степени

,

,

6) – множество функций, непрерывна на с операциями:

7) Пусть V и W – ЛП над полем k. Их декартовым произведением называется совокупность всевозможных пар x и y , причем , . Декартово произведение V и W образует ЛП: . Если , то . В частности, если , то , в частности, .